Страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

713. Найти значение выражения $\sqrt[4]{36^{\log_6 5} - 5^{\log_5 9}}$.

Для нахождения значения выражения $\sqrt[4]{36^{\log_6 5} - 5^{\log_5 9}}$ необходимо последовательно упростить выражение, стоящее под знаком корня.

Рассмотрим по отдельности каждое слагаемое в подкоренном выражении.

1. Упростим первое слагаемое: $36^{\log_6 5}$.

Представим основание 36 как степень числа 6: $36 = 6^2$.

Подставим это в выражение: $36^{\log_6 5} = (6^2)^{\log_6 5}$.

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $(6^2)^{\log_6 5} = 6^{2 \cdot \log_6 5}$.

Теперь применим свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$:

$6^{2 \cdot \log_6 5} = 6^{\log_6 5^2} = 6^{\log_6 25}$.

Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$6^{\log_6 25} = 25$.

2. Упростим второе слагаемое: $5^{\log_5 9}$.

Сразу применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$5^{\log_5 9} = 9$.

3. Подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$\sqrt[4]{36^{\log_6 5} - 5^{\log_5 9}} = \sqrt[4]{25 - 9}$.

Выполним вычитание под знаком корня:

$25 - 9 = 16$.

Таким образом, выражение сводится к $\sqrt[4]{16}$.

4. Найдем значение корня. Нам нужно найти число, которое при возведении в четвертую степень дает 16. Таким числом является 2, так как $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

$\sqrt[4]{16} = 2$.

Ответ: 2.

714. Сравнить числа:

1) $2,5^{\frac{1}{7}}$ и $2,5^{0,5}$;

2) $0,2^{\frac{2}{3}}$ и $0,2^{\frac{3}{4}}$;

3) $\log_{3,1}\sqrt{10}$ и $\log_{3,1}3$;

4) $\log_{0,3}\frac{4}{5}$ и $\log_{0,3}\frac{3}{4}$.

1) Сравнить числа $2,5^{\frac{1}{7}}$ и $2,5^{0,5}$.

Для сравнения этих чисел рассмотрим показательную функцию $y = 2,5^x$. Основание степени $a = 2,5$. Так как основание $a = 2,5 > 1$, данная функция является возрастающей. Это означает, что чем больше показатель степени, тем больше значение функции. Теперь сравним показатели степеней: $\frac{1}{7}$ и $0,5$. Представим $0,5$ в виде обыкновенной дроби: $0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Сравним дроби $\frac{1}{7}$ и $\frac{1}{2}$. Поскольку у дробей одинаковые числители, больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Так как $7 > 2$, то $\frac{1}{7} < \frac{1}{2}$. Значит, показатель $\frac{1}{7}$ меньше показателя $0,5$. Поскольку функция $y = 2,5^x$ возрастающая, из неравенства $\frac{1}{7} < 0,5$ следует, что $2,5^{\frac{1}{7}} < 2,5^{0,5}$.
Ответ: $2,5^{\frac{1}{7}} < 2,5^{0,5}$.

2) Сравнить числа $0,2^{\frac{2}{3}}$ и $0,2^{\frac{3}{4}}$.

Рассмотрим показательную функцию $y = 0,2^x$. Основание степени $a = 0,2$. Так как основание $0 < a = 0,2 < 1$, данная функция является убывающей. Это означает, что чем больше показатель степени, тем меньше значение функции. Сравним показатели степеней: $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$. Для сравнения приведем дроби к общему знаменателю, равному $12$: $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$; $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$. Поскольку $8 < 9$, то $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, а значит $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$. Поскольку функция $y = 0,2^x$ убывающая, из неравенства $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$ следует, что $0,2^{\frac{2}{3}} > 0,2^{\frac{3}{4}}$.
Ответ: $0,2^{\frac{2}{3}} > 0,2^{\frac{3}{4}}$.

3) Сравнить числа $\log_{3,1}\sqrt{10}$ и $\log_{3,1}3$.

Рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_{3,1}x$. Основание логарифма $a = 3,1$. Так как основание $a = 3,1 > 1$, данная функция является возрастающей. Это означает, что чем больше значение аргумента, тем больше значение функции. Сравним аргументы логарифмов: $\sqrt{10}$ и $3$. Поскольку оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты: $(\sqrt{10})^2 = 10$; $3^2 = 9$. Так как $10 > 9$, то $\sqrt{10} > 3$. Поскольку функция $y = \log_{3,1}x$ возрастающая, из неравенства $\sqrt{10} > 3$ следует, что $\log_{3,1}\sqrt{10} > \log_{3,1}3$.
Ответ: $\log_{3,1}\sqrt{10} > \log_{3,1}3$.

4) Сравнить числа $\log_{0,3}\frac{4}{5}$ и $\log_{0,3}\frac{3}{4}$.

Рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_{0,3}x$. Основание логарифма $a = 0,3$. Так как основание $0 < a = 0,3 < 1$, данная функция является убывающей. Это означает, что чем больше значение аргумента, тем меньше значение функции. Сравним аргументы логарифмов: $\frac{4}{5}$ и $\frac{3}{4}$. Для сравнения представим дроби в виде десятичных чисел: $\frac{4}{5} = 0,8$; $\frac{3}{4} = 0,75$. Поскольку $0,8 > 0,75$, то $\frac{4}{5} > \frac{3}{4}$. Поскольку функция $y = \log_{0,3}x$ убывающая, из неравенства $\frac{4}{5} > \frac{3}{4}$ следует, что $\log_{0,3}\frac{4}{5} < \log_{0,3}\frac{3}{4}$.
Ответ: $\log_{0,3}\frac{4}{5} < \log_{0,3}\frac{3}{4}$.

715. Какому из промежутков $0 < a < 1$ или $a > 1$ принадлежит число $a$, если:

1) $a^{0,2} > 1;$

2) $a^{-1,3} > 1;$

3) $a^{-3,1} < 1;$

4) $a^{2,7} < 1;$

5) $\log_a 0,2 > 0;$

6) $\log_a 1,3 > 0? $

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами монотонности показательной и логарифмической функций.

• Показательная функция $y = a^x$ является возрастающей при $a > 1$ (большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции) и убывающей при $0 < a < 1$ (большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции). При этом для любого основания $a > 0, a \neq 1$ выполняется $a^0 = 1$.
• Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является возрастающей при $a > 1$ (большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции) и убывающей при $0 < a < 1$ (большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции). При этом для любого основания $a > 0, a \neq 1$ выполняется $\log_a 1 = 0$.

Представим число 1 в виде степени с основанием $a$: $1 = a^0$. Неравенство примет вид: $a^{0,2} > a^0$.

Сравним показатели степеней: $0,2 > 0$.

Так как знак неравенства для значений степеней ($>$) совпадает со знаком неравенства для их показателей ($>$), то показательная функция $y=a^x$ является возрастающей. Это свойство выполняется при основании $a > 1$.

Ответ: $a > 1$.

Представим 1 как $a^0$. Получим неравенство $a^{-1,3} > a^0$.

Сравним показатели степеней: $-1,3 < 0$.

Знак неравенства для значений степеней ($>$) противоположен знаку неравенства для их показателей ($<$). Это означает, что показательная функция $y=a^x$ является убывающей. Это свойство выполняется при основании $0 < a < 1$.

Ответ: $0 < a < 1$.

Запишем 1 как $a^0$, тогда неравенство будет $a^{-3,1} < a^0$.

Сравним показатели степеней: $-3,1 < 0$.

Знак неравенства для значений степеней ($<$) совпадает со знаком неравенства для их показателей ($<$). Следовательно, показательная функция $y=a^x$ является возрастающей, что верно для основания $a > 1$.

Ответ: $a > 1$.

Представим 1 как $a^0$. Неравенство примет вид $a^{2,7} < a^0$.

Сравним показатели степеней: $2,7 > 0$.

Знак неравенства для значений степеней ($<$) противоположен знаку неравенства для их показателей ($>$). Это означает, что показательная функция $y=a^x$ является убывающей, что справедливо при основании $0 < a < 1$.

Ответ: $0 < a < 1$.

Представим 0 в виде логарифма с основанием $a$: $0 = \log_a 1$. Неравенство примет вид: $\log_a 0,2 > \log_a 1$.

Сравним числа под знаком логарифма: $0,2 < 1$.

Знак неравенства для значений логарифмов ($>$) противоположен знаку неравенства для их аргументов ($<$). Это означает, что логарифмическая функция $y=\log_a x$ является убывающей. Это свойство выполняется при основании $0 < a < 1$.

Ответ: $0 < a < 1$.

Запишем 0 как $\log_a 1$. Получим неравенство $\log_a 1,3 > \log_a 1$.

Сравним числа под знаком логарифма: $1,3 > 1$.

Знак неравенства для значений логарифмов ($>$) совпадает со знаком неравенства для их аргументов ($>$). Следовательно, логарифмическая функция $y=\log_a x$ является возрастающей, что верно для основания $a > 1$.

Ответ: $a > 1$.

716. Какое из чисел больше:

1) $\sqrt{18}$ или $4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}}$;

2) $\sqrt[3]{18}$ или $\left(\frac{1}{6}\right)^{\log_6 2 - \frac{1}{2}\log_{\sqrt{6}} 5}$?

1) Сравним числа $\sqrt{18}$ и $4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}}$.

Для начала упростим второе число. Преобразуем показатель степени, приведя логарифмы к одному основанию 4. Для этого воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.

$\log_2 3 = \frac{\log_4 3}{\log_4 2}$.

Так как $4^{1/2} = 2$, то $\log_4 2 = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\log_2 3 = \frac{\log_4 3}{1/2} = 2\log_4 3$.

Используя свойство логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$, получаем $2\log_4 3 = \log_4 3^2 = \log_4 9$.

Теперь показатель степени можно записать как сумму логарифмов с одинаковым основанием:

$\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11} = \log_4 9 + \log_4 \frac{5}{11}$.

По свойству суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$, имеем:

$\log_4 9 + \log_4 \frac{5}{11} = \log_4 (9 \cdot \frac{5}{11}) = \log_4 \frac{45}{11}$.

