Страница 327 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

802. 1) $ \frac{2}{x^2-x+1} - \frac{1}{x+1} = \frac{2x-1}{x^3+1} $

2) $ \frac{2x^2}{x-1} - \frac{3x}{x+2} = \frac{2(4x-1)}{x^2+x-2} $

1)

Исходное уравнение: $$ \frac{2}{x^2 - x + 1} - \frac{1}{x+1} = \frac{2x-1}{x^3+1} $$ Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.
1. $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.
2. Знаменатель $x^2 - x + 1$ не равен нулю ни при каких действительных $x$, так как его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$.
3. Разложим знаменатель $x^3+1$ на множители по формуле суммы кубов: $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$. Это выражение не равно нулю, если $x \neq -1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq -1$.

Общий знаменатель для всех дробей - это $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей: $$ \frac{2(x+1)(x^2-x+1)}{x^2-x+1} - \frac{1(x+1)(x^2-x+1)}{x+1} = \frac{(2x-1)(x+1)(x^2-x+1)}{x^3+1} $$ Сокращаем дроби и получаем: $$ 2(x+1) - 1(x^2-x+1) = 2x-1 $$ Раскроем скобки: $$ 2x + 2 - x^2 + x - 1 = 2x - 1 $$ Приведем подобные слагаемые в левой части: $$ -x^2 + 3x + 1 = 2x - 1 $$ Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$ x^2 - 3x - 1 + 2x - 1 = 0 $$ $$ x^2 - x - 2 = 0 $$ Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Корни легко находятся разложением на множители: $$ (x-2)(x+1) = 0 $$ Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -1$).
Корень $x=2$ удовлетворяет условию.
Корень $x=-1$ не удовлетворяет условию, поэтому является посторонним корнем.

Ответ: $x=2$.

2)

Исходное уравнение: $$ \frac{2x^2}{x-1} - \frac{3x}{x+2} = \frac{2(4x-1)}{x^2+x-2} $$ Разложим знаменатель в правой части на множители: $x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$.
Уравнение принимает вид: $$ \frac{2x^2}{x-1} - \frac{3x}{x+2} = \frac{2(4x-1)}{(x-1)(x+2)} $$ Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x-1 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -2$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-1)(x+2)$: $$ \frac{2x^2(x-1)(x+2)}{x-1} - \frac{3x(x-1)(x+2)}{x+2} = \frac{2(4x-1)(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+2)} $$ После сокращения получаем: $$ 2x^2(x+2) - 3x(x-1) = 2(4x-1) $$ Раскроем скобки: $$ 2x^3 + 4x^2 - 3x^2 + 3x = 8x - 2 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 2x^3 + x^2 + 3x = 8x - 2 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ 2x^3 + x^2 + 3x - 8x + 2 = 0 $$ $$ 2x^3 + x^2 - 5x + 2 = 0 $$ Мы получили кубическое уравнение. Для его решения можно найти целые корни среди делителей свободного члена (числа 2), то есть $\pm 1, \pm 2$.
Проверим $x=1$: $2(1)^3 + (1)^2 - 5(1) + 2 = 2+1-5+2 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем.
Проверим $x=-2$: $2(-2)^3 + (-2)^2 - 5(-2) + 2 = 2(-8) + 4 + 10 + 2 = -16 + 16 = 0$. Значит, $x=-2$ тоже является корнем.
Разделим многочлен $2x^3 + x^2 - 5x + 2$ на произведение $(x-1)(x+2) = x^2+x-2$, чтобы найти третий корень. $$ (2x^3 + x^2 - 5x + 2) : (x^2+x-2) = 2x-1 $$ Таким образом, уравнение можно записать в виде: $$ (x-1)(x+2)(2x-1) = 0 $$ Корни этого уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$, $x_3 = \frac{1}{2}$.

Сравним найденные корни с ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -2$).
Корни $x=1$ и $x=-2$ являются посторонними, так как не входят в ОДЗ.
Корень $x=\frac{1}{2}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=\frac{1}{2}$.

803. 1) $\frac{3x}{2x-1} + \frac{x+1}{x+2} = \frac{3}{2-3x-2x^2}$;

2) $\frac{4x^2}{x+2} - \frac{10}{x+2} + 4 = 0$.

1) $\frac{3x}{2x-1} + \frac{x+1}{x+2} = \frac{3}{2-3x-2x^2}$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которых уравнение имеет смысл. Знаменатели дробей не должны равняться нулю.

$2x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2}$

$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$

$2-3x-2x^2 \neq 0$. Разложим этот многочлен на множители. Для этого решим квадратное уравнение $-2x^2-3x+2=0$. Умножим на -1: $2x^2+3x-2=0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$; $x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $2-3x-2x^2 = -2(x+2)(x-\frac{1}{2}) = -(x+2)(2x-1)$.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq -2$ и $x \neq \frac{1}{2}$.

Теперь преобразуем исходное уравнение:

$\frac{3x}{2x-1} + \frac{x+1}{x+2} = \frac{3}{-(2x-1)(x+2)}$

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{3x}{2x-1} + \frac{x+1}{x+2} + \frac{3}{(2x-1)(x+2)} = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $(2x-1)(x+2)$:

$\frac{3x(x+2) + (x+1)(2x-1) + 3}{(2x-1)(x+2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Учитывая ОДЗ, приравняем числитель к нулю:

$3x(x+2) + (x+1)(2x-1) + 3 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + 6x + 2x^2 - x + 2x - 1 + 3 = 0$

$5x^2 + 7x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9 = 3^2$

$x_1 = \frac{-7 - 3}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$

$x_2 = \frac{-7 + 3}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -0.4$

Оба корня ($-1$ и $-0.4$) входят в область допустимых значений.
Ответ: $-1; -0.4$.

2) $\frac{4x^2}{x+2} - \frac{10}{x+2} + 4 = 0$

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $x+2$:

$\frac{4x^2}{x+2} - \frac{10}{x+2} + \frac{4(x+2)}{x+2} = 0$

$\frac{4x^2 - 10 + 4(x+2)}{x+2} = 0$

При $x \neq -2$ числитель должен быть равен нулю:

$4x^2 - 10 + 4x + 8 = 0$

$4x^2 + 4x - 2 = 0$

Для удобства разделим всё уравнение на 2:

$2x^2 + 2x - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение по формуле корней:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4}$

Сократим дробь на 2:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Полученные корни $x_1 = \frac{-1+\sqrt{3}}{2}$ и $x_2 = \frac{-1-\sqrt{3}}{2}$ не равны $-2$, значит, они удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$.

