Номер 829, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 829, страница 328.

№829 (с. 328)
Условие. №829 (с. 328)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 328, номер 829, Условие

829. Найти все целые числа, равные сумме квадратов своих цифр.

Решение 1. №829 (с. 328)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 328, номер 829, Решение 1
Решение 2. №829 (с. 328)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 328, номер 829, Решение 2
Решение 3. №829 (с. 328)

Пусть искомое целое число — $N$. По условию задачи, число $N$ должно быть равно сумме квадратов своих цифр. Сумма квадратов цифр любого целого числа является неотрицательной, поэтому $N \ge 0$.

Проверим число $N=0$. Сумма квадратов его цифр равна $0^2 = 0$. Так как $0=0$, число 0 является решением.

Теперь рассмотрим положительные целые числа $N > 0$. Пусть число $N$ состоит из $k+1$ цифры (где $k \ge 0$). Наименьшее положительное число, состоящее из $k+1$ цифры, это $10^k$. Таким образом, $N \ge 10^k$. Сумму квадратов цифр числа $N$ обозначим как $S(N)$. Каждая цифра не превышает 9, поэтому квадрат каждой цифры не превышает $9^2 = 81$. Для $(k+1)$-значного числа максимальная сумма квадратов цифр равна $(k+1) \times 9^2 = 81(k+1)$. Таким образом, $S(N) \le 81(k+1)$.

Поскольку по условию $N = S(N)$, должно выполняться неравенство: $10^k \le N = S(N) \le 81(k+1)$, что приводит к $10^k \le 81(k+1)$.

Проверим это неравенство для разных значений $k$:

  • $k=0$ (1 цифра): $10^0 \le 81(0+1) \implies 1 \le 81$. Неравенство выполняется.
  • $k=1$ (2 цифры): $10^1 \le 81(1+1) \implies 10 \le 162$. Неравенство выполняется.
  • $k=2$ (3 цифры): $10^2 \le 81(2+1) \implies 100 \le 243$. Неравенство выполняется.
  • $k=3$ (4 цифры): $10^3 \le 81(3+1) \implies 1000 \le 324$. Неравенство не выполняется.

Для всех $k \ge 3$ неравенство $10^k \le 81(k+1)$ не выполняется, поскольку показательная функция $10^k$ растет гораздо быстрее линейной $81(k+1)$. Это означает, что положительных решений среди чисел, состоящих из четырех и более цифр, не существует.

Следовательно, искомые положительные числа могут быть только однозначными, двузначными или трехзначными. Рассмотрим эти случаи.

Случай 1: Однозначные положительные числа.

Пусть $N = d_0$, где $d_0 \in \{1, ..., 9\}$. Уравнение по условию: $d_0 = d_0^2$. $d_0^2 - d_0 = 0 \implies d_0(d_0-1) = 0$. Так как $d_0 \neq 0$, единственным решением является $d_0 = 1$. Таким образом, число 1 является решением.

Случай 2: Двузначные числа.

Пусть $N = 10d_1 + d_0$, где $d_1 \in \{1, ..., 9\}$ и $d_0 \in \{0, ..., 9\}$. Уравнение по условию: $10d_1 + d_0 = d_1^2 + d_0^2$. Перегруппируем члены: $10d_1 - d_1^2 = d_0^2 - d_0$. Проанализируем возможные значения левой и правой частей. Множество значений левой части $f(d_1) = 10d_1 - d_1^2$ для $d_1 \in \{1, ..., 9\}$: $\{9, 16, 21, 24, 25\}$. Множество значений правой части $g(d_0) = d_0^2 - d_0$ для $d_0 \in \{0, ..., 9\}$: $\{0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72\}$. Эти множества не пересекаются. Следовательно, двузначных решений не существует.

Случай 3: Трехзначные числа.

Пусть $N = 100d_2 + 10d_1 + d_0$, где $d_2 \in \{1, ..., 9\}$ и $d_1, d_0 \in \{0, ..., 9\}$. Как было показано, если решение существует, оно должно быть в диапазоне $[100, 243]$. Это означает, что первая цифра $d_2$ может быть только 1 или 2.

Если $d_2 = 1$: Уравнение $100 + 10d_1 + d_0 = 1^2 + d_1^2 + d_0^2$ преобразуется к виду $d_0^2 - d_0 = 99 + 10d_1 - d_1^2$. Максимальное значение левой части равно $9^2 - 9 = 72$. Минимальное значение правой части равно $99 + 0 = 99$. Поскольку $72 < 99$, равенство невозможно.

Если $d_2 = 2$: Уравнение $200 + 10d_1 + d_0 = 2^2 + d_1^2 + d_0^2$ преобразуется к виду $d_0^2 - d_0 = 196 + 10d_1 - d_1^2$. Максимальное значение левой части равно 72. Минимальное значение правой части равно $196 + 0 = 196$. Поскольку $72 < 196$, равенство также невозможно. Следовательно, трехзначных решений не существует.

Объединяя все найденные решения, получаем, что единственными целыми числами, равными сумме квадратов своих цифр, являются 0 и 1.

Ответ: 0, 1.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 829 расположенного на странице 328 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №829 (с. 328), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.