Подставим полученное значение в исходное выражение для второго числа и воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$:

$4^{\log_4 \frac{45}{11}} = \frac{45}{11}$.

Теперь задача сводится к сравнению чисел $\sqrt{18}$ и $\frac{45}{11}$.

Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты. Знак неравенства при этом сохранится.

$(\sqrt{18})^2 = 18$.

$(\frac{45}{11})^2 = \frac{45^2}{11^2} = \frac{2025}{121}$.

Сравним $18$ и $\frac{2025}{121}$. Для этого представим $18$ в виде дроби со знаменателем $121$:

$18 = \frac{18 \cdot 121}{121} = \frac{2178}{121}$.

Поскольку $2178 > 2025$, то $\frac{2178}{121} > \frac{2025}{121}$, а это означает, что $18 > (\frac{45}{11})^2$.

Следовательно, $\sqrt{18} > \frac{45}{11}$.

Ответ: $\sqrt{18}$ больше, чем $4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}}$.

2) Сравним числа $\sqrt[3]{18}$ и $(\frac{1}{6})^{\log_6 2 - \frac{1}{2}\log_{\sqrt{6}} 5}$.

Упростим второе число. Сначала преобразуем его основание и показатель степени.

Основание степени равно $\frac{1}{6} = 6^{-1}$.

Показатель степени $E = \log_6 2 - \frac{1}{2}\log_{\sqrt{6}} 5$. Приведем логарифмы к общему основанию 6. Для этого преобразуем второе слагаемое в показателе, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:

$\log_{\sqrt{6}} 5 = \log_{6^{1/2}} 5 = \frac{1}{1/2}\log_6 5 = 2\log_6 5$.

Подставим полученное выражение обратно в показатель степени:

$E = \log_6 2 - \frac{1}{2}(2\log_6 5) = \log_6 2 - \log_6 5$.

Используя свойство разности логарифмов $\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$, получим:

$E = \log_6 (\frac{2}{5})$.

Теперь преобразуем второе число целиком:

$(\frac{1}{6})^{\log_6 (\frac{2}{5})} = (6^{-1})^{\log_6 (\frac{2}{5})} = 6^{-1 \cdot \log_6 (\frac{2}{5})} = 6^{-\log_6 (\frac{2}{5})}$.

Используя свойство $-n \log_a b = \log_a b^{-n}$, получаем:

$6^{\log_6 ((\frac{2}{5})^{-1})} = 6^{\log_6 (\frac{5}{2})}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем:

$6^{\log_6 (\frac{5}{2})} = \frac{5}{2}$.

Теперь необходимо сравнить $\sqrt[3]{18}$ и $\frac{5}{2}$.

Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их кубы:

$(\sqrt[3]{18})^3 = 18$.

$(\frac{5}{2})^3 = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8} = 15.625$.

Так как $18 > 15.625$, то $(\sqrt[3]{18})^3 > (\frac{5}{2})^3$.

Следовательно, $\sqrt[3]{18} > \frac{5}{2}$.

Ответ: $\sqrt[3]{18}$ больше, чем $(\frac{1}{6})^{\log_6 2 - \frac{1}{2}\log_{\sqrt{6}} 5}$.

717. Между какими целыми заключено число:

1) $lg 50$;

2) $\log_2 10$?

1) lg 50

Чтобы определить, между какими целыми числами заключено число $ \lg 50 $, нам нужно найти такое целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \lg 50 < n+1$.

Запись $ \lg 50 $ означает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $ \lg 50 = \log_{10} 50 $.

Неравенство $ n < \log_{10} 50 < n+1 $ эквивалентно неравенству $ 10^n < 50 < 10^{n+1} $, поскольку логарифмическая функция с основанием 10 является возрастающей.

Рассмотрим степени числа 10, ближайшие к 50:

$ 10^1 = 10 $

$ 10^2 = 100 $

Мы видим, что число 50 находится между 10 и 100:

$ 10 < 50 < 100 $

Запишем это неравенство, используя степени числа 10:

$ 10^1 < 50 < 10^2 $

Теперь прологарифмируем все части неравенства по основанию 10:

$ \log_{10}(10^1) < \log_{10}(50) < \log_{10}(10^2) $

Используя свойство логарифма $ \log_a(a^b) = b $, получаем:

$ 1 < \log_{10} 50 < 2 $

Следовательно, число $ \lg 50 $ заключено между целыми числами 1 и 2.

Ответ: между 1 и 2.

2) log₂10

Чтобы определить, между какими целыми числами заключено число $ \log_2 10 $, нам нужно найти такое целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \log_2 10 < n+1$.

Данное неравенство эквивалентно неравенству $ 2^n < 10 < 2^{n+1} $, так как логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей.

Рассмотрим степени числа 2, ближайшие к 10:

$ 2^3 = 8 $

$ 2^4 = 16 $

Мы видим, что число 10 находится между 8 и 16:

$ 8 < 10 < 16 $

Запишем это неравенство, используя степени числа 2:

$ 2^3 < 10 < 2^4 $

Теперь прологарифмируем все части неравенства по основанию 2:

$ \log_2(2^3) < \log_2(10) < \log_2(2^4) $

Используя свойство логарифма $ \log_a(a^b) = b $, получаем:

$ 3 < \log_2 10 < 4 $

Следовательно, число $ \log_2 10 $ заключено между целыми числами 3 и 4.

