Страница 326 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

790. 1) $4\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3} + x\right) = \sin3x;$

2) $\cos3x\cos6x\cos12x = \frac{\sin24x}{8\sin3x}.$

1) Чтобы доказать тождество $4\sin x \sin(\frac{\pi}{3} - x)\sin(\frac{\pi}{3} + x) = \sin 3x$, преобразуем его левую часть (ЛЧ).

ЛЧ = $4\sin x \sin(\frac{\pi}{3} - x)\sin(\frac{\pi}{3} + x)$.

Сначала рассмотрим произведение $\sin(\frac{\pi}{3} - x)\sin(\frac{\pi}{3} + x)$. Воспользуемся формулой произведения синусов $\sin(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta$. В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = x$.

$\sin(\frac{\pi}{3} - x)\sin(\frac{\pi}{3} + x) = \sin^2(\frac{\pi}{3}) - \sin^2 x$.

Так как $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $\sin^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.

Подставим это значение в наше произведение:

$\sin(\frac{\pi}{3} - x)\sin(\frac{\pi}{3} + x) = \frac{3}{4} - \sin^2 x$.

Теперь подставим это выражение обратно в левую часть исходного тождества:

ЛЧ = $4\sin x (\frac{3}{4} - \sin^2 x)$.

Раскроем скобки:

ЛЧ = $4\sin x \cdot \frac{3}{4} - 4\sin x \cdot \sin^2 x = 3\sin x - 4\sin^3 x$.

Полученное выражение $3\sin x - 4\sin^3 x$ является формулой синуса тройного угла, то есть $\sin 3x$.

Таким образом, ЛЧ = $\sin 3x$, что равно правой части (ПЧ) тождества. Тождество доказано.

Ответ: тождество $4\sin x\sin(\frac{\pi}{3} - x)\sin(\frac{\pi}{3} + x) = \sin 3x$ доказано.

2) Чтобы доказать тождество $\cos 3x \cos 6x \cos 12x = \frac{\sin 24x}{8\sin 3x}$, преобразуем его левую часть (ЛЧ). Отметим, что тождество имеет смысл при условии $\sin 3x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{k\pi}{3}$ для любого целого $k$.

ЛЧ = $\cos 3x \cos 6x \cos 12x$.

Для преобразования воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Чтобы ее применить, умножим и разделим ЛЧ на $2\sin 3x$ (это возможно, так как мы уже указали, что $\sin 3x \neq 0$):

ЛЧ = $\frac{2\sin 3x \cos 3x \cos 6x \cos 12x}{2\sin 3x}$.

Применим формулу синуса двойного угла к числителю. Для $\alpha = 3x$ имеем $2\sin 3x \cos 3x = \sin(2 \cdot 3x) = \sin 6x$.

ЛЧ = $\frac{\sin 6x \cos 6x \cos 12x}{2\sin 3x}$.

Снова видим в числителе конструкцию, подходящую для применения формулы. Умножим числитель и знаменатель на 2:

ЛЧ = $\frac{2\sin 6x \cos 6x \cos 12x}{2 \cdot 2\sin 3x} = \frac{2\sin 6x \cos 6x \cos 12x}{4\sin 3x}$.

Для $\alpha = 6x$ имеем $2\sin 6x \cos 6x = \sin(2 \cdot 6x) = \sin 12x$.

ЛЧ = $\frac{\sin 12x \cos 12x}{4\sin 3x}$.

Повторим операцию еще раз, умножив числитель и знаменатель на 2:

ЛЧ = $\frac{2\sin 12x \cos 12x}{2 \cdot 4\sin 3x} = \frac{2\sin 12x \cos 12x}{8\sin 3x}$.

Для $\alpha = 12x$ имеем $2\sin 12x \cos 12x = \sin(2 \cdot 12x) = \sin 24x$.

ЛЧ = $\frac{\sin 24x}{8\sin 3x}$.

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью тождества. Тождество доказано.

Ответ: тождество $\cos 3x \cos 6x \cos 12x = \frac{\sin 24x}{8\sin 3x}$ доказано.

791. Записать в тригонометрической форме число:

1) 2;

2) -3;

3) $3i$;

4) $-2i$;

5) $\sqrt{3}-i$;

6) $2-2i$.

