Номер 824, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 824, страница 328.

Условие.

Решить уравнение ($z$ — комплексное число) (824—828).

824. 1) $z^2 + 4z + 19 = 0$; 2) $z^2 - 2z + 3 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $z^2 + 4z + 19 = 0$

Для решения данного квадратного уравнения вида $az^2 + bz + c = 0$ воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=4$, $c=19$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 19 = 16 - 76 = -60$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), корни уравнения являются комплексно-сопряженными числами. Найдем корень из дискриминанта, используя мнимую единицу $i$, где $i^2 = -1$:

$\sqrt{D} = \sqrt{-60} = \sqrt{60 \cdot (-1)} = \sqrt{4 \cdot 15} \cdot i = 2i\sqrt{15}$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_{1,2} = \frac{-4 \pm 2i\sqrt{15}}{2 \cdot 1} = \frac{2(-2 \pm i\sqrt{15})}{2} = -2 \pm i\sqrt{15}$

Таким образом, корни уравнения:

$z_1 = -2 + i\sqrt{15}$

$z_2 = -2 - i\sqrt{15}$

Ответ: $z = -2 \pm i\sqrt{15}$.

2) $z^2 - 2z + 3 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-2$, $c=3$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$

Дискриминант отрицательный, следовательно, корни будут комплексными. Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{-8} = \sqrt{8 \cdot (-1)} = \sqrt{4 \cdot 2} \cdot i = 2i\sqrt{2}$

Найдем корни уравнения по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_{1,2} = \frac{-(-2) \pm 2i\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2i\sqrt{2}}{2} = 1 \pm i\sqrt{2}$

Таким образом, корни уравнения:

$z_1 = 1 + i\sqrt{2}$

$z_2 = 1 - i\sqrt{2}$

Ответ: $z = 1 \pm i\sqrt{2}$.