Номер 829, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 829, страница 328.

Условие.

829. Найти все целые числа, равные сумме квадратов своих цифр.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть искомое целое число — $N$. По условию задачи, число $N$ должно быть равно сумме квадратов своих цифр. Сумма квадратов цифр любого целого числа является неотрицательной, поэтому $N \ge 0$.

Проверим число $N=0$. Сумма квадратов его цифр равна $0^2 = 0$. Так как $0=0$, число 0 является решением.

Теперь рассмотрим положительные целые числа $N > 0$. Пусть число $N$ состоит из $k+1$ цифры (где $k \ge 0$). Наименьшее положительное число, состоящее из $k+1$ цифры, это $10^k$. Таким образом, $N \ge 10^k$. Сумму квадратов цифр числа $N$ обозначим как $S(N)$. Каждая цифра не превышает 9, поэтому квадрат каждой цифры не превышает $9^2 = 81$. Для $(k+1)$-значного числа максимальная сумма квадратов цифр равна $(k+1) \times 9^2 = 81(k+1)$. Таким образом, $S(N) \le 81(k+1)$.

Поскольку по условию $N = S(N)$, должно выполняться неравенство: $10^k \le N = S(N) \le 81(k+1)$, что приводит к $10^k \le 81(k+1)$.

Проверим это неравенство для разных значений $k$:

• $k=0$ (1 цифра): $10^0 \le 81(0+1) \implies 1 \le 81$. Неравенство выполняется.
• $k=1$ (2 цифры): $10^1 \le 81(1+1) \implies 10 \le 162$. Неравенство выполняется.
• $k=2$ (3 цифры): $10^2 \le 81(2+1) \implies 100 \le 243$. Неравенство выполняется.
• $k=3$ (4 цифры): $10^3 \le 81(3+1) \implies 1000 \le 324$. Неравенство не выполняется.

Для всех $k \ge 3$ неравенство $10^k \le 81(k+1)$ не выполняется, поскольку показательная функция $10^k$ растет гораздо быстрее линейной $81(k+1)$. Это означает, что положительных решений среди чисел, состоящих из четырех и более цифр, не существует.

Следовательно, искомые положительные числа могут быть только однозначными, двузначными или трехзначными. Рассмотрим эти случаи.

Случай 1: Однозначные положительные числа.

Пусть $N = d_0$, где $d_0 \in \{1, ..., 9\}$. Уравнение по условию: $d_0 = d_0^2$. $d_0^2 - d_0 = 0 \implies d_0(d_0-1) = 0$. Так как $d_0 \neq 0$, единственным решением является $d_0 = 1$. Таким образом, число 1 является решением.

Случай 2: Двузначные числа.

Пусть $N = 10d_1 + d_0$, где $d_1 \in \{1, ..., 9\}$ и $d_0 \in \{0, ..., 9\}$. Уравнение по условию: $10d_1 + d_0 = d_1^2 + d_0^2$. Перегруппируем члены: $10d_1 - d_1^2 = d_0^2 - d_0$. Проанализируем возможные значения левой и правой частей. Множество значений левой части $f(d_1) = 10d_1 - d_1^2$ для $d_1 \in \{1, ..., 9\}$: $\{9, 16, 21, 24, 25\}$. Множество значений правой части $g(d_0) = d_0^2 - d_0$ для $d_0 \in \{0, ..., 9\}$: $\{0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72\}$. Эти множества не пересекаются. Следовательно, двузначных решений не существует.

Случай 3: Трехзначные числа.

Пусть $N = 100d_2 + 10d_1 + d_0$, где $d_2 \in \{1, ..., 9\}$ и $d_1, d_0 \in \{0, ..., 9\}$. Как было показано, если решение существует, оно должно быть в диапазоне $[100, 243]$. Это означает, что первая цифра $d_2$ может быть только 1 или 2.

Если $d_2 = 1$: Уравнение $100 + 10d_1 + d_0 = 1^2 + d_1^2 + d_0^2$ преобразуется к виду $d_0^2 - d_0 = 99 + 10d_1 - d_1^2$. Максимальное значение левой части равно $9^2 - 9 = 72$. Минимальное значение правой части равно $99 + 0 = 99$. Поскольку $72 < 99$, равенство невозможно.

Если $d_2 = 2$: Уравнение $200 + 10d_1 + d_0 = 2^2 + d_1^2 + d_0^2$ преобразуется к виду $d_0^2 - d_0 = 196 + 10d_1 - d_1^2$. Максимальное значение левой части равно 72. Минимальное значение правой части равно $196 + 0 = 196$. Поскольку $72 < 196$, равенство также невозможно. Следовательно, трехзначных решений не существует.

Объединяя все найденные решения, получаем, что единственными целыми числами, равными сумме квадратов своих цифр, являются 0 и 1.

Ответ: 0, 1.