Номер 827, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 827, страница 328.

Условие.

827. 1) $z^2 + 3 = 0$;

2) $9z^2 = 125$;

3) $z^2 - 4z + 5 = 0$;

4) $z^2 - 8z + 41 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим уравнение $z^2 + 3 = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$z^2 = -3$
Извлечем квадратный корень из обеих частей. В множестве комплексных чисел корень из отрицательного числа определяется с помощью мнимой единицы $i$, где $i^2 = -1$.
$z = \pm\sqrt{-3}$
$z = \pm\sqrt{3 \cdot (-1)} = \pm\sqrt{3} \cdot \sqrt{-1} = \pm i\sqrt{3}$
Уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.
Ответ: $z_{1,2} = \pm i\sqrt{3}$.

2) Решим уравнение $9z^2 = 125$.
Это неполное квадратное уравнение. Выразим $z^2$:
$z^2 = \frac{125}{9}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$z = \pm\sqrt{\frac{125}{9}}$
Упростим полученное выражение:
$z = \pm\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{9}} = \pm\frac{\sqrt{25 \cdot 5}}{3} = \pm\frac{5\sqrt{5}}{3}$
В данном случае уравнение имеет два действительных корня.
Ответ: $z_{1,2} = \pm\frac{5\sqrt{5}}{3}$.

3) Решим квадратное уравнение $z^2 - 4z + 5 = 0$.
Это полное квадратное уравнение вида $az^2 + bz + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-4$, $c=5$.
Для нахождения корней воспользуемся формулой через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней, но имеет два сопряженных комплексных корня.
Корни находятся по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$z = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot (-1)}}{2} = \frac{4 \pm 2i}{2}$
Разделив почленно числитель на знаменатель, получим:
$z = \frac{4}{2} \pm \frac{2i}{2} = 2 \pm i$
Ответ: $z_1 = 2 + i, z_2 = 2 - i$.

4) Решим квадратное уравнение $z^2 - 8z + 41 = 0$.
Это полное квадратное уравнение вида $az^2 + bz + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-8$, $c=41$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 41 = 64 - 164 = -100$.
Дискриминант отрицательный, следовательно, корни уравнения являются комплексными.
Найдем корни по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$z = \frac{-(-8) \pm \sqrt{-100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{100 \cdot (-1)}}{2} = \frac{8 \pm 10i}{2}$
Разделив почленно числитель на знаменатель, получим:
$z = \frac{8}{2} \pm \frac{10i}{2} = 4 \pm 5i$
Ответ: $z_1 = 4 + 5i, z_2 = 4 - 5i$.