Для представления комплексного числа $z = x + iy$ в тригонометрической форме $z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$ необходимо найти его модуль $r$ и аргумент $\phi$.

Модуль $r$ вычисляется по формуле: $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Аргумент $\phi$ — это угол, который можно найти из системы уравнений:$ \begin{cases} \cos \phi = \frac{x}{r} \\ \sin \phi = \frac{y}{r} \end{cases} $

1) Дано число $z = 2$.

Это действительное число, его можно представить в виде $z = 2 + 0i$. Здесь действительная часть $x=2$, а мнимая часть $y=0$.

Найдем модуль числа:

$r = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент числа:

$\cos \phi = \frac{x}{r} = \frac{2}{2} = 1$

$\sin \phi = \frac{y}{r} = \frac{0}{2} = 0$

Угол, для которого косинус равен 1, а синус равен 0, это $\phi = 0$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos 0 + i \sin 0)$.

Ответ: $2(\cos 0 + i \sin 0)$.

2) Дано число $z = -3$.

Представим число в виде $z = -3 + 0i$. Здесь $x=-3$, $y=0$.

Найдем модуль числа:

$r = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$.

Найдем аргумент числа:

$\cos \phi = \frac{x}{r} = \frac{-3}{3} = -1$

$\sin \phi = \frac{y}{r} = \frac{0}{3} = 0$

Угол, для которого косинус равен -1, а синус равен 0, это $\phi = \pi$.

Тригонометрическая форма числа: $z = 3(\cos \pi + i \sin \pi)$.

Ответ: $3(\cos \pi + i \sin \pi)$.

3) Дано число $z = 3i$.

Представим число в виде $z = 0 + 3i$. Здесь $x=0$, $y=3$.

Найдем модуль числа:

$r = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3$.

Найдем аргумент числа:

$\cos \phi = \frac{x}{r} = \frac{0}{3} = 0$

$\sin \phi = \frac{y}{r} = \frac{3}{3} = 1$

Угол, для которого косинус равен 0, а синус равен 1, это $\phi = \frac{\pi}{2}$.

Тригонометрическая форма числа: $z = 3(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$.

Ответ: $3(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$.

4) Дано число $z = -2i$.

Представим число в виде $z = 0 - 2i$. Здесь $x=0$, $y=-2$.

Найдем модуль числа:

$r = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент числа:

$\cos \phi = \frac{x}{r} = \frac{0}{2} = 0$

$\sin \phi = \frac{y}{r} = \frac{-2}{2} = -1$

Угол, для которого косинус равен 0, а синус равен -1, это $\phi = -\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$).

Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}))$.

Ответ: $2(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}))$.

5) Дано число $z = \sqrt{3} - i$.

Здесь действительная часть $x=\sqrt{3}$, а мнимая часть $y=-1$.

Найдем модуль числа:

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент числа:

$\cos \phi = \frac{x}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \phi = \frac{y}{r} = \frac{-1}{2}$

Точка на комплексной плоскости находится в IV четверти. Угол, для которого косинус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, а синус равен $-\frac{1}{2}$, это $\phi = -\frac{\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))$.

Ответ: $2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))$.

6) Дано число $z = 2 - 2i$.

Здесь действительная часть $x=2$, а мнимая часть $y=-2$.

Найдем модуль числа:

$r = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Найдем аргумент числа:

$\cos \phi = \frac{x}{r} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \phi = \frac{y}{r} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Точка на комплексной плоскости находится в IV четверти. Угол, для которого косинус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, а синус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, это $\phi = -\frac{\pi}{4}$.

Тригонометрическая форма числа: $z = 2\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4}))$.

Ответ: $2\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4}))$.

792. Записать в алгебраической форме комплексное число:

1) $4\left(\cos\frac{7\pi}{3} + i\sin\frac{7\pi}{3}\right)$;

2) $6\left(\cos\frac{9\pi}{4} + i\sin\frac{9\pi}{4}\right)$.

Чтобы записать комплексное число из тригонометрической формы $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ в алгебраическую форму $z = a + bi$, необходимо вычислить значения косинуса и синуса угла $\varphi$ и затем раскрыть скобки, умножив модуль $r$ на действительную и мнимую части.