Ответ: между 3 и 4.

718. Сравнить без таблиц и калькулятора числа $\log_3 4$ и $\sqrt[4]{2}$.

Для того чтобы сравнить числа $log_3{4}$ и $ \sqrt[4]{2} $, воспользуемся методом сравнения с подходящим промежуточным числом. В качестве такого числа удобно взять $ \frac{5}{4} $.

Сравнение $log_3{4}$ с числом $ \frac{5}{4} $

Чтобы сравнить $log_3{4}$ и $ \frac{5}{4} $, мы можем сравнить числа $4$ и $3^{\frac{5}{4}}$. Это возможно, поскольку логарифмическая функция с основанием $3 > 1$ является строго возрастающей, то есть для положительных $a$ и $b$ из $a > b$ следует $log_3{a} > log_3{b}$.

Для сравнения чисел $4$ и $3^{\frac{5}{4}}$ возведем оба в четвертую степень. Так как оба числа положительные, а функция $y=x^4$ для $x>0$ возрастает, знак неравенства сохранится.

$4^4 = 256$

$(3^{\frac{5}{4}})^4 = 3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$

Поскольку $256 > 243$, мы можем заключить, что $4^4 > (3^{\frac{5}{4}})^4$, и, следовательно, $4 > 3^{\frac{5}{4}}$.

Так как логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, из неравенства $4 > 3^{\frac{5}{4}}$ следует, что $log_3{4} > log_3{(3^{\frac{5}{4}})}$.

Учитывая, что $log_3{(3^{\frac{5}{4}})} = \frac{5}{4}$, мы получаем первое неравенство: $log_3{4} > \frac{5}{4}$.

Сравнение $ \sqrt[4]{2} $ с числом $ \frac{5}{4} $

Теперь сравним второе число, $ \sqrt[4]{2} $, с тем же промежуточным числом $ \frac{5}{4} $. Снова возведем оба положительных числа в четвертую степень.

$(\sqrt[4]{2})^4 = 2$

$(\frac{5}{4})^4 = \frac{5^4}{4^4} = \frac{625}{256}$

Теперь необходимо сравнить $2$ и $\frac{625}{256}$. Представим число $2$ в виде дроби со знаменателем $256$:

$2 = \frac{2 \cdot 256}{256} = \frac{512}{256}$

Так как $512 < 625$, то и $\frac{512}{256} < \frac{625}{256}$. Это означает, что $2 < (\frac{5}{4})^4$.

Отсюда следует, что $(\sqrt[4]{2})^4 < (\frac{5}{4})^4$, а значит $ \sqrt[4]{2} < \frac{5}{4} $.

Вывод

Мы установили два факта:

1. $log_3{4} > \frac{5}{4}$

2. $ \sqrt[4]{2} < \frac{5}{4} $

Объединяя эти два неравенства, получаем $log_3{4} > \frac{5}{4} > \sqrt[4]{2}$, из чего напрямую следует, что $log_3{4} > \sqrt[4]{2}$.

Ответ: $log_3{4} > \sqrt[4]{2}$.

719. Доказать тождество $ \log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_d c = \log_d a $.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $ \log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x} $.

Приведем все логарифмы в выражении $ \log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_d c $ к основанию $d$.

Первый множитель: $ \log_b a = \frac{\log_d a}{\log_d b} $.

Второй множитель: $ \log_c b = \frac{\log_d b}{\log_d c} $.

Третий множитель $ \log_d c $ уже имеет необходимое основание.

Теперь подставим преобразованные множители в левую часть исходного равенства:
$ \log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_d c = \frac{\log_d a}{\log_d b} \cdot \frac{\log_d b}{\log_d c} \cdot \log_d c $

Сократим одинаковые выражения в числителе и знаменателе ($ \log_d b $ и $ \log_d c $):
$ \frac{\log_d a}{\cancel{\log_d b}} \cdot \frac{\cancel{\log_d b}}{\cancel{\log_d c}} \cdot \cancel{\log_d c} = \log_d a $

В результате мы получили, что левая часть тождества равна $ \log_d a $, что совпадает с его правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Упростить (720-721).

720. 1) $3\sqrt{\frac{5}{9}} - \frac{1}{2}\sqrt{20} + 3\sqrt{180} - 4\sqrt{\frac{125}{4}};$

2) $\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} - \frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} - \frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}.$

1)

Для упрощения выражения $3\sqrt{\frac{5}{9}} - \frac{1}{2}\sqrt{20} + 3\sqrt{180} - 4\sqrt{\frac{125}{4}}$ мы упростим каждый член по отдельности.

Первый член: $3\sqrt{\frac{5}{9}}$. Используем свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$3\sqrt{\frac{5}{9}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5}$.

Второй член: $-\frac{1}{2}\sqrt{20}$. Упростим корень, вынеся множитель из-под знака корня. $20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$.

$-\frac{1}{2}\sqrt{20} = -\frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 5} = -\frac{1}{2} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} = -\sqrt{5}$.