804. 1) $x^4 - 11x^2 + 30 = 0;$

2) $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0.$

1) $x^4 - 11x^2 + 30 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем замену переменной. Пусть $y = x^2$, при этом $y \ge 0$. Тогда $x^4 = (x^2)^2 = y^2$. Исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 - 11y + 30 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна коэффициенту при $y$ с противоположным знаком, то есть 11, а произведение корней равно свободному члену, то есть 30. Подбором находим корни:

$y_1 = 5$

$y_2 = 6$

Также можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm 1}{2}$

$y_1 = \frac{11 - 1}{2} = 5$

$y_2 = \frac{11 + 1}{2} = 6$

Оба найденных значения для $y$ положительны, следовательно, удовлетворяют условию $y \ge 0$. Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену.

1. При $y_1 = 5$, получаем $x^2 = 5$. Отсюда $x = \pm\sqrt{5}$.

2. При $y_2 = 6$, получаем $x^2 = 6$. Отсюда $x = \pm\sqrt{6}$.

Таким образом, уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $\pm\sqrt{5}; \pm\sqrt{6}$.

2) $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $y = x^2$, где $y \ge 0$. Уравнение преобразуется в квадратное:

$2y^2 - 5y + 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$

$y_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Оба корня ($y_1 = \frac{1}{2}$ и $y_2 = 2$) являются положительными, поэтому оба подходят для обратной замены.

1. При $y_1 = \frac{1}{2}$, получаем $x^2 = \frac{1}{2}$. Отсюда $x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. При $y_2 = 2$, получаем $x^2 = 2$. Отсюда $x = \pm\sqrt{2}$.

Следовательно, исходное уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $\pm\sqrt{2}; \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

805. 1) $2x^{-2} + 4x^{-1} + 3 = 0;$

2) $(x^2 - x)^2 + 12 = 8(x^2 - x).$

1) $2x^{-2} + 4x^{-1} + 3 = 0$

Данное уравнение является уравнением, сводящимся к квадратному. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условием $x \neq 0$, так как в уравнении присутствуют степени с отрицательным показателем.

Перепишем уравнение, используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$2\left(\frac{1}{x^2}\right) + 4\left(\frac{1}{x}\right) + 3 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = x^{-1} = \frac{1}{x}$. Тогда $t^2 = (x^{-1})^2 = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Подставим $t$ в уравнение, чтобы получить квадратное уравнение относительно $t$:

$2t^2 + 4t + 3 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=2$, $b=4$, $c=3$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8$

Так как дискриминант $D = -8 < 0$, квадратное уравнение $2t^2 + 4t + 3 = 0$ не имеет действительных корней для $t$.

Поскольку не существует действительных значений $t$, удовлетворяющих этому уравнению, то не существует и соответствующих действительных значений $x$. Следовательно, исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

2) $(x^2 - x)^2 + 12 = 8(x^2 - x)$

Это уравнение можно решить методом введения новой переменной. Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12 = 0$

Заметим, что выражение $(x^2 - x)$ повторяется. Сделаем замену. Пусть $y = x^2 - x$.

Тогда уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно переменной $y$:

$y^2 - 8y + 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, ищем два числа, произведение которых равно 12, а сумма равна 8. Это числа 2 и 6.

Таким образом, корни уравнения: $y_1 = 2$ и $y_2 = 6$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

Случай 1: $y = 2$

$x^2 - x = 2$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -2, а сумма равна 1. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Случай 2: $y = 6$

$x^2 - x = 6$

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -6, а сумма равна 1. Корни: $x_3 = 3$ и $x_4 = -2$.

Объединяя все найденные корни, получаем четыре решения исходного уравнения.

Ответ: $-2; -1; 2; 3$.

806. 1) $x^2 + ax - b^2 + \frac{a^2}{4} = 0;$

2) $\frac{2x}{2x-a} - \frac{x}{2x+a} = \frac{5a^2}{4x^2-a^2}.$

1) Дано квадратное уравнение $x^2 + ax - b^2 + \frac{a^2}{4} = 0$.

Для решения сгруппируем члены уравнения, чтобы выделить полный квадрат относительно переменной $x$.

$x^2 + ax + \frac{a^2}{4} - b^2 = 0$

Первые три слагаемых представляют собой формулу квадрата суммы $(x + \frac{a}{2})^2$. Подставим это в уравнение:

$(x + \frac{a}{2})^2 - b^2 = 0$

Теперь мы имеем разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = x + \frac{a}{2}$ и $B=b$.

$(x + \frac{a}{2} - b)(x + \frac{a}{2} + b) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Это дает нам два линейных уравнения:

$x + \frac{a}{2} - b = 0 \quad$ или $\quad x + \frac{a}{2} + b = 0$

Решая каждое из них, находим корни:

$x_1 = b - \frac{a}{2}$

$x_2 = -b - \frac{a}{2}$

Ответ: $x_1 = b - \frac{a}{2}$; $x_2 = -b - \frac{a}{2}$.

2) Дано дробно-рациональное уравнение $\frac{2x}{2x-a} - \frac{x}{2x+a} = \frac{5a^2}{4x^2-a^2}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль.

$2x-a \neq 0 \implies x \neq \frac{a}{2}$

$2x+a \neq 0 \implies x \neq -\frac{a}{2}$

Знаменатель в правой части уравнения $4x^2 - a^2$ раскладывается на множители как $(2x-a)(2x+a)$, поэтому ОДЗ: $x \neq \pm\frac{a}{2}$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(2x-a)(2x+a)$:

$\frac{2x(2x+a) - x(2x-a)}{(2x-a)(2x+a)} = \frac{5a^2}{(2x-a)(2x+a)}$

В области допустимых значений можно умножить обе части уравнения на общий знаменатель $(2x-a)(2x+a) \neq 0$ и приравнять числители:

$2x(2x+a) - x(2x-a) = 5a^2$

Раскроем скобки в левой части:

$4x^2 + 2ax - 2x^2 + ax = 5a^2$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 3ax - 5a^2 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $x$. Решим его с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $A=2$, $B=3a$, $C=-5a^2$.

$D = B^2 - 4AC = (3a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5a^2) = 9a^2 + 40a^2 = 49a^2 = (7a)^2$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-3a \pm \sqrt{(7a)^2}}{2 \cdot 2} = \frac{-3a \pm 7a}{4}$

Вычислим два корня:

$x_1 = \frac{-3a + 7a}{4} = \frac{4a}{4} = a$

$x_2 = \frac{-3a - 7a}{4} = \frac{-10a}{4} = -\frac{5a}{2}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ, если $a \neq 0$. Если $a=0$, то исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: $x_1 = a$; $x_2 = -\frac{5a}{2}$.

807. Решить относительно n уравнение:

1) $\frac{2P_{n-1}}{P_{n+1}} = 1;$

2) $A_{n+1}^2 = 156;$

3) $C_n^3 = \frac{4}{15}C_{n+2}^4;$

4) $12C_{n+3}^{n-1} = 5A_{n+1}^2.$

Для решения данных уравнений воспользуемся определениями перестановок, размещений и сочетаний, а также их свойствами.

