Номер 820, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 820, страница 328.

Условие.

820. 1) $ \frac{1}{x(x+2)} - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1}{12} $

2) $ (2x - \frac{3}{x}) + (4x^2 + \frac{9}{x^2}) = 42 $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим уравнение $\frac{1}{x(x+2)} - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1}{12}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$, $x \neq -2$, $x \neq -1$.
Заметим, что знаменатели связаны между собой. Раскроем скобки в знаменателях: $x(x+2) = x^2+2x$ и $(x+1)^2 = x^2+2x+1$.
Введем замену переменной. Пусть $y = x^2+2x$. Тогда уравнение примет вид:
$\frac{1}{y} - \frac{1}{y+1} = \frac{1}{12}$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{y+1-y}{y(y+1)} = \frac{1}{12}$
$\frac{1}{y(y+1)} = \frac{1}{12}$
Отсюда следует, что $y(y+1) = 12$.
$y^2 + y - 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни легко находятся подбором: $y_1 = 3$ и $y_2 = -4$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $y = 3$
$x^2+2x = 3$
$x^2+2x-3 = 0$
По теореме Виета находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $y = -4$
$x^2+2x = -4$
$x^2+2x+4 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2-4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x=1$ и $x=-3$.
Ответ: $1; -3$.

2) Решим уравнение $(2x - \frac{3}{x}) + (4x^2 + \frac{9}{x^2}) = 42$.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Это уравнение решается с помощью введения новой переменной. Пусть $t = 2x - \frac{3}{x}$.
Возведем это выражение в квадрат, чтобы связать его со вторым слагаемым в уравнении:
$t^2 = (2x - \frac{3}{x})^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot \frac{3}{x} + (\frac{3}{x})^2 = 4x^2 - 12 + \frac{9}{x^2}$
Отсюда выразим второе слагаемое исходного уравнения: $4x^2 + \frac{9}{x^2} = t^2 + 12$.
Подставим замену в исходное уравнение:
$t + (t^2 + 12) = 42$
$t^2 + t + 12 - 42 = 0$
$t^2 + t - 30 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: $t_1 = 5$, $t_2 = -6$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $t = 5$
$2x - \frac{3}{x} = 5$
Умножим обе части на $x$ (помним, что $x \neq 0$):
$2x^2 - 3 = 5x$
$2x^2 - 5x - 3 = 0$
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$
$x_{1,2} = \frac{5 \pm 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}$
$x_1 = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Случай 2: $t = -6$
$2x - \frac{3}{x} = -6$
$2x^2 - 3 = -6x$
$2x^2 + 6x - 3 = 0$
$D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 36 + 24 = 60$
$x_{3,4} = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{15}}{2}$
$x_3 = \frac{-3 + \sqrt{15}}{2}$
$x_4 = \frac{-3 - \sqrt{15}}{2}$

Все четыре корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $3; -0,5; \frac{-3 + \sqrt{15}}{2}; \frac{-3 - \sqrt{15}}{2}$.