Номер 815, страница 327 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 815, страница 327.

Условие.

815. 1) $(2x + 1)(3x + 2)(6x + 1)(x + 1) = 210;$

2) $(x + 1)(x + 2)(x - 2)(x - 3) = 10.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Исходное уравнение: $(2x + 1)(3x + 2)(6x + 1)(x + 1) = 210$.
Для решения этого уравнения четвертой степени сгруппируем множители так, чтобы после их перемножения получить повторяющиеся выражения. Заметим, что произведение первого и третьего множителей, а также второго и четвертого, приводит к общему выражению. Перегруппируем множители:
$((2x + 1)(3x + 2)) \cdot ((6x + 1)(x + 1)) = 210$
Выполним умножение в каждой паре скобок:
$(2x + 1)(3x + 2) = 6x^2 + 4x + 3x + 2 = 6x^2 + 7x + 2$
$(6x + 1)(x + 1) = 6x^2 + 6x + x + 1 = 6x^2 + 7x + 1$
Теперь уравнение принимает вид:
$(6x^2 + 7x + 2)(6x^2 + 7x + 1) = 210$
Введем замену переменной. Пусть $y = 6x^2 + 7x$. Тогда уравнение преобразуется к виду:
$(y + 2)(y + 1) = 210$
Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 + y + 2y + 2 = 210$
$y^2 + 3y + 2 - 210 = 0$
$y^2 + 3y - 208 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-208) = 9 + 832 = 841$.
$\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29$.
Найдем корни для $y$:
$y_1 = \frac{-3 - 29}{2} = \frac{-32}{2} = -16$
$y_2 = \frac{-3 + 29}{2} = \frac{26}{2} = 13$
Теперь вернемся к исходной переменной $x$, рассмотрев два случая.
Случай 1: $y = -16$
$6x^2 + 7x = -16$
$6x^2 + 7x + 16 = 0$
Найдем дискриминант этого уравнения: $D_x = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot 16 = 49 - 384 = -335$.
Так как $D_x < 0$, в этом случае действительных корней нет.
Случай 2: $y = 13$
$6x^2 + 7x = 13$
$6x^2 + 7x - 13 = 0$
Найдем дискриминант этого уравнения: $D_x = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-13) = 49 + 312 = 361$.
$\sqrt{D_x} = \sqrt{361} = 19$.
Найдем корни для $x$:
$x_1 = \frac{-7 - 19}{2 \cdot 6} = \frac{-26}{12} = -\frac{13}{6}$
$x_2 = \frac{-7 + 19}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$
Ответ: $-\frac{13}{6}; 1$.

2) Исходное уравнение: $(x + 1)(x + 2)(x - 2)(x - 3) = 10$.
Сгруппируем множители так, чтобы суммы свободных членов в каждой группе были равны. Заметим, что $1 + (-2) = -1$ и $2 + (-3) = -1$. Поэтому сгруппируем первый множитель с третьим, а второй с четвертым:
$((x + 1)(x - 2)) \cdot ((x + 2)(x - 3)) = 10$
Выполним умножение в каждой паре скобок:
$(x + 1)(x - 2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2$
$(x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$
Уравнение принимает вид:
$(x^2 - x - 2)(x^2 - x - 6) = 10$
Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 - x$. Тогда уравнение преобразуется к виду:
$(t - 2)(t - 6) = 10$
Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 6t - 2t + 12 = 10$
$t^2 - 8t + 2 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 64 - 8 = 56$.
$\sqrt{D} = \sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{8 - 2\sqrt{14}}{2} = 4 - \sqrt{14}$
$t_2 = \frac{8 + 2\sqrt{14}}{2} = 4 + \sqrt{14}$
Теперь вернемся к исходной переменной $x$, рассмотрев два случая.
Случай 1: $t = 4 - \sqrt{14}$
$x^2 - x = 4 - \sqrt{14}$
$x^2 - x - (4 - \sqrt{14}) = 0$
$x^2 - x - 4 + \sqrt{14} = 0$
Найдем дискриминант: $D_x = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4 + \sqrt{14}) = 1 + 16 - 4\sqrt{14} = 17 - 4\sqrt{14}$.
Так как $17^2=289$ и $(4\sqrt{14})^2 = 16 \cdot 14 = 224$, то $17 > 4\sqrt{14}$, следовательно $D_x > 0$.
$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{17 - 4\sqrt{14}}}{2}$
Случай 2: $t = 4 + \sqrt{14}$
$x^2 - x = 4 + \sqrt{14}$
$x^2 - x - (4 + \sqrt{14}) = 0$
$x^2 - x - 4 - \sqrt{14} = 0$
Найдем дискриминант: $D_x = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4 - \sqrt{14}) = 1 + 16 + 4\sqrt{14} = 17 + 4\sqrt{14}$.
Так как $D_x > 0$, уравнение имеет два корня.
$x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{17 + 4\sqrt{14}}}{2}$
Ответ: $\frac{1 - \sqrt{17 - 4\sqrt{14}}}{2}; \frac{1 + \sqrt{17 - 4\sqrt{14}}}{2}; \frac{1 - \sqrt{17 + 4\sqrt{14}}}{2}; \frac{1 + \sqrt{17 + 4\sqrt{14}}}{2}$.