• Число перестановок из $k$ элементов: $P_k = k!$
• Число размещений из $n$ по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)...(n-k+1)$
• Число сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{(n-k)!k!} = \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}$

Во всех задачах $n$ должно быть натуральным числом, удовлетворяющим условиям существования комбинаторных выражений.

1) $\frac{2P_{n-1}}{P_{n+1}}=1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для $n$. Для существования $P_{n-1}$ необходимо, чтобы $n-1 \ge 0$, то есть $n \ge 1$. Для $P_{n+1}$ необходимо $n+1 \ge 0$, что выполняется при $n \ge 1$. Таким образом, ОДЗ: $n \in \mathbb{N}, n \ge 1$.

Используем формулу для числа перестановок $P_k=k!$:
$P_{n-1} = (n-1)!$
$P_{n+1} = (n+1)!$

Подставим эти выражения в уравнение:
$\frac{2(n-1)!}{(n+1)!} = 1$

Упростим знаменатель, используя свойство факториала $(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!$:
$\frac{2(n-1)!}{(n+1)n(n-1)!} = 1$

Сократим дробь на $(n-1)!$ (это возможно, так как в ОДЗ $n \ge 1$):
$\frac{2}{n(n+1)} = 1$

Решим полученное уравнение:
$2 = n(n+1)$
$n^2 + n - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета:
$n_1 + n_2 = -1$
$n_1 \cdot n_2 = -2$
Корни уравнения: $n_1 = 1$ и $n_2 = -2$.

Проверим корни по ОДЗ ($n \ge 1$). Корень $n_1 = 1$ удовлетворяет условию. Корень $n_2 = -2$ не удовлетворяет условию.
Ответ: $1$

2) $A_{n+1}^2 = 156$

ОДЗ: для существования $A_{n+1}^2$ необходимо, чтобы $n+1 \ge 2$, то есть $n \ge 1$. ОДЗ: $n \in \mathbb{N}, n \ge 1$.

Используем формулу для числа размещений $A_n^k = n(n-1)...(n-k+1)$:
$A_{n+1}^2 = (n+1) \cdot ((n+1)-1) = (n+1)n$

Подставим в уравнение:
$(n+1)n = 156$
$n^2 + n - 156 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно заметить, что 156 — это произведение двух последовательных чисел. $12^2 = 144$, $13^2 = 169$. Проверим $12 \cdot 13 = 156$. Значит, один из корней $n_1=12$. По теореме Виета $n_1 \cdot n_2 = -156$, откуда $12 \cdot n_2 = -156 \implies n_2 = -13$.
Корни уравнения: $n_1=12$ и $n_2=-13$.

Проверим корни по ОДЗ ($n \ge 1$). Корень $n_1=12$ подходит, а $n_2=-13$ — нет.
Ответ: $12$

3) $C_n^3 = \frac{4}{15}C_{n+2}^4$

ОДЗ: для $C_n^3$ нужно $n \ge 3$. Для $C_{n+2}^4$ нужно $n+2 \ge 4$, то есть $n \ge 2$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $n \in \mathbb{N}, n \ge 3$.

Используем формулы для числа сочетаний:
$C_n^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$
$C_{n+2}^4 = \frac{(n+2)(n+1)n(n-1)}{4!} = \frac{(n+2)(n+1)n(n-1)}{24}$

Подставим в уравнение:
$\frac{n(n-1)(n-2)}{6} = \frac{4}{15} \cdot \frac{(n+2)(n+1)n(n-1)}{24}$

Поскольку по ОДЗ $n \ge 3$, то $n \neq 0$ и $n-1 \neq 0$, можно сократить обе части уравнения на $n(n-1)$:
$\frac{n-2}{6} = \frac{4}{15} \cdot \frac{(n+2)(n+1)}{24}$

Упростим правую часть: $\frac{4}{15 \cdot 24} = \frac{1}{15 \cdot 6} = \frac{1}{90}$.
$\frac{n-2}{6} = \frac{(n+2)(n+1)}{90}$

Умножим обе части на 90:
$15(n-2) = (n+2)(n+1)$
$15n - 30 = n^2 + 3n + 2$
$n^2 - 12n + 32 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$n_1 + n_2 = 12$
$n_1 \cdot n_2 = 32$
Корни уравнения: $n_1 = 4$ и $n_2 = 8$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($n \ge 3$).
Ответ: $4; 8$

4) $12C_{n+3}^{n-1} = 5A_{n+1}^2$

ОДЗ: для $C_{n+3}^{n-1}$ нужно $n+3 \ge n-1$ (что верно всегда) и $n-1 \ge 0 \implies n \ge 1$. Для $A_{n+1}^2$ нужно $n+1 \ge 2 \implies n \ge 1$. Общее ОДЗ: $n \in \mathbb{N}, n \ge 1$.

Используем свойство сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$, чтобы упростить выражение:
$C_{n+3}^{n-1} = C_{n+3}^{(n+3)-(n-1)} = C_{n+3}^4$

Теперь запишем выражения через формулы:
$C_{n+3}^4 = \frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{4!} = \frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{24}$
$A_{n+1}^2 = (n+1)n$

Подставим в уравнение:
$12 \cdot \frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{24} = 5 \cdot (n+1)n$

Упростим левую часть:
$\frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{2} = 5(n+1)n$

По ОДЗ $n \ge 1$, поэтому $n(n+1) \neq 0$. Сократим на $n(n+1)$:
$\frac{(n+3)(n+2)}{2} = 5$
$(n+3)(n+2) = 10$
$n^2 + 5n + 6 = 10$
$n^2 + 5n - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25 + 16 = 41$
$n = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}$

Поскольку $\sqrt{41}$ является иррациональным числом, корни этого уравнения не являются целыми числами. Однако в задачах по комбинаторике $n$ должно быть натуральным числом.
Следовательно, уравнение не имеет решений в натуральных числах.
Ответ: решений нет

808. При каком условии трёхчлен $ax^2 + bx + c$ является квадратом двучлена?

Трехчлен $ax^2 + bx + c$ является квадратом двучлена, если его можно представить в виде $(mx + n)^2$ для некоторых действительных чисел $m$ и $n$. Раскроем скобки в выражении для квадрата двучлена: $(mx + n)^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2$.

Чтобы трехчлен $ax^2 + bx + c$ был тождественно равен выражению $m^2x^2 + 2mnx + n^2$, их коэффициенты при одинаковых степенях $x$ должны быть равны. Это дает нам следующую систему уравнений: $a = m^2$, $b = 2mn$, и $c = n^2$.