Третий член: $3\sqrt{180}$. Упростим корень. $180 = 36 \cdot 5 = 6^2 \cdot 5$.

$3\sqrt{180} = 3\sqrt{36 \cdot 5} = 3 \cdot \sqrt{36} \cdot \sqrt{5} = 3 \cdot 6\sqrt{5} = 18\sqrt{5}$.

Четвертый член: $-4\sqrt{\frac{125}{4}}$. Снова используем свойство корня из дроби и упрощаем корень из числителя. $125 = 25 \cdot 5 = 5^2 \cdot 5$.

$-4\sqrt{\frac{125}{4}} = -4 \cdot \frac{\sqrt{125}}{\sqrt{4}} = -4 \cdot \frac{\sqrt{25 \cdot 5}}{2} = -2\sqrt{25 \cdot 5} = -2 \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = -2 \cdot 5\sqrt{5} = -10\sqrt{5}$.

Теперь сложим все упрощенные члены:

$\sqrt{5} - \sqrt{5} + 18\sqrt{5} - 10\sqrt{5}$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(1 - 1 + 18 - 10)\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$.

Ответ: $8\sqrt{5}$.

2)

Для упрощения выражения $\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} - \frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} - \frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$ мы избавимся от иррациональности в знаменателе каждой дроби. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряженное к знаменателю выражение.

Первый член: $\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$. Сопряженное выражение для знаменателя — $\sqrt{6}+\sqrt{5}$.

$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{6-5} = \sqrt{6}+\sqrt{5}$.

Второй член: $-\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$. Сопряженное выражение для знаменателя — $\sqrt{5}-\sqrt{2}$.

$-\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = -\frac{3 \cdot (\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})} = -\frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = -\frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2} = -\frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3} = -(\sqrt{5}-\sqrt{2}) = -\sqrt{5}+\sqrt{2}$.

Третий член: $-\frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$. Сопряженное выражение для знаменателя — $\sqrt{6}+\sqrt{2}$.

$-\frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = -\frac{4 \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})} = -\frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} = -\frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{6-2} = -\frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4} = -(\sqrt{6}+\sqrt{2}) = -\sqrt{6}-\sqrt{2}$.

Теперь сложим все полученные выражения:

$(\sqrt{6}+\sqrt{5}) + (-\sqrt{5}+\sqrt{2}) + (-\sqrt{6}-\sqrt{2}) = \sqrt{6}+\sqrt{5}-\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{6}-\sqrt{2}$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(\sqrt{6}-\sqrt{6}) + (\sqrt{5}-\sqrt{5}) + (\sqrt{2}-\sqrt{2}) = 0+0+0=0$.

Ответ: $0$.

$\sqrt{6}-\sqrt{3}$ $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ $\sqrt{6}-\sqrt{2}$

$\sqrt{a^4(9a^2 - 6a + 1)};$

2) $\sqrt{b^2(4b^4 + 4b^2 + 1)}.$

1) Для того чтобы упростить выражение $\sqrt{a^4(9a^2 - 6a + 1)}$, преобразуем подкоренное выражение.
Выражение в скобках $9a^2 - 6a + 1$ является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В нашем случае $x = 3a$ и $y = 1$. Тогда:
$9a^2 - 6a + 1 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2 = (3a - 1)^2$.
Множитель $a^4$ также является полным квадратом: $a^4 = (a^2)^2$.
Теперь подставим преобразованные выражения обратно под корень:
$\sqrt{a^4(9a^2 - 6a + 1)} = \sqrt{(a^2)^2(3a - 1)^2}$.
Используя свойство корня $\sqrt{x^2y^2} = \sqrt{(xy)^2}$, получаем:
$\sqrt{(a^2)^2(3a - 1)^2} = \sqrt{[a^2(3a-1)]^2}$.
По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{z^2} = |z|$. Применим это свойство:
$\sqrt{[a^2(3a-1)]^2} = |a^2(3a-1)|$.
Поскольку $a^2$ всегда является неотрицательным числом ($a^2 \ge 0$), его можно вынести из-под знака модуля:
$|a^2(3a-1)| = a^2|3a-1|$.
Выражение $|3a-1|$ можно раскрыть в зависимости от значения $a$:
$|3a-1| = 3a-1$, если $a \ge 1/3$.
$|3a-1| = -(3a-1) = 1-3a$, если $a < 1/3$.
Таким образом, окончательное упрощенное выражение имеет вид $a^2|3a-1|$.
Ответ: $a^2|3a-1|$.