1) $4(\cos\frac{7\pi}{3} + i\sin\frac{7\pi}{3})$

Данное комплексное число представлено в тригонометрической форме, где модуль $r=4$ и аргумент $\varphi = \frac{7\pi}{3}$.

Найдем значения $\cos\frac{7\pi}{3}$ и $\sin\frac{7\pi}{3}$. Для этого упростим аргумент, используя периодичность тригонометрических функций (период $2\pi$):

$\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$

Следовательно:

$\cos\frac{7\pi}{3} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$\sin\frac{7\pi}{3} = \sin(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$4(\cos\frac{7\pi}{3} + i\sin\frac{7\pi}{3}) = 4(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})$

Раскроем скобки, умножив 4 на действительную и мнимую части:

$4 \cdot \frac{1}{2} + i \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 + 2i\sqrt{3}$

Ответ: $2 + 2i\sqrt{3}$

2) $6(\cos\frac{9\pi}{4} + i\sin\frac{9\pi}{4})$

В этом случае модуль комплексного числа $r=6$ и аргумент $\varphi = \frac{9\pi}{4}$.

Упростим аргумент, выделив целое число оборотов по $2\pi$:

$\frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi + \pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$

Вычислим значения косинуса и синуса:

$\cos\frac{9\pi}{4} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\frac{9\pi}{4} = \sin(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим найденные значения в выражение для комплексного числа:

$6(\cos\frac{9\pi}{4} + i\sin\frac{9\pi}{4}) = 6(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})$

Раскроем скобки:

$6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + i \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} + 3i\sqrt{2}$

Ответ: $3\sqrt{2} + 3i\sqrt{2}$

793. Выполнить действия и записать результат в алгебраической форме:

1) $3(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3});$

2) $(1+i)(\cos\frac{3\pi}{8} + i\sin\frac{3\pi}{8})(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8});$

3) $\frac{\cos\frac{7\pi}{10} + i\sin\frac{7\pi}{10}}{\cos\frac{\pi}{5} + i\sin\frac{\pi}{5}};$

4) $\frac{i}{\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}}.$

1) Чтобы выполнить действие, необходимо перевести комплексное число из тригонометрической формы $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$ в алгебраическую форму $z = a+bi$. Для этого вычислим значения косинуса и синуса и раскроем скобки.
Дано выражение: $3\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$.
Знаем, что $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем эти значения в выражение:
$3\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot \frac{1}{2} + i \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

2) Для вычисления произведения $(1+i)\left(\cos\frac{3\pi}{8} + i\sin\frac{3\pi}{8}\right)\left(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}\right)$ удобно все сомножители представить в тригонометрической форме.
Сначала представим число $1+i$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Аргумент $\phi = \arctan\frac{1}{1} = \frac{\pi}{4}$.
Таким образом, $1+i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$.
Теперь перемножим два других сомножителя, используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме $z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\phi_1+\phi_2) + i\sin(\phi_1+\phi_2))$:
$\left(\cos\frac{3\pi}{8} + i\sin\frac{3\pi}{8}\right)\left(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi}{8}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi}{8}\right) = \cos\frac{4\pi}{8} + i\sin\frac{4\pi}{8} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}$.
Теперь умножим результат на первый сомножитель:
$\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$.
Переведем результат в алгебраическую форму. Знаем, что $\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2} = -\frac{2}{2} + i\frac{2}{2} = -1 + i$.
Ответ: $-1+i$.

3) Для выполнения деления $\frac{\cos\frac{7\pi}{10} + i\sin\frac{7\pi}{10}}{\cos\frac{\pi}{5} + i\sin\frac{\pi}{5}}$ используем правило деления комплексных чисел в тригонометрической форме: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\phi_1 - \phi_2) + i\sin(\phi_1 - \phi_2))$.
В данном случае $r_1=1, \phi_1 = \frac{7\pi}{10}$ и $r_2=1, \phi_2 = \frac{\pi}{5}$.
Результат деления: $\cos\left(\frac{7\pi}{10} - \frac{\pi}{5}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{10} - \frac{\pi}{5}\right)$.
Найдем разность углов: $\frac{7\pi}{10} - \frac{\pi}{5} = \frac{7\pi}{10} - \frac{2\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$.
Выражение принимает вид: $\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}$.
Переводим в алгебраическую форму: $0 + i \cdot 1 = i$.
Ответ: $i$.