Из первого уравнения, $a = m^2$, следует, что коэффициент $a$ должен быть неотрицательным. Поскольку по условию мы имеем дело с трехчленом (предполагается, что это квадратный трехчлен), то $a \neq 0$. Следовательно, $a > 0$. Аналогично, из третьего уравнения $c = n^2$ следует, что $c \ge 0$.

Теперь найдем связь между коэффициентами $a$, $b$ и $c$, исключив $m$ и $n$. Возведем второе уравнение, $b = 2mn$, в квадрат: $b^2 = (2mn)^2 = 4m^2n^2$.

Подставим в это равенство значения $m^2 = a$ и $n^2 = c$ из первого и третьего уравнений системы. Получим основное условие: $b^2 = 4ac$.

Это условие эквивалентно тому, что дискриминант квадратного трехчлена $D = b^2 - 4ac$ равен нулю. Убедимся, что это условие является достаточным. Если $b^2 - 4ac = 0$ и $a > 0$, то трехчлен можно преобразовать методом выделения полного квадрата: $ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\sqrt{a}x + \frac{b}{2\sqrt{a}}\right)^2$. Последнее выражение является квадратом двучлена.

Ответ: Трехчлен $ax^2 + bx + c$ является квадратом двучлена при условии, что его дискриминант равен нулю, то есть $b^2 - 4ac = 0$. Дополнительным требованием (которое следует из определения квадрата двучлена с вещественными коэффициентами) является положительность старшего коэффициента: $a > 0$.

809. Доказать, что корни уравнения $ax^2 + bx + a = 0$ есть взаимно обратные числа, если $a \neq 0$.

Для доказательства того, что корни уравнения $ax^2 + bx + a = 0$ (при условии $a \neq 0$) являются взаимно обратными числами, воспользуемся теоремой Виета.

Два числа, $x_1$ и $x_2$, называются взаимно обратными, если их произведение равно единице, то есть $x_1 \cdot x_2 = 1$. Наша задача — доказать, что для корней данного уравнения это равенство выполняется.

Согласно теореме Виета, для общего квадратного уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ произведение корней вычисляется по формуле:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A}$

В нашем уравнении $ax^2 + bx + a = 0$ коэффициенты следующие:
старший коэффициент $A = a$;
второй коэффициент $B = b$;
свободный член $C = a$.

Подставим значения этих коэффициентов в формулу для произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{a}{a}$

Поскольку по условию задачи коэффициент $a \neq 0$, мы имеем право разделить $a$ на $a$. В результате деления получаем 1:

$x_1 \cdot x_2 = 1$

Мы получили, что произведение корней уравнения равно 1. По определению, это означает, что корни $x_1$ и $x_2$ являются взаимно обратными числами. Таким образом, утверждение доказано. Стоит отметить, что поскольку произведение корней равно 1, ни один из них не может быть равен нулю. Это согласуется с условием $a \neq 0$, так как если бы $x=0$ был корнем, подстановка в уравнение дала бы $a=0$, что противоречит условию.

Ответ: Согласно теореме Виета, произведение корней уравнения $ax^2 + bx + a = 0$ равно $\frac{a}{a} = 1$. Поскольку произведение корней равно единице, они являются взаимно обратными числами, что и требовалось доказать.

Решить уравнение (810—811).

810. 1) $|2x - 3| = 7;$ 2) $|x + 6| = 2x;$ 3) $2x - 7 = |x - 4|.$

1) $|2x - 3| = 7$

Уравнение с модулем вида $|A| = c$ (где $c > 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = c$ и $A = -c$.

Рассмотрим оба случая:

1. $2x - 3 = 7$

$2x = 7 + 3$

$2x = 10$

$x_1 = 5$

2. $2x - 3 = -7$

$2x = -7 + 3$

$2x = -4$

$x_2 = -2$

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $-2; 5$.

2) $|x + 6| = 2x$

Поскольку значение модуля всегда неотрицательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Это является областью допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

$2x \ge 0 \Rightarrow x \ge 0$.

Теперь решим уравнение, раскрыв модуль, для $x \ge 0$:

Так как при $x \ge 0$ выражение $x+6$ всегда положительно, модуль можно просто опустить:

$x + 6 = 2x$

$6 = 2x - x$

$x = 6$

Проверяем, соответствует ли найденный корень ОДЗ ($x \ge 0$).

$6 \ge 0$, следовательно, корень подходит.

Замечание: если бы мы рассмотрели случай $x+6 = -2x$, то получили бы $3x = -6$, $x=-2$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним.

Ответ: $6$.

3) $2x - 7 = |x - 4|$

Перепишем уравнение в виде $|x - 4| = 2x - 7$.

Как и в предыдущем задании, правая часть должна быть неотрицательной:

$2x - 7 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge 7 \Rightarrow x \ge 3.5$.

При этом условии уравнение равносильно совокупности двух систем:

1. Раскроем модуль со знаком "плюс" (когда подмодульное выражение $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$):

$\begin{cases} x \ge 4 \\ x - 4 = 2x - 7 \end{cases}$

Решаем уравнение системы:

$7 - 4 = 2x - x$

$x = 3$

Полученный корень $x=3$ не удовлетворяет условию системы $x \ge 4$, следовательно, он не является решением.

2. Раскроем модуль со знаком "минус" (когда подмодульное выражение $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$):

$\begin{cases} 3.5 \le x < 4 \\ x - 4 = -(2x - 7) \end{cases}$

Решаем уравнение системы:

$x - 4 = -2x + 7$

$x + 2x = 7 + 4$

$3x = 11$

$x = 11/3$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=11/3$ условию системы $3.5 \le x < 4$.

$11/3 = 3\frac{2}{3}$. $3.5 = 3\frac{1}{2}$.

Так как $3\frac{1}{2} \le 3\frac{2}{3} < 4$, корень $x = 11/3$ является решением.

Ответ: $11/3$.

811. 1) $|6 - 2x| = 3x + 1;$

2) $2|x - 2| = |x| - 1.$

1) $|6 - 2x| = 3x + 1$

Это уравнение вида $|f(x)| = g(x)$. Поскольку значение модуля всегда неотрицательно ($|a| \ge 0$), правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Это является областью допустимых значений (ОДЗ).

$3x + 1 \ge 0$
$3x \ge -1$
$x \ge -1/3$

Теперь решим уравнение, раскрыв модуль. Уравнение $|A| = B$ равносильно совокупности двух систем:

1) $6 - 2x = 3x + 1$
$6 - 1 = 3x + 2x$
$5 = 5x$
$x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли этот корень условию ОДЗ ($x \ge -1/3$).
$1 \ge -1/3$. Условие выполняется, значит, $x=1$ является корнем уравнения.