2) Рассмотрим выражение $\sqrt{b^2(4b^4 + 4b^2 + 1)}$ и преобразуем подкоренное выражение.
Выражение в скобках $4b^4 + 4b^2 + 1$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В данном случае $x = 2b^2$ и $y = 1$. Тогда:
$4b^4 + 4b^2 + 1 = (2b^2)^2 + 2 \cdot 2b^2 \cdot 1 + 1^2 = (2b^2 + 1)^2$.
Подставим полученное выражение обратно под корень:
$\sqrt{b^2(4b^4 + 4b^2 + 1)} = \sqrt{b^2(2b^2 + 1)^2}$.
Используя свойство $\sqrt{x^2y^2} = \sqrt{(xy)^2}$, получаем:
$\sqrt{b^2(2b^2 + 1)^2} = \sqrt{[b(2b^2+1)]^2}$.
Применим свойство $\sqrt{z^2} = |z|$:
$\sqrt{[b(2b^2+1)]^2} = |b(2b^2+1)|$.
Рассмотрим выражение внутри модуля. Так как $b^2 \ge 0$, то $2b^2 \ge 0$, и следовательно, $2b^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что выражение $2b^2+1$ всегда положительно. Поэтому его можно вынести за знак модуля, не меняя знака:
$|b(2b^2+1)| = |b|(2b^2+1)$.
Знак переменной $b$ неизвестен, поэтому модуль $|b|$ остается.
Ответ: $|b|(2b^2+1)$.

722. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$;2) $\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$;3) $\frac{12}{\sqrt{10}-\sqrt{7}}$;4) $\frac{8}{\sqrt{11}+\sqrt{3}}$.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{5}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{3} + \sqrt{2})$. При умножении в знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

$\frac{5}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{5 \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3 - 2} = \frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{1} = 5(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.

Ответ: $5(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.

2) Для дроби $\frac{3}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$ сопряженным выражением к знаменателю является $(\sqrt{6} - \sqrt{5})$. Умножим числитель и знаменатель на это выражение.

$\frac{3}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} = \frac{3 \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{5})}{(\sqrt{6} + \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{5})} = \frac{3(\sqrt{6} - \sqrt{5})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{3(\sqrt{6} - \sqrt{5})}{6 - 5} = \frac{3(\sqrt{6} - \sqrt{5})}{1} = 3(\sqrt{6} - \sqrt{5})$.

Ответ: $3(\sqrt{6} - \sqrt{5})$.

3) Для дроби $\frac{12}{\sqrt{10} - \sqrt{7}}$ сопряженным выражением к знаменателю является $(\sqrt{10} + \sqrt{7})$. Умножим числитель и знаменатель на это выражение.

$\frac{12}{\sqrt{10} - \sqrt{7}} = \frac{12 \cdot (\sqrt{10} + \sqrt{7})}{(\sqrt{10} - \sqrt{7}) \cdot (\sqrt{10} + \sqrt{7})} = \frac{12(\sqrt{10} + \sqrt{7})}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{12(\sqrt{10} + \sqrt{7})}{10 - 7} = \frac{12(\sqrt{10} + \sqrt{7})}{3}$.

Теперь можно сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{12(\sqrt{10} + \sqrt{7})}{3} = 4(\sqrt{10} + \sqrt{7})$.

Ответ: $4(\sqrt{10} + \sqrt{7})$.

4) Для дроби $\frac{8}{\sqrt{11} + \sqrt{3}}$ сопряженным выражением к знаменателю является $(\sqrt{11} - \sqrt{3})$. Умножим числитель и знаменатель на это выражение.

$\frac{8}{\sqrt{11} + \sqrt{3}} = \frac{8 \cdot (\sqrt{11} - \sqrt{3})}{(\sqrt{11} + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{11} - \sqrt{3})} = \frac{8(\sqrt{11} - \sqrt{3})}{(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{8(\sqrt{11} - \sqrt{3})}{11 - 3} = \frac{8(\sqrt{11} - \sqrt{3})}{8}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:

$\frac{8(\sqrt{11} - \sqrt{3})}{8} = \sqrt{11} - \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{11} - \sqrt{3}$.

723. Освободиться от иррациональности в числителе дроби:

1) $\frac{\sqrt{5}}{10}$;

2) $\frac{3\sqrt{6}}{6}$;

3) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{\sqrt{5}}{10}$, необходимо умножить ее числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$.

$\frac{\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}{10 \cdot \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{5})^2}{10\sqrt{5}} = \frac{5}{10\sqrt{5}}$

Теперь сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{5}{10\sqrt{5}} = \frac{1}{2\sqrt{5}}$

Ответ: $\frac{1}{2\sqrt{5}}$

2) Для дроби $\frac{3\sqrt{6}}{6}$ сначала можно упростить выражение, сократив дробь на 3:

$\frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Теперь, чтобы избавиться от иррациональности в числителе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:

$\frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}{2 \cdot \sqrt{6}} = \frac{6}{2\sqrt{6}}$

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{6}{2\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}}$

Ответ: $\frac{3}{\sqrt{6}}$

3) Числитель дроби $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$ представляет собой разность. Чтобы сделать его рациональным, нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное к нему выражение, то есть на $\sqrt{7}+\sqrt{5}$. При этом используется формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2}{2(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{7-5}{2(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{2}{2(\sqrt{7}+\sqrt{5})}$

Сократив дробь на 2, получим окончательный результат:

$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$

724. Записать в виде обыкновенной дроби число:

1) $0.\overline{4}$; 2) $2.\overline{7}$; 3) $0.\overline{21}$;

4) $1.\overline{36}$; 5) $0.3\overline{5}$; 6) $0.21\overline{3}$.

