Номер 816, страница 327 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 816, страница 327.

Условие.

816. 1) $(x-1)(x-3)(x+2)(x+6) = 72x^2$;

2) $(x-1)(x-2)(x-3)(x-6) = 36x^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $(x-1)(x-3)(x+2)(x+6) = 72x^2$

Это уравнение является обобщенным возвратным уравнением. Для его решения сгруппируем множители таким образом, чтобы произведения свободных членов в каждой группе были равны. В данном случае: $(-1) \cdot 6 = -6$ и $(-3) \cdot 2 = -6$.

Перемножим скобки в соответствии с этой группировкой:

$((x-1)(x+6)) \cdot ((x-3)(x+2)) = 72x^2$

$(x^2 + 6x - x - 6)(x^2 + 2x - 3x - 6) = 72x^2$

$(x^2 + 5x - 6)(x^2 - x - 6) = 72x^2$

Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как при подстановке $x=0$ левая часть равна $(-6)(-6)=36$, а правая часть равна $0$. Поскольку $x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$:

$\frac{(x^2 + 5x - 6)}{x} \cdot \frac{(x^2 - x - 6)}{x} = 72$

$(x + 5 - \frac{6}{x})(x - 1 - \frac{6}{x}) = 72$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x - \frac{6}{x}$. Тогда уравнение примет вид:

$(y + 5)(y - 1) = 72$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - y + 5y - 5 = 72$

$y^2 + 4y - 77 = 0$

Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни:

$y_1 = 7$, $y_2 = -11$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

Случай 1: $y = 7$

$x - \frac{6}{x} = 7$

Умножим обе части на $x$:

$x^2 - 6 = 7x$

$x^2 - 7x - 6 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = (-7)^2 - 4(1)(-6) = 49 + 24 = 73$.

$x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{73}}{2}$.

Случай 2: $y = -11$

$x - \frac{6}{x} = -11$

$x^2 - 6 = -11x$

$x^2 + 11x - 6 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = 11^2 - 4(1)(-6) = 121 + 24 = 145$.

$x_{3,4} = \frac{-11 \pm \sqrt{145}}{2}$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $x_1 = \frac{7 + \sqrt{73}}{2}$, $x_2 = \frac{7 - \sqrt{73}}{2}$, $x_3 = \frac{-11 + \sqrt{145}}{2}$, $x_4 = \frac{-11 - \sqrt{145}}{2}$.

2) $(x-1)(x-2)(x-3)(x-6) = 36x^2$

Как и в предыдущем примере, сгруппируем множители по принципу равенства произведений свободных членов: $(-1) \cdot (-6) = 6$ и $(-2) \cdot (-3) = 6$.

$((x-1)(x-6)) \cdot ((x-2)(x-3)) = 36x^2$

$(x^2 - 6x - x + 6)(x^2 - 3x - 2x + 6) = 36x^2$

$(x^2 - 7x + 6)(x^2 - 5x + 6) = 36x^2$

Заметим, что $x=0$ не является корнем, так как $36 \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $x^2$:

$\frac{(x^2 - 7x + 6)}{x} \cdot \frac{(x^2 - 5x + 6)}{x} = 36$

$(x - 7 + \frac{6}{x})(x - 5 + \frac{6}{x}) = 36$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{6}{x}$. Уравнение примет вид:

$(y - 7)(y - 5) = 36$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$y^2 - 5y - 7y + 35 = 36$

$y^2 - 12y - 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант:

$D_y = (-12)^2 - 4(1)(-1) = 144 + 4 = 148$

$y = \frac{12 \pm \sqrt{148}}{2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{37}}{2} = 6 \pm \sqrt{37}$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 6 + \sqrt{37}$

$x + \frac{6}{x} = 6 + \sqrt{37}$

$x^2 - (6 + \sqrt{37})x + 6 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D_x = (-(6+\sqrt{37}))^2 - 4(1)(6) = (6+\sqrt{37})^2 - 24 = 36 + 12\sqrt{37} + 37 - 24 = 49 + 12\sqrt{37}$. Так как $D_x > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$x_{1,2} = \frac{6 + \sqrt{37} \pm \sqrt{49 + 12\sqrt{37}}}{2}$.

Случай 2: $y = 6 - \sqrt{37}$

$x + \frac{6}{x} = 6 - \sqrt{37}$

$x^2 - (6 - \sqrt{37})x + 6 = 0$

Найдем дискриминант: $D_x = (-(6-\sqrt{37}))^2 - 4(1)(6) = (6-\sqrt{37})^2 - 24 = 36 - 12\sqrt{37} + 37 - 24 = 49 - 12\sqrt{37}$. Сравним $49$ и $12\sqrt{37}$. Возведем оба числа в квадрат: $49^2 = 2401$, а $(12\sqrt{37})^2 = 144 \cdot 37 = 5328$. Так как $2401 < 5328$, то $49 < 12\sqrt{37}$, следовательно, $D_x = 49 - 12\sqrt{37} < 0$. В этом случае действительных корней нет.

Ответ: $x_1 = \frac{6 + \sqrt{37} + \sqrt{49 + 12\sqrt{37}}}{2}$, $x_2 = \frac{6 + \sqrt{37} - \sqrt{49 + 12\sqrt{37}}}{2}$.