2) $6 - 2x = -(3x + 1)$
$6 - 2x = -3x - 1$
$-2x + 3x = -1 - 6$
$x = -7$

Проверим этот корень на соответствие ОДЗ ($x \ge -1/3$).
$-7 < -1/3$. Условие не выполняется, значит, $x=-7$ является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $1$.

2) $2|x - 2| = |x| - 1$

Для решения этого уравнения с двумя модулями применим метод интервалов. Найдем точки, в которых выражения под модулями обращаются в ноль:

$x - 2 = 0 \implies x = 2$
$x = 0$

Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка. Решим уравнение на каждом из них.

I. Промежуток $x < 0$
На этом интервале $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$ и $|x| = -x$.
Уравнение принимает вид:
$2(2 - x) = -x - 1$
$4 - 2x = -x - 1$
$5 = x$
Полученное значение $x=5$ не входит в рассматриваемый промежуток $x < 0$, следовательно, на этом интервале корней нет.

II. Промежуток $0 \le x < 2$
На этом интервале $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$ и $|x| = x$.
Уравнение принимает вид:
$2(2 - x) = x - 1$
$4 - 2x = x - 1$
$5 = 3x$
$x = 5/3$
Значение $x = 5/3$ (приблизительно 1,67) входит в промежуток $0 \le x < 2$, значит, это корень уравнения.

III. Промежуток $x \ge 2$
На этом интервале $|x - 2| = x - 2$ и $|x| = x$.
Уравнение принимает вид:
$2(x - 2) = x - 1$
$2x - 4 = x - 1$
$2x - x = 4 - 1$
$x = 3$
Значение $x=3$ входит в промежуток $x \ge 2$, значит, это также корень уравнения.

Объединяя найденные решения, получаем два корня.

Ответ: $5/3; 3$.

812. Найти наименьший корень уравнения $|x^2 - 3x - 6| = 2x$.

Для решения уравнения $|x^2 - 3x - 6| = 2x$ необходимо учесть, что значение модуля не может быть отрицательным. Это накладывает ограничение на правую часть уравнения.

Область допустимых значений (ОДЗ):
$2x \ge 0$
$x \ge 0$

Следовательно, все корни уравнения должны быть неотрицательными. Уравнение с модулем $|A| = B$ (при $B \ge 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$. Рассмотрим оба случая.

1. Первый случай: подмодульное выражение равно правой части

$x^2 - 3x - 6 = 2x$

Переносим все слагаемые в левую часть и приводим подобные:

$x^2 - 3x - 2x - 6 = 0$

$x^2 - 5x - 6 = 0$

Решаем полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2}$

Находим два корня:

$x_1 = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условию $6 \ge 0$.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, значит, это посторонний корень.

2. Второй случай: подмодульное выражение противоположно правой части

$x^2 - 3x - 6 = -2x$

Переносим все слагаемые в левую часть и приводим подобные:

$x^2 - 3x + 2x - 6 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

Решаем полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$

Находим два корня:

$x_3 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_4 = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_3 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 0$.

Корень $x_4 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 \ge 0$, значит, это посторонний корень.

Таким образом, мы получили два действительных корня исходного уравнения: 6 и 3.

По условию задачи требуется найти наименьший корень. Сравниваем полученные корни:

$3 < 6$

Наименьший корень уравнения равен 3.

Ответ: 3

813. Найти наибольший рациональный корень уравнения $ |x^2 - 8x + 5| = 2x. $

Данное уравнение $|x^2 - 8x + 5| = 2x$ содержит переменную под знаком модуля.

По определению, абсолютная величина (модуль) любого числа является неотрицательной. Следовательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Это задает область допустимых значений (ОДЗ) для $x$:
$2x \ge 0$
$x \ge 0$

Уравнение вида $|A| = B$ равносильно совокупности двух систем, но с учетом уже найденного ОДЗ, мы можем просто рассмотреть два случая раскрытия модуля и проверить найденные корни на соответствие условию $x \ge 0$.

Случай 1. Выражение под модулем неотрицательно.
$x^2 - 8x + 5 = 2x$
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 10x + 5 = 0$
Решим его с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 100 - 20 = 80$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{10 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{5}$
Корни $x_1 = 5 + 2\sqrt{5}$ и $x_2 = 5 - 2\sqrt{5}$ являются иррациональными числами, так как содержат $\sqrt{5}$.

Случай 2. Выражение под модулем отрицательно.
$x^2 - 8x + 5 = -2x$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$x^2 - 6x + 5 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Корни легко находятся подбором:
$x_3 = 1$
$x_4 = 5$
Оба этих корня являются рациональными.

Проверим найденные рациональные корни $1$ и $5$ на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$):
Для $x = 1$: $1 \ge 0$ (верно).
Для $x = 5$: $5 \ge 0$ (верно).
Оба корня удовлетворяют ОДЗ и являются решениями исходного уравнения.

Таким образом, рациональными корнями уравнения являются 1 и 5. Требуется найти наибольший из них.
Сравнивая 1 и 5, получаем, что 5 является наибольшим рациональным корнем.

Ответ: 5

Найти действительные корни уравнения (814—820).

814. 1) $x^3 - 3x^2 + x = 3;$

2) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0;$

3) $x^3 - 5x^2 + 8x - 6 = 0;$

4) $x^4 - 3x^3 - 2x^2 - 6x - 8 = 0;$

5) $x^5 + x^4 - 6x^3 - 14x^2 - 11x - 3 = 0;$

6) $2x^4 - 2x^3 - 11x^2 - x - 6 = 0.$

1) $x^3 - 3x^2 + x = 3$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$x^3 - 3x^2 + x - 3 = 0$
Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:
$(x^3 - 3x^2) + (x - 3) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x - 3) + 1(x - 3) = 0$
Теперь вынесем общий множитель $(x - 3)$:
$(x - 3)(x^2 + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
Первый случай: $x - 3 = 0$, откуда $x = 3$.
Второй случай: $x^2 + 1 = 0$, откуда $x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, уравнение имеет один действительный корень.
Ответ: 3.

2) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^3 - 3x^2) - (4x - 12) = 0$
Вынесем общие множители:
$x^2(x - 3) - 4(x - 3) = 0$
Вынесем общий множитель $(x - 3)$:
$(x - 3)(x^2 - 4) = 0$
Второй множитель является разностью квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.
Уравнение принимает вид:
$(x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0$
Отсюда находим корни:
$x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$
$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$
$x + 2 = 0 \implies x_3 = -2$
Ответ: -2; 2; 3.