4) Для вычисления выражения $\frac{i}{\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}}$ представим числитель и знаменатель в тригонометрической форме и выполним деление.
Знаменатель уже в тригонометрической форме: $\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}$.
Представим числитель $i$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |i| = 1$, аргумент $\phi = \frac{\pi}{2}$.
Итак, $i = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}$.
Теперь выполним деление: $\frac{\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}}{\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}$.
Переведем результат в алгебраическую форму. Знаем, что $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Результат: $\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

794. Решить уравнение:

1) $\frac{3x-16}{12} + 1 = \frac{x+6}{4} - \frac{x+3}{6}$;

2) $\frac{5}{3}(x-7) - 3x - \frac{6(x-8)}{7} = -\left(x + \frac{43}{3}\right)$.

1) $\frac{3x-16}{12}+1=\frac{x+6}{4}-\frac{x+3}{6}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (12, 4, 6). Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12.

$12 \cdot (\frac{3x-16}{12}+1) = 12 \cdot (\frac{x+6}{4}-\frac{x+3}{6})$

$12 \cdot \frac{3x-16}{12} + 12 \cdot 1 = 12 \cdot \frac{x+6}{4} - 12 \cdot \frac{x+3}{6}$

После сокращения получаем:

$(3x-16) + 12 = 3(x+6) - 2(x+3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x - 16 + 12 = 3x + 18 - 2x - 6$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$3x - 4 = (3x-2x) + (18-6)$

$3x - 4 = x + 12$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть, а числа - в правую, изменяя знаки при переносе:

$3x - x = 12 + 4$

$2x = 16$

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{16}{2}$

$x = 8$

Ответ: $8$

2) $\frac{5}{3}(x-7)-3x-\frac{6(x-8)}{7}=-(x+\frac{43}{3})$

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$\frac{5}{3}x - \frac{35}{3} - 3x - \frac{6x-48}{7} = -x - \frac{43}{3}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (3 и 7), которое равно 21.

$21 \cdot (\frac{5}{3}x - \frac{35}{3} - 3x - \frac{6x-48}{7}) = 21 \cdot (-x - \frac{43}{3})$

$21 \cdot \frac{5}{3}x - 21 \cdot \frac{35}{3} - 21 \cdot 3x - 21 \cdot \frac{6x - 48}{7} = 21 \cdot (-x) - 21 \cdot \frac{43}{3}$

После сокращения получаем:

$7 \cdot 5x - 7 \cdot 35 - 63x - 3(6x-48) = -21x - 7 \cdot 43$

$35x - 245 - 63x - 18x + 144 = -21x - 301$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(35x - 63x - 18x) + (-245 + 144) = -21x - 301$

$-46x - 101 = -21x - 301$

Перенесем слагаемые с переменной в правую часть, а числа - в левую, чтобы коэффициенты были положительными:

$-101 + 301 = -21x + 46x$

$200 = 25x$

Разделим обе части на 25:

$x = \frac{200}{25}$

$x = 8$

Ответ: $8$

795. При каком значении $a$ уравнение $a(x-3)+8=13(x+2)$ имеет корень, равный $0$?

По условию задачи, уравнение $a(x-3) + 8 = 13(x+2)$ должно иметь корень, равный 0. Это означает, что если мы подставим $x=0$ в уравнение, оно должно превратиться в верное равенство. Мы можем использовать это условие, чтобы найти искомое значение параметра $a$.

Подставим $x=0$ в данное уравнение:

$a(0 - 3) + 8 = 13(0 + 2)$

Выполним вычисления в скобках:

$a(-3) + 8 = 13(2)$

Упростим полученное выражение:

$-3a + 8 = 26$

Теперь мы имеем линейное уравнение относительно переменной $a$. Решим его.

Перенесем 8 из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный:

$-3a = 26 - 8$

$-3a = 18$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $a$, то есть на -3:

$a = \frac{18}{-3}$

$a = -6$

Следовательно, при $a = -6$ данное уравнение имеет корень, равный 0.

Ответ: -6

796. При каком значении $b$ уравнение $1 - b(x + 4) = 2(x - 8)$ имеет корень, равный $1$?