1) 0,(4)

Пусть искомое число $x = 0,(4)$, что равносильно $x = 0.444...$

Умножим это уравнение на 10, чтобы сдвинуть запятую на одну позицию вправо (так как период состоит из одной цифры):

$10x = 4.444...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от бесконечной дробной части:

$10x - x = 4.444... - 0.444...$

$9x = 4$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$

2) 2,(7)

Представим число как сумму целой и дробной частей: $2,(7) = 2 + 0,(7)$.

Сначала преобразуем периодическую дробь $0,(7)$ в обыкновенную. Пусть $y = 0,(7) = 0.777...$

Умножим на 10: $10y = 7.777...$

Вычтем исходное уравнение: $10y - y = 7.777... - 0.777...$, что дает $9y = 7$.

Следовательно, $y = \frac{7}{9}$.

Теперь вернемся к исходному числу:

$2,(7) = 2 + \frac{7}{9} = 2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{18 + 7}{9} = \frac{25}{9}$

Ответ: $\frac{25}{9}$

3) 0,(21)

Пусть $x = 0,(21) = 0.212121...$

Так как период состоит из двух цифр, умножим уравнение на 100:

$100x = 21.212121...$

Вычтем из нового уравнения исходное:

$100x - x = 21.212121... - 0.212121...$

$99x = 21$

$x = \frac{21}{99}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$x = \frac{21 \div 3}{99 \div 3} = \frac{7}{33}$

Ответ: $\frac{7}{33}$

4) 1,(36)

Пусть $x = 1,(36) = 1.363636...$

Период состоит из двух цифр, поэтому умножим на 100:

$100x = 136.363636...$

Вычтем исходное уравнение:

$100x - x = 136.363636... - 1.363636...$

$99x = 135$

$x = \frac{135}{99}$

Сократим дробь на 9:

$x = \frac{135 \div 9}{99 \div 9} = \frac{15}{11}$

Ответ: $\frac{15}{11}$

5) 0,3(5)

Это смешанная периодическая дробь. Пусть $x = 0.3(5) = 0.3555...$

Умножим на 10, чтобы "освободить" непериодическую часть:

$10x = 3.555...$

Теперь умножим еще на 10, чтобы сдвинуть период:

$100x = 35.555...$

Вычтем второе уравнение из третьего:

$100x - 10x = 35.555... - 3.555...$

$90x = 32$

$x = \frac{32}{90}$

Сократим дробь на 2:

$x = \frac{16}{45}$

Ответ: $\frac{16}{45}$

6) 0,21(3)

Это смешанная периодическая дробь. Пусть $x = 0.21(3) = 0.21333...$

Умножим на 100, так как до периода стоят две цифры:

$100x = 21.333...$

Умножим еще на 10, так как период состоит из одной цифры:

$1000x = 213.333...$

Вычтем второе уравнение из третьего:

$1000x - 100x = 213.333... - 21.333...$

$900x = 192$

$x = \frac{192}{900}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 192 и 900 равен 12.

$x = \frac{192 \div 12}{900 \div 12} = \frac{16}{75}$

Ответ: $\frac{16}{75}$

725. Записать в виде десятичной периодической дроби число:

1) $\frac{5}{6}$;

2) $2\frac{1}{9}$;

3) $\frac{1}{7}$;

4) $5\frac{2}{11}$.

1)

Чтобы записать число $\frac{5}{6}$ в виде десятичной периодической дроби, необходимо выполнить деление числителя на знаменатель. Разделим 5 на 6 столбиком:

$5 \div 6 = 0$ (целая часть равна 0).
$50 \div 6 = 8$ с остатком $2$ ($50 - 48 = 2$). Первая цифра после запятой — 8.
К остатку $2$ приписываем $0$, получаем $20$.
$20 \div 6 = 3$ с остатком $2$ ($20 - 18 = 2$). Вторая цифра после запятой — 3.
К остатку $2$ снова приписываем $0$, получаем $20$.
$20 \div 6 = 3$ с остатком $2$.

Так как остаток $2$ постоянно повторяется, то и в частном будет бесконечно повторяться цифра 3. Таким образом, получаем десятичную дробь $0,8333...$. Цифра 3 является периодом дроби.

Запись в виде периодической дроби: $\frac{5}{6} = 0,8(3)$.

Ответ: $0,8(3)$

2)

Число $2\frac{1}{9}$ является смешанным. Целая часть равна 2. Для нахождения дробной части нужно перевести $\frac{1}{9}$ в десятичную дробь, разделив 1 на 9:

$1 \div 9 = 0$ (целая часть равна 0).
$10 \div 9 = 1$ с остатком $1$ ($10 - 9 = 1$). Первая цифра после запятой — 1.
К остатку $1$ приписываем $0$, получаем $10$.
$10 \div 9 = 1$ с остатком $1$.

Остаток $1$ будет повторяться бесконечно, следовательно, цифра 1 в дробной части также будет повторяться бесконечно. Дробная часть равна $0,111...$, что записывается как $0,(1)$.

Складываем целую и дробную части: $2 + 0,(1) = 2,(1)$.