3) $x^3 - 5x^2 + 8x - 6 = 0$
Найдем целочисленные корни среди делителей свободного члена -6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Проверим $x = 3$: $3^3 - 5 \cdot 3^2 + 8 \cdot 3 - 6 = 27 - 5 \cdot 9 + 24 - 6 = 27 - 45 + 24 - 6 = 0$.
Значит, $x = 3$ является корнем. Разделим многочлен на $(x - 3)$ (например, по схеме Горнера или "уголком"):
$(x^3 - 5x^2 + 8x - 6) : (x - 3) = x^2 - 2x + 2$
Таким образом, уравнение можно записать в виде:
$(x - 3)(x^2 - 2x + 2) = 0$
Один корень $x = 3$. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x + 2 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
Так как $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, исходное уравнение имеет только один действительный корень.
Ответ: 3.

4) $x^4 - 3x^3 - 2x^2 - 6x - 8 = 0$
Найдем целочисленные корни среди делителей свободного члена -8: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm8$.
Проверим $x = -1$: $(-1)^4 - 3(-1)^3 - 2(-1)^2 - 6(-1) - 8 = 1 - 3(-1) - 2(1) + 6 - 8 = 1 + 3 - 2 + 6 - 8 = 0$.
Корень $x = -1$. Разделим многочлен на $(x + 1)$:
$(x^4 - 3x^3 - 2x^2 - 6x - 8) : (x + 1) = x^3 - 4x^2 + 2x - 8$
Получаем уравнение: $(x + 1)(x^3 - 4x^2 + 2x - 8) = 0$.
Решим кубическое уравнение $x^3 - 4x^2 + 2x - 8 = 0$ группировкой:
$(x^3 - 4x^2) + (2x - 8) = 0$
$x^2(x - 4) + 2(x - 4) = 0$
$(x - 4)(x^2 + 2) = 0$
Отсюда $x - 4 = 0 \implies x = 4$. Уравнение $x^2 + 2 = 0$ действительных корней не имеет.
Следовательно, действительные корни исходного уравнения: $x = -1$ и $x = 4$.
Ответ: -1; 4.

5) $x^5 + x^4 - 6x^3 - 14x^2 - 11x - 3 = 0$
Найдем целочисленные корни среди делителей свободного члена -3: $\pm1, \pm3$.
Проверим $x = -1$: $(-1)^5 + (-1)^4 - 6(-1)^3 - 14(-1)^2 - 11(-1) - 3 = -1 + 1 + 6 - 14 + 11 - 3 = 0$.
Корень $x = -1$. Разделим многочлен на $(x + 1)$:
$(x^5 + x^4 - 6x^3 - 14x^2 - 11x - 3) : (x + 1) = x^4 - 6x^2 - 8x - 3$.
Уравнение: $(x+1)(x^4 - 6x^2 - 8x - 3) = 0$.
Проверим $x = -1$ для нового многочлена $x^4 - 6x^2 - 8x - 3$: $(-1)^4 - 6(-1)^2 - 8(-1) - 3 = 1 - 6 + 8 - 3 = 0$.
Значит, $x = -1$ - корень кратности не менее 2. Делим $x^4 - 6x^2 - 8x - 3$ на $(x + 1)$:
$(x^4 - 6x^2 - 8x - 3) : (x+1) = x^3 - x^2 - 5x - 3$.
Уравнение: $(x+1)^2(x^3 - x^2 - 5x - 3) = 0$.
Проверим $x = -1$ для кубического многочлена: $(-1)^3 - (-1)^2 - 5(-1) - 3 = -1 - 1 + 5 - 3 = 0$.
Снова делим на $(x+1)$: $(x^3 - x^2 - 5x - 3) : (x+1) = x^2 - 2x - 3$.
Уравнение: $(x+1)^3(x^2 - 2x - 3) = 0$.
Решаем квадратное уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = 3, x_2 = -1$.
Итого, все корни: $x = -1$ (четырехкратный корень) и $x = 3$.
Ответ: -1; 3.

6) $2x^4 - 2x^3 - 11x^2 - x - 6 = 0$
Возможные рациональные корни по теореме о рациональных корнях (делители -6 деленные на делители 2): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{3}{2}$.
Проверим $x = -2$: $2(-2)^4 - 2(-2)^3 - 11(-2)^2 - (-2) - 6 = 2(16) - 2(-8) - 11(4) + 2 - 6 = 32 + 16 - 44 + 2 - 6 = 0$.
Корень $x = -2$. Разделим многочлен на $(x + 2)$:
$(2x^4 - 2x^3 - 11x^2 - x - 6) : (x + 2) = 2x^3 - 6x^2 + x - 3$.
Уравнение: $(x + 2)(2x^3 - 6x^2 + x - 3) = 0$.
Решим кубическое уравнение $2x^3 - 6x^2 + x - 3 = 0$ группировкой:
$(2x^3 - 6x^2) + (x - 3) = 0$
$2x^2(x - 3) + 1(x - 3) = 0$
$(x - 3)(2x^2 + 1) = 0$
Отсюда $x - 3 = 0 \implies x = 3$. Уравнение $2x^2 + 1 = 0$ действительных корней не имеет ($x^2 = -1/2$).
Следовательно, действительные корни исходного уравнения: $x = -2$ и $x = 3$.
Ответ: -2; 3.

815. 1) $(2x + 1)(3x + 2)(6x + 1)(x + 1) = 210;$

2) $(x + 1)(x + 2)(x - 2)(x - 3) = 10.$

1) Исходное уравнение: $(2x + 1)(3x + 2)(6x + 1)(x + 1) = 210$.
Для решения этого уравнения четвертой степени сгруппируем множители так, чтобы после их перемножения получить повторяющиеся выражения. Заметим, что произведение первого и третьего множителей, а также второго и четвертого, приводит к общему выражению. Перегруппируем множители:
$((2x + 1)(3x + 2)) \cdot ((6x + 1)(x + 1)) = 210$
Выполним умножение в каждой паре скобок:
$(2x + 1)(3x + 2) = 6x^2 + 4x + 3x + 2 = 6x^2 + 7x + 2$
$(6x + 1)(x + 1) = 6x^2 + 6x + x + 1 = 6x^2 + 7x + 1$
Теперь уравнение принимает вид:
$(6x^2 + 7x + 2)(6x^2 + 7x + 1) = 210$
Введем замену переменной. Пусть $y = 6x^2 + 7x$. Тогда уравнение преобразуется к виду:
$(y + 2)(y + 1) = 210$
Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 + y + 2y + 2 = 210$
$y^2 + 3y + 2 - 210 = 0$
$y^2 + 3y - 208 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-208) = 9 + 832 = 841$.
$\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29$.
Найдем корни для $y$:
$y_1 = \frac{-3 - 29}{2} = \frac{-32}{2} = -16$
$y_2 = \frac{-3 + 29}{2} = \frac{26}{2} = 13$
Теперь вернемся к исходной переменной $x$, рассмотрев два случая.
Случай 1: $y = -16$
$6x^2 + 7x = -16$
$6x^2 + 7x + 16 = 0$
Найдем дискриминант этого уравнения: $D_x = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot 16 = 49 - 384 = -335$.
Так как $D_x < 0$, в этом случае действительных корней нет.
Случай 2: $y = 13$
$6x^2 + 7x = 13$
$6x^2 + 7x - 13 = 0$
Найдем дискриминант этого уравнения: $D_x = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-13) = 49 + 312 = 361$.
$\sqrt{D_x} = \sqrt{361} = 19$.
Найдем корни для $x$:
$x_1 = \frac{-7 - 19}{2 \cdot 6} = \frac{-26}{12} = -\frac{13}{6}$
$x_2 = \frac{-7 + 19}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$
Ответ: $-\frac{13}{6}; 1$.