По условию задачи, уравнение $1 - b(x + 4) = 2(x - 8)$ имеет корень, равный 1. Это означает, что если мы подставим значение $x = 1$ в уравнение, то получим верное равенство. Используем это, чтобы найти значение параметра b.

Подставим $x = 1$ в исходное уравнение:

$1 - b(1 + 4) = 2(1 - 8)$

Теперь выполним вычисления в скобках:

$1 - b(5) = 2(-7)$

Упростим выражение:

$1 - 5b = -14$

Мы получили линейное уравнение относительно переменной b. Решим его. Перенесем 1 из левой части в правую с противоположным знаком:

$-5b = -14 - 1$

$-5b = -15$

Чтобы найти b, разделим обе части уравнения на -5:

$b = \frac{-15}{-5}$

$b = 3$

Следовательно, при $b=3$ данное уравнение имеет корень, равный 1.

Ответ: 3

Решить уравнение (797–806).

797.1) $ \frac{3}{x+3} - \frac{2}{x-3} = \frac{4}{x^2-9} $

2) $ \frac{5}{x-2} + \frac{2}{x-4} = \frac{11}{x^2-6x+8} $

1) $\frac{3}{x+3} - \frac{2}{x-3} = \frac{4}{x^2-9}$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.
$x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$
$x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$
$x^2-9 \neq 0 \implies (x-3)(x+3) \neq 0 \implies x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pm 3$.

Заметим, что знаменатель в правой части уравнения является произведением знаменателей в левой части: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(x-3)(x+3)$:
$\frac{3(x-3)}{(x+3)(x-3)} - \frac{2(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{4}{x^2-9}$

$\frac{3(x-3) - 2(x+3)}{x^2-9} = \frac{4}{x^2-9}$

Так как знаменатели равны и не равны нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители.
$3(x-3) - 2(x+3) = 4$

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:
$3x - 9 - 2x - 6 = 4$
$x - 15 = 4$
$x = 4 + 15$
$x = 19$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $19 \neq 3$ и $19 \neq -3$, корень является решением уравнения.

Ответ: $19$

2) $\frac{5}{x-2} + \frac{2}{x-4} = \frac{11}{x^2-6x+8}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю.
$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$
$x-4 \neq 0 \implies x \neq 4$
Разложим знаменатель в правой части на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2-6x+8=0$. По теореме Виета, корни $x_1=2$ и $x_2=4$.
Следовательно, $x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)$.
Знаменатель $x^2-6x+8 \neq 0$ при $x \neq 2$ и $x \neq 4$.
ОДЗ: $x \neq 2$, $x \neq 4$.

Общий знаменатель для всех дробей - это $(x-2)(x-4)$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей, при условии, что он не равен нулю (что учтено в ОДЗ):
$ \frac{5(x-2)(x-4)}{x-2} + \frac{2(x-2)(x-4)}{x-4} = \frac{11(x-2)(x-4)}{(x-2)(x-4)} $

После сокращения дробей получаем:
$5(x-4) + 2(x-2) = 11$

Раскроем скобки и решим уравнение:
$5x - 20 + 2x - 4 = 11$
$7x - 24 = 11$
$7x = 11 + 24$
$7x = 35$
$x = \frac{35}{7}$
$x = 5$

Проверим, входит ли найденное значение в ОДЗ. Так как $5 \neq 2$ и $5 \neq 4$, корень является решением исходного уравнения.

Ответ: $5$

798. 1) $(a-b)x = a^2 + (a+b)x;$

2) $a^2x = a + b + b^2x.$

1) $(a - b)x = a^2 + (a + b)x$

Это линейное уравнение относительно переменной $x$ с параметрами $a$ и $b$. Для его решения сгруппируем все слагаемые, содержащие $x$, в одной части уравнения, а остальные — в другой.

Перенесем слагаемое $(a + b)x$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$(a - b)x - (a + b)x = a^2$

Вынесем $x$ за скобки в левой части уравнения:

$x((a - b) - (a + b)) = a^2$

Раскроем скобки внутри скобок и упростим выражение:

$x(a - b - a - b) = a^2$

$x(-2b) = a^2$

Теперь нужно выразить $x$. Для этого разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $-2b$. Это возможно только если $-2b \neq 0$, то есть $b \neq 0$.

