Номер 819, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 819, страница 328.

Условие.

819. 1) $ \frac{x^2 - x + 3}{x^2 - x + 1} + \frac{x^2 - x - 4}{x^2 - x + 2} = 5; $

2) $ \frac{x^2 + x + 2}{x^2 + x + 1} + \frac{x^2 + x + 6}{x^2 + x + 3} = 4. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Исходное уравнение: $\frac{x^2 - x + 3}{x^2 - x + 1} + \frac{x^2 - x - 4}{x^2 - x + 2} = 5$.

Заметим, что выражение $x^2 - x$ повторяется во всех числителях и знаменателях. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2 - x$.

Прежде чем подставлять, исследуем область значений функции $f(x) = x^2 - x$. Это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $x = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$. Минимальное значение функции: $y_{min} = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$. Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется условие $y \ge -\frac{1}{4}$.

Знаменатели $x^2 - x + 1$ и $x^2 - x + 2$ не обращаются в ноль ни при каких действительных $x$, так как их дискриминанты отрицательны ($D_1 = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$; $D_2 = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -7 < 0$).

Подставим $y$ в исходное уравнение:

$\frac{y + 3}{y + 1} + \frac{y - 4}{y + 2} = 5$

Приведем левую часть к общему знаменателю $(y+1)(y+2)$:

$\frac{(y + 3)(y + 2) + (y - 4)(y + 1)}{(y + 1)(y + 2)} = 5$

$\frac{(y^2 + 5y + 6) + (y^2 - 3y - 4)}{y^2 + 3y + 2} = 5$

$\frac{2y^2 + 2y + 2}{y^2 + 3y + 2} = 5$

Умножим обе части на знаменатель $y^2 + 3y + 2$ (он не равен нулю, так как $y \ge -1/4$):

$2y^2 + 2y + 2 = 5(y^2 + 3y + 2)$

$2y^2 + 2y + 2 = 5y^2 + 15y + 10$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3y^2 + 13y + 8 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 169 - 96 = 73$

$y_1 = \frac{-13 + \sqrt{73}}{6}$

$y_2 = \frac{-13 - \sqrt{73}}{6}$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные значения $y$ условию $y \ge -\frac{1}{4}$.

Для $y_1$: $\frac{-13 + \sqrt{73}}{6} \ge -\frac{1}{4}$. Умножим на 12: $2(-13 + \sqrt{73}) \ge -3 \implies -26 + 2\sqrt{73} \ge -3 \implies 2\sqrt{73} \ge 23$. Возведем в квадрат обе части (они положительны): $(2\sqrt{73})^2 \ge 23^2 \implies 4 \cdot 73 \ge 529 \implies 292 \ge 529$. Это неверно. Следовательно, $y_1 < -1/4$.

Для $y_2$: $\frac{-13 - \sqrt{73}}{6}$. Так как $\sqrt{73} > 0$, это значение очевидно меньше, чем $y_1$, и, следовательно, также меньше $-\frac{1}{4}$.

Поскольку оба найденных значения $y$ лежат вне области значений функции $x^2 - x$, не существует такого действительного числа $x$, для которого $x^2-x$ было бы равно $y_1$ или $y_2$. Таким образом, исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

2)

Исходное уравнение: $\frac{x^2 + x + 2}{x^2 + x + 1} + \frac{x^2 + x + 6}{x^2 + x + 3} = 4$.

Преобразуем дроби, выделив целую часть:

$\frac{(x^2 + x + 1) + 1}{x^2 + x + 1} + \frac{(x^2 + x + 3) + 3}{x^2 + x + 3} = 4$

$1 + \frac{1}{x^2 + x + 1} + 1 + \frac{3}{x^2 + x + 3} = 4$

$2 + \frac{1}{x^2 + x + 1} + \frac{3}{x^2 + x + 3} = 4$

$\frac{1}{x^2 + x + 1} + \frac{3}{x^2 + x + 3} = 2$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2 + x$. Знаменатели $x^2 + x + 1$ и $x^2 + x + 3$ не равны нулю ни при каких действительных $x$, так как их дискриминанты отрицательны.

Подставим $y$ в преобразованное уравнение:

$\frac{1}{y + 1} + \frac{3}{y + 3} = 2$

Приведем левую часть к общему знаменателю $(y+1)(y+3)$:

$\frac{(y + 3) + 3(y + 1)}{(y + 1)(y + 3)} = 2$

$\frac{y + 3 + 3y + 3}{y^2 + 4y + 3} = 2$

$\frac{4y + 6}{y^2 + 4y + 3} = 2$

Умножим обе части на знаменатель:

$4y + 6 = 2(y^2 + 4y + 3)$

$4y + 6 = 2y^2 + 8y + 6$

$2y^2 + 4y = 0$

$2y(y + 2) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:

$y_1 = 0$ или $y_2 = -2$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$.

Случай 1: $y = 0$.

$x^2 + x = 0$

$x(x + 1) = 0$

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$.

Случай 2: $y = -2$.

$x^2 + x = -2$

$x^2 + x + 2 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только $x=0$ и $x=-1$.

Ответ: $0; -1$.