2) Исходное уравнение: $(x + 1)(x + 2)(x - 2)(x - 3) = 10$.
Сгруппируем множители так, чтобы суммы свободных членов в каждой группе были равны. Заметим, что $1 + (-2) = -1$ и $2 + (-3) = -1$. Поэтому сгруппируем первый множитель с третьим, а второй с четвертым:
$((x + 1)(x - 2)) \cdot ((x + 2)(x - 3)) = 10$
Выполним умножение в каждой паре скобок:
$(x + 1)(x - 2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2$
$(x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$
Уравнение принимает вид:
$(x^2 - x - 2)(x^2 - x - 6) = 10$
Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 - x$. Тогда уравнение преобразуется к виду:
$(t - 2)(t - 6) = 10$
Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 6t - 2t + 12 = 10$
$t^2 - 8t + 2 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 64 - 8 = 56$.
$\sqrt{D} = \sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{8 - 2\sqrt{14}}{2} = 4 - \sqrt{14}$
$t_2 = \frac{8 + 2\sqrt{14}}{2} = 4 + \sqrt{14}$
Теперь вернемся к исходной переменной $x$, рассмотрев два случая.
Случай 1: $t = 4 - \sqrt{14}$
$x^2 - x = 4 - \sqrt{14}$
$x^2 - x - (4 - \sqrt{14}) = 0$
$x^2 - x - 4 + \sqrt{14} = 0$
Найдем дискриминант: $D_x = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4 + \sqrt{14}) = 1 + 16 - 4\sqrt{14} = 17 - 4\sqrt{14}$.
Так как $17^2=289$ и $(4\sqrt{14})^2 = 16 \cdot 14 = 224$, то $17 > 4\sqrt{14}$, следовательно $D_x > 0$.
$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{17 - 4\sqrt{14}}}{2}$
Случай 2: $t = 4 + \sqrt{14}$
$x^2 - x = 4 + \sqrt{14}$
$x^2 - x - (4 + \sqrt{14}) = 0$
$x^2 - x - 4 - \sqrt{14} = 0$
Найдем дискриминант: $D_x = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4 - \sqrt{14}) = 1 + 16 + 4\sqrt{14} = 17 + 4\sqrt{14}$.
Так как $D_x > 0$, уравнение имеет два корня.
$x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{17 + 4\sqrt{14}}}{2}$
Ответ: $\frac{1 - \sqrt{17 - 4\sqrt{14}}}{2}; \frac{1 + \sqrt{17 - 4\sqrt{14}}}{2}; \frac{1 - \sqrt{17 + 4\sqrt{14}}}{2}; \frac{1 + \sqrt{17 + 4\sqrt{14}}}{2}$.

816. 1) $(x-1)(x-3)(x+2)(x+6) = 72x^2$;

2) $(x-1)(x-2)(x-3)(x-6) = 36x^2$.

1) $(x-1)(x-3)(x+2)(x+6) = 72x^2$

Это уравнение является обобщенным возвратным уравнением. Для его решения сгруппируем множители таким образом, чтобы произведения свободных членов в каждой группе были равны. В данном случае: $(-1) \cdot 6 = -6$ и $(-3) \cdot 2 = -6$.

Перемножим скобки в соответствии с этой группировкой:

$((x-1)(x+6)) \cdot ((x-3)(x+2)) = 72x^2$

$(x^2 + 6x - x - 6)(x^2 + 2x - 3x - 6) = 72x^2$

$(x^2 + 5x - 6)(x^2 - x - 6) = 72x^2$

Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как при подстановке $x=0$ левая часть равна $(-6)(-6)=36$, а правая часть равна $0$. Поскольку $x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$:

$\frac{(x^2 + 5x - 6)}{x} \cdot \frac{(x^2 - x - 6)}{x} = 72$

$(x + 5 - \frac{6}{x})(x - 1 - \frac{6}{x}) = 72$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x - \frac{6}{x}$. Тогда уравнение примет вид:

$(y + 5)(y - 1) = 72$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - y + 5y - 5 = 72$

$y^2 + 4y - 77 = 0$

Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни:

$y_1 = 7$, $y_2 = -11$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

Случай 1: $y = 7$

$x - \frac{6}{x} = 7$

Умножим обе части на $x$:

$x^2 - 6 = 7x$

$x^2 - 7x - 6 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = (-7)^2 - 4(1)(-6) = 49 + 24 = 73$.

$x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{73}}{2}$.

Случай 2: $y = -11$

$x - \frac{6}{x} = -11$

$x^2 - 6 = -11x$

$x^2 + 11x - 6 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = 11^2 - 4(1)(-6) = 121 + 24 = 145$.

$x_{3,4} = \frac{-11 \pm \sqrt{145}}{2}$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $x_1 = \frac{7 + \sqrt{73}}{2}$, $x_2 = \frac{7 - \sqrt{73}}{2}$, $x_3 = \frac{-11 + \sqrt{145}}{2}$, $x_4 = \frac{-11 - \sqrt{145}}{2}$.

2) $(x-1)(x-2)(x-3)(x-6) = 36x^2$

Как и в предыдущем примере, сгруппируем множители по принципу равенства произведений свободных членов: $(-1) \cdot (-6) = 6$ и $(-2) \cdot (-3) = 6$.