Если $b \neq 0$:

$x = \frac{a^2}{-2b}$

$x = -\frac{a^2}{2b}$

Рассмотрим случай, когда $b = 0$. Исходное уравнение примет вид:

$(a - 0)x = a^2 + (a + 0)x$

$ax = a^2 + ax$

Вычтем $ax$ из обеих частей:

$0 = a^2$

Это равенство верно только если $a = 0$.

• Если $b = 0$ и $a = 0$, то исходное уравнение превращается в $0 \cdot x = 0$, что верно для любого значения $x$.
• Если $b = 0$ и $a \neq 0$, то мы получаем неверное равенство $a^2 = 0$, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: при $b \neq 0$, $x = -\frac{a^2}{2b}$; при $a = 0$ и $b = 0$, $x$ — любое число; при $b = 0$ и $a \neq 0$, решений нет.

2) $a^2x = a + b + b^2x$

Сгруппируем все слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения:

$a^2x - b^2x = a + b$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(a^2 - b^2) = a + b$

В левой части используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x(a - b)(a + b) = a + b$

Дальнейшее решение зависит от значений параметров $a$ и $b$. Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $a^2 - b^2 \neq 0$. Это эквивалентно условиям $a \neq b$ и $a \neq -b$. В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $(a - b)(a + b)$:

$x = \frac{a + b}{(a - b)(a + b)}$

Так как $a \neq -b$, то $a + b \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(a + b)$:

$x = \frac{1}{a - b}$

Случай 2: Коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $a^2 - b^2 = 0$. Это возможно, если $a = b$ или $a = -b$.

Подслучай 2а: $a = b$. Подставим $b=a$ в уравнение $x(a^2 - b^2) = a + b$:

$x(a^2 - a^2) = a + a$

$x \cdot 0 = 2a$

• Если $a \neq 0$ (и, следовательно, $b \neq 0$), то получаем $0 = 2a$, что является неверным равенством. В этом случае решений нет.
• Если $a = 0$ (и, следовательно, $b = 0$), то получаем $0 = 0$. Это верное равенство для любого $x$. Следовательно, $x$ — любое число.

Подслучай 2б: $a = -b$. Подставим $a=-b$ в уравнение $x(a^2 - b^2) = a + b$:

$x(a^2 - (-a)^2) = a + (-a)$

$x(a^2 - a^2) = 0$

$x \cdot 0 = 0$

Это равенство верно при любом значении $x$. Этот случай включает в себя и $a=b=0$.

Соберем все случаи вместе.

Ответ: при $a \neq b$ и $a \neq -b$, $x = \frac{1}{a-b}$; при $a = -b$, $x$ — любое число; при $a = b$ и $a \neq 0$, решений нет.

799. 1) $(x-3)(x-2)=6(x-3);$

2) $x^2 - \frac{11x}{6} + \frac{1}{2} = 0.$

1) Исходное уравнение: $(x-3)(x-2) = 6(x-3)$.

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:

$(x-3)(x-2) - 6(x-3) = 0$

Заметим, что выражение $(x-3)$ является общим множителем. Вынесем его за скобки:

$(x-3)((x-2) - 6) = 0$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(x-3)(x-8) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, у нас есть два случая:

$x-3=0$ или $x-8=0$.

Из первого уравнения получаем $x_1 = 3$.

Из второго уравнения получаем $x_2 = 8$.

Ответ: $3; 8$.

2) Исходное уравнение: $x^2 - \frac{11x}{6} + \frac{1}{2} = 0$.

Для удобства решения избавимся от дробных коэффициентов. Для этого умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 2, то есть на 6:

$6 \cdot x^2 - 6 \cdot \frac{11x}{6} + 6 \cdot \frac{1}{2} = 6 \cdot 0$

После умножения получаем целочисленное квадратное уравнение:

$6x^2 - 11x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=6, b=-11, c=3$.

Для нахождения корней вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 3 = 121 - 72 = 49$

Поскольку дискриминант $D=49 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле корней квадратного уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-11) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{11 \pm 7}{12}$

Теперь найдем каждый корень:

$x_1 = \frac{11 + 7}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{11 - 7}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}; \frac{3}{2}$.