Ответ: $2,(1)$

3)

Чтобы записать число $\frac{1}{7}$ в виде десятичной периодической дроби, разделим 1 на 7 столбиком:

$1 \div 7 = 0$ (целая часть равна 0).
$10 \div 7 = 1$ с остатком $3$.
$30 \div 7 = 4$ с остатком $2$.
$20 \div 7 = 2$ с остатком $6$.
$60 \div 7 = 8$ с остатком $4$.
$40 \div 7 = 5$ с остатком $5$.
$50 \div 7 = 7$ с остатком $1$.

Мы получили остаток $1$, с которого начинали деление (после получения целой части). Это означает, что последовательность цифр в частном начнет повторяться. Периодом дроби является группа цифр $142857$.

Запись в виде периодической дроби: $\frac{1}{7} = 0,142857142857... = 0,(142857)$.

Ответ: $0,(142857)$

4)

Число $5\frac{2}{11}$ является смешанным. Целая часть равна 5. Для нахождения дробной части переведем $\frac{2}{11}$ в десятичную дробь, разделив 2 на 11:

$2 \div 11 = 0$ (целая часть равна 0).
$20 \div 11 = 1$ с остатком $9$ ($20 - 11 = 9$).
$90 \div 11 = 8$ с остатком $2$ ($90 - 88 = 2$).

Мы получили остаток $2$, с которого начинали деление дробной части. Следовательно, группа цифр $18$ будет повторяться. Дробная часть равна $0,1818...$, что записывается как $0,(18)$.

Складываем целую и дробную части: $5 + 0,(18) = 5,(18)$.

Ответ: $5,(18)$

726. Может ли быть рациональным числом:

1) сумма двух положительных иррациональных чисел;

2) произведение двух иррациональных чисел;

3) частное от деления суммы двух неравных иррациональных положительных чисел на их произведение?

1) сумма двух положительных иррациональных чисел;
Да, может. Для доказательства достаточно привести пример.
Рассмотрим два положительных иррациональных числа: $a = 3 + \sqrt{5}$ и $b = 3 - \sqrt{5}$.
Число $a$ является положительным и иррациональным.
Число $b$ также является иррациональным. Если предположить, что $b$ — рациональное, то разность рационального числа 3 и рационального числа $b$ также была бы рациональной, но $3 - b = 3 - (3 - \sqrt{5}) = \sqrt{5}$, что является иррациональным числом. Пришли к противоречию.
Число $b$ является положительным, так как $3 = \sqrt{9}$, а $\sqrt{9} > \sqrt{5}$, следовательно $3 - \sqrt{5} > 0$.
Теперь найдем их сумму:
$a + b = (3 + \sqrt{5}) + (3 - \sqrt{5}) = 3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} = 6$.
Сумма этих двух положительных иррациональных чисел равна 6, что является рациональным числом.
Ответ: да, может.

2) произведение двух иррациональных чисел;
Да, может. Приведем пример.
Рассмотрим два иррациональных числа: $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{8}$.
Число $\sqrt{8}$ можно записать как $2\sqrt{2}$, оно иррационально.
Найдем их произведение:
$a \cdot b = \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$.
Результат, 4, является рациональным числом. Другой простой пример: $a = \sqrt{3}$ и $b = \sqrt{3}$, их произведение $a \cdot b = 3$.
Ответ: да, может.

3) частное от деления суммы двух неравных иррациональных положительных чисел на их произведение?
Да, может.
Пусть $a$ и $b$ — два неравных положительных иррациональных числа ($a \neq b, a>0, b>0, a, b \notin \mathbb{Q}$).
Рассмотрим выражение для частного и преобразуем его:
$\frac{a+b}{ab} = \frac{a}{ab} + \frac{b}{ab} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$.
Таким образом, задача сводится к вопросу: может ли сумма чисел, обратных двум неравным положительным иррациональным числам, быть рациональной?
Если число $a$ иррационально и положительно, то и обратное ему число $\frac{1}{a}$ также будет иррациональным и положительным. То же самое верно и для числа $b$ и $\frac{1}{b}$.
Следовательно, нам нужно найти два неравных положительных иррациональных числа, сумма которых будет рациональным числом.
Возьмем в качестве таких чисел $x = \frac{1}{a}$ и $y = \frac{1}{b}$.
Пусть $x = 2 + \sqrt{2}$ и $y = 2 - \sqrt{2}$.
Оба числа, $x$ и $y$, являются положительными ($2 = \sqrt{4} > \sqrt{2}$), иррациональными и не равны друг другу.
Их сумма $x+y = (2 + \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2}) = 4$, что является рациональным числом.
Теперь найдем исходные числа $a$ и $b$:
$a = \frac{1}{x} = \frac{1}{2+\sqrt{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{2-\sqrt{2}}{4-2} = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$.
$b = \frac{1}{y} = \frac{1}{2-\sqrt{2}} = \frac{2+\sqrt{2}}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{2+\sqrt{2}}{4-2} = \frac{2+\sqrt{2}}{2}$.
Числа $a$ и $b$ являются положительными, иррациональными и неравными.
Проверим для них исходное выражение:
$\frac{a+b}{ab} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = x + y = (2 + \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2}) = 4$.
Результат, 4, является рациональным числом.
Ответ: да, может.