$((x-1)(x-6)) \cdot ((x-2)(x-3)) = 36x^2$

$(x^2 - 6x - x + 6)(x^2 - 3x - 2x + 6) = 36x^2$

$(x^2 - 7x + 6)(x^2 - 5x + 6) = 36x^2$

Заметим, что $x=0$ не является корнем, так как $36 \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $x^2$:

$\frac{(x^2 - 7x + 6)}{x} \cdot \frac{(x^2 - 5x + 6)}{x} = 36$

$(x - 7 + \frac{6}{x})(x - 5 + \frac{6}{x}) = 36$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{6}{x}$. Уравнение примет вид:

$(y - 7)(y - 5) = 36$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$y^2 - 5y - 7y + 35 = 36$

$y^2 - 12y - 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант:

$D_y = (-12)^2 - 4(1)(-1) = 144 + 4 = 148$

$y = \frac{12 \pm \sqrt{148}}{2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{37}}{2} = 6 \pm \sqrt{37}$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 6 + \sqrt{37}$

$x + \frac{6}{x} = 6 + \sqrt{37}$

$x^2 - (6 + \sqrt{37})x + 6 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D_x = (-(6+\sqrt{37}))^2 - 4(1)(6) = (6+\sqrt{37})^2 - 24 = 36 + 12\sqrt{37} + 37 - 24 = 49 + 12\sqrt{37}$. Так как $D_x > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$x_{1,2} = \frac{6 + \sqrt{37} \pm \sqrt{49 + 12\sqrt{37}}}{2}$.

Случай 2: $y = 6 - \sqrt{37}$

$x + \frac{6}{x} = 6 - \sqrt{37}$

$x^2 - (6 - \sqrt{37})x + 6 = 0$

Найдем дискриминант: $D_x = (-(6-\sqrt{37}))^2 - 4(1)(6) = (6-\sqrt{37})^2 - 24 = 36 - 12\sqrt{37} + 37 - 24 = 49 - 12\sqrt{37}$. Сравним $49$ и $12\sqrt{37}$. Возведем оба числа в квадрат: $49^2 = 2401$, а $(12\sqrt{37})^2 = 144 \cdot 37 = 5328$. Так как $2401 < 5328$, то $49 < 12\sqrt{37}$, следовательно, $D_x = 49 - 12\sqrt{37} < 0$. В этом случае действительных корней нет.

Ответ: $x_1 = \frac{6 + \sqrt{37} + \sqrt{49 + 12\sqrt{37}}}{2}$, $x_2 = \frac{6 + \sqrt{37} - \sqrt{49 + 12\sqrt{37}}}{2}$.

817.1) $(x^2 - 5x + 4)(x^2 + 9x + 18) = 100;$

2) $(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 7x + 12) = 4.$

1) $(x^2 - 5x + 4)(x^2 + 9x + 18) = 100$

Для решения данного уравнения разложим квадратные трехчлены на множители.

Найдем корни первого трехчлена $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Следовательно, $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$.

Найдем корни второго трехчлена $x^2 + 9x + 18 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -9, а произведение равно 18. Корнями являются $x_3 = -3$ и $x_4 = -6$.
Следовательно, $x^2 + 9x + 18 = (x - (-3))(x - (-6)) = (x + 3)(x + 6)$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:
$(x - 1)(x - 4)(x + 3)(x + 6) = 100$

Сгруппируем множители так, чтобы при их перемножении получились выражения с одинаковой частью, содержащей $x$. Для этого найдем пары множителей, у которых сумма свободных членов одинакова. Сгруппируем $(x - 1)$ с $(x + 3)$ и $(x - 4)$ с $(x + 6)$, так как $-1+3=2$ и $-4+6=2$.
$(x - 1)(x + 3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$
$(x - 4)(x + 6) = x^2 + 6x - 4x - 24 = x^2 + 2x - 24$

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:
$(x^2 + 2x - 3)(x^2 + 2x - 24) = 100$

Введем замену переменной. Пусть $y = x^2 + 2x$. Тогда уравнение примет вид:
$(y - 3)(y - 24) = 100$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 - 24y - 3y + 72 = 100$
$y^2 - 27y + 72 - 100 = 0$
$y^2 - 27y - 28 = 0$

Найдем корни по теореме Виета: $y_1 + y_2 = 27$ и $y_1 \cdot y_2 = -28$. Корни: $y_1 = 28$ и $y_2 = -1$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

Случай 1: $y = 28$
$x^2 + 2x = 28$
$x^2 + 2x - 28 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 4 + 112 = 116$.
Корни: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{116}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{29}}{2} = -1 \pm \sqrt{29}$.

Случай 2: $y = -1$
$x^2 + 2x = -1$
$x^2 + 2x + 1 = 0$
$(x + 1)^2 = 0$
$x = -1$.

Таким образом, уравнение имеет три различных корня.
Ответ: $-1$; $-1 - \sqrt{29}$; $-1 + \sqrt{29}$.

2) $(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 7x + 12) = 4$

Аналогично первому пункту, разложим квадратные трехчлены на множители.

Для $x^2 - 3x + 2 = 0$, по теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Следовательно, $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Для $x^2 - 7x + 12 = 0$, по теореме Виета, корни $x_3 = 3$ и $x_4 = 4$.
Следовательно, $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$.

Перепишем уравнение:
$(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 4$

Сгруппируем множители. Сгруппируем $(x - 1)$ с $(x - 4)$ и $(x - 2)$ с $(x - 3)$, так как $-1-4=-5$ и $-2-3=-5$.
$(x - 1)(x - 4) = x^2 - 4x - x + 4 = x^2 - 5x + 4$
$(x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$

Подставим обратно в уравнение:
$(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) = 4$

Введем замену переменной. Пусть $y = x^2 - 5x$. Уравнение примет вид:
$(y + 4)(y + 6) = 4$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:
$y^2 + 6y + 4y + 24 = 4$
$y^2 + 10y + 20 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 100 - 80 = 20$
$y = \frac{-10 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -5 \pm \sqrt{5}$.
Получаем два значения для $y$: $y_1 = -5 + \sqrt{5}$ и $y_2 = -5 - \sqrt{5}$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = -5 + \sqrt{5}$
$x^2 - 5x = -5 + \sqrt{5}$
$x^2 - 5x + 5 - \sqrt{5} = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - \sqrt{5}) = 25 - 20 + 4\sqrt{5} = 5 + 4\sqrt{5}$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x = \frac{5 \pm \sqrt{5 + 4\sqrt{5}}}{2}$.

Случай 2: $y = -5 - \sqrt{5}$
$x^2 - 5x = -5 - \sqrt{5}$
$x^2 - 5x + 5 + \sqrt{5} = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5 + \sqrt{5}) = 25 - 20 - 4\sqrt{5} = 5 - 4\sqrt{5}$.
Оценим знак дискриминанта. Сравним $5$ и $4\sqrt{5}$. Возведем оба числа в квадрат: $5^2 = 25$ и $(4\sqrt{5})^2 = 16 \cdot 5 = 80$. Так как $25 < 80$, то $5 < 4\sqrt{5}$, и следовательно $5 - 4\sqrt{5} < 0$.
Поскольку дискриминант отрицательный, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $\frac{5 - \sqrt{5 + 4\sqrt{5}}}{2}$; $\frac{5 + \sqrt{5 + 4\sqrt{5}}}{2}$.