800. 1) $\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-1} = 0;$

2) $\frac{2x^2}{3x+1} - 3 = \frac{3x-21}{3x+1}$

1) Решим уравнение $\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-1} = 0$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:
$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$
$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$
Таким образом, ОДЗ: $x$ — любое число, кроме $1$ и $-1$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(x+1)(x-1)$:
$\frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)} = 0$
Теперь мы можем сложить числители:
$\frac{x(x-1) + x(x+1)}{(x+1)(x-1)} = 0$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что мы уже учли в ОДЗ). Приравняем числитель к нулю:
$x(x-1) + x(x+1) = 0$
Раскроем скобки:
$x^2 - x + x^2 + x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 = 0$
Отсюда следует, что $x^2 = 0$, и, соответственно, $x=0$.
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $0 \neq 1$ и $0 \neq -1$, корень подходит.
Ответ: 0.

2) Решим уравнение $\frac{2x^2}{3x+1} - 3

801. 1) $\frac{3x-1}{x+2} - \frac{7}{2+x} = \frac{7x^2-28}{x^2-4} + \frac{18}{2-x}$;

2) $\frac{x+1}{x+3} - \frac{12}{x^2-9} = \frac{2-x}{3-x}$.

1) $\frac{3x-1}{x+2} - \frac{7}{2+x} = \frac{7x^2-28}{x^2-4} + \frac{18}{2-x}$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:
$x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$
$x^2-4 = (x-2)(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $x \neq -2$
$2-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$
Следовательно, ОДЗ: $x \neq \pm 2$.
Преобразуем уравнение, учитывая, что $2+x=x+2$, $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $7x^2-28=7(x^2-4)$ и $2-x=-(x-2)$.
$\frac{3x-1}{x+2} - \frac{7}{x+2} = \frac{7(x^2-4)}{(x-2)(x+2)} - \frac{18}{x-2}$
Объединим дроби в левой части и упростим правую часть:
$\frac{3x-1-7}{x+2} = 7 - \frac{18}{x-2}$
$\frac{3x-8}{x+2} = 7 - \frac{18}{x-2}$
Приведем все члены к общему знаменателю $(x+2)(x-2)$ и умножим на него обе части уравнения:
$(3x-8)(x-2) = 7(x+2)(x-2) - 18(x+2)$
Раскроем скобки:
$3x^2 - 6x - 8x + 16 = 7(x^2 - 4) - 18x - 36$
$3x^2 - 14x + 16 = 7x^2 - 28 - 18x - 36$
$3x^2 - 14x + 16 = 7x^2 - 18x - 64$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$0 = 7x^2 - 3x^2 - 18x + 14x - 64 - 16$
$0 = 4x^2 - 4x - 80$
Разделим уравнение на 4:
$x^2 - x - 20 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 1, произведение равно -20.
$x_1 = 5$, $x_2 = -4$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 2$).
Ответ: $5; -4$.

2) $\frac{x+1}{x+3} - \frac{12}{x^2-9} = \frac{2-x}{3-x}$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:
$x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$
$x^2-9 = (x-3)(x+3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ и $x \neq -3$
$3-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$
Следовательно, ОДЗ: $x \neq \pm 3$.
Преобразуем уравнение, учитывая, что $x^2-9 = (x-3)(x+3)$ и $3-x=-(x-3)$:
$\frac{x+1}{x+3} - \frac{12}{(x-3)(x+3)} = \frac{2-x}{-(x-3)}$
$\frac{x+1}{x+3} - \frac{12}{(x-3)(x+3)} = \frac{x-2}{x-3}$
Общий знаменатель дробей — $(x-3)(x+3)$. Умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей:
$(x+1)(x-3) - 12 = (x-2)(x+3)$
Раскроем скобки:
$x^2 + x - 3x - 3 - 12 = x^2 - 2x + 3x - 6$
$x^2 - 2x - 15 = x^2 + x - 6$
Сократим $x^2$ в обеих частях и решим полученное линейное уравнение:
$-2x - 15 = x - 6$
$-15 + 6 = x + 2x$
$-9 = 3x$
$x = -3$
Сравним полученный корень с ОДЗ. Мы видим, что $x=-3$ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении один из знаменателей исходного уравнения обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.
Ответ: корней нет.