Номер 821, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 821, страница 328.

Условие.

821. Пересекает ли график функции $y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ ось $Ox$ в точках, абсциссы которых являются целыми числами?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы определить, пересекает ли график функции ось $Ox$, необходимо найти точки, в которых значение функции равно нулю. То есть, нужно решить уравнение $y = 0$.

Приравняем данное уравнение к нулю:

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

Вопрос задачи сводится к тому, имеет ли это кубическое уравнение целые корни. Для поиска целых корней многочлена с целыми коэффициентами можно использовать теорему о рациональных корнях. Согласно этой теореме, если у уравнения есть целые корни, то они являются делителями свободного члена, который в данном случае равен $-6$.

Найдем все целые делители числа $-6$: $D = \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\}$.

Теперь подставим эти значения в уравнение и проверим, какое из них обращает его в верное равенство.

1. Проверим $x = 1$:

$1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 12 - 12 = 0$.
Значит, $x_1 = 1$ является корнем уравнения.

2. Проверим $x = 2$:

$2^3 - 6(2)^2 + 11(2) - 6 = 8 - 6(4) + 22 - 6 = 8 - 24 + 22 - 6 = 30 - 30 = 0$.
Значит, $x_2 = 2$ является корнем уравнения.

3. Проверим $x = 3$:

$3^3 - 6(3)^2 + 11(3) - 6 = 27 - 6(9) + 33 - 6 = 27 - 54 + 33 - 6 = 60 - 60 = 0$.
Значит, $x_3 = 3$ является корнем уравнения.

Мы нашли три целых корня: 1, 2 и 3. Поскольку исходное уравнение является кубическим, оно не может иметь более трех корней. Таким образом, все точки пересечения графика с осью $Ox$ имеют целочисленные абсциссы.

Ответ: Да, график функции пересекает ось $Ox$ в точках, абсциссы которых являются целыми числами. Этими абсциссами являются $x=1, x=2, x=3$.