Страница 320 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

727. Доказать, что если $a$ и $b$ — натуральные числа и $\sqrt{ab}$ — рациональное число, то $\sqrt{\frac{a}{b}}$ также рациональное число, а если $\sqrt{ab}$ — иррациональное число, то и $\sqrt{\frac{a}{b}}$ — иррациональное число.

Задача содержит два связанных утверждения, которые необходимо доказать. Мы докажем их последовательно.

Если $a$ и $b$ — натуральные числа и $\sqrt{ab}$ — рациональное число, то $\sqrt{\frac{a}{b}}$ также рациональное число

По условию дано, что $a$ и $b$ — натуральные числа ($a, b \in \mathbb{N}$), и число $\sqrt{ab}$ является рациональным. Требуется доказать, что число $\sqrt{\frac{a}{b}}$ также является рациональным.

Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{a}{b}}$ и преобразуем его, умножив числитель и знаменатель подкоренного выражения на $b$: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{a \cdot b}{b \cdot b}} = \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}$.

Так как $b$ — натуральное число, то $\sqrt{b^2} = b$. В результате преобразований мы получаем следующее тождество:

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b}$

Теперь рассмотрим правую часть этого равенства. По условию, числитель $\sqrt{ab}$ является рациональным числом. Знаменатель $b$ является натуральным числом, а следовательно, ненулевым рациональным числом. Частное от деления рационального числа на ненулевое рациональное число всегда является рациональным числом. Таким образом, выражение $\frac{\sqrt{ab}}{b}$ является рациональным числом, а значит и равное ему выражение $\sqrt{\frac{a}{b}}$ тоже рационально.

Ответ: утверждение доказано.

Если $a$ и $b$ — натуральные числа и $\sqrt{ab}$ — иррациональное число, то и $\sqrt{\frac{a}{b}}$ — иррациональное число

По условию дано, что $a$ и $b$ — натуральные числа ($a, b \in \mathbb{N}$), и число $\sqrt{ab}$ является иррациональным. Требуется доказать, что число $\sqrt{\frac{a}{b}}$ также является иррациональным.

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что $\sqrt{\frac{a}{b}}$ является рациональным числом. Обозначим это число через $q$, то есть $\sqrt{\frac{a}{b}} = q$, где $q \in \mathbb{Q}$.

Из тождества, которое мы вывели в первой части, $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b}$, можно выразить $\sqrt{ab}$:

$\sqrt{ab} = \sqrt{\frac{a}{b}} \cdot b$

Подставив в это равенство наше предположение $\sqrt{\frac{a}{b}} = q$, получим:

$\sqrt{ab} = q \cdot b$

Рассмотрим правую часть полученного равенства. По нашему предположению, $q$ — рациональное число. По условию задачи, $b$ — натуральное (и, следовательно, рациональное) число. Произведение двух рациональных чисел ($q$ и $b$) всегда является рациональным числом. Следовательно, $\sqrt{ab}$ должно быть рациональным числом.

Это утверждение вступает в прямое противоречие с условием задачи, согласно которому $\sqrt{ab}$ — иррациональное число. Данное противоречие означает, что наше исходное предположение было неверным. Следовательно, число $\sqrt{\frac{a}{b}}$ должно быть иррациональным.

Ответ: утверждение доказано.

728. Пусть $a$ — рациональное число, $b$ — иррациональное число, $a \neq 0, b \neq 0$. Доказать, что $a+b, a \cdot b, \frac{a}{b}, \frac{b}{a}$ — иррациональные числа.

По условию задачи, $a$ — рациональное число ($a \in \mathbb{Q}$), $b$ — иррациональное число ($b \in \mathbb{I}$), причём $a \neq 0$ и $b \neq 0$. Для доказательства иррациональности каждого из выражений будем использовать метод от противного.

$a+b$

Предположим, что сумма $a+b$ является рациональным числом. Обозначим эту сумму как $c$, то есть $a+b=c$, где $c \in \mathbb{Q}$.

Выразим из этого равенства $b$: $b = c-a$.

Поскольку $c$ — рациональное число (по нашему предположению) и $a$ — рациональное число (по условию), то их разность $c-a$ также является рациональным числом, так как множество рациональных чисел замкнуто относительно операции вычитания.

Таким образом, мы получаем, что $b$ — рациональное число. Это противоречит исходному условию, что $b$ — иррациональное число.

Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и число $a+b$ иррационально.

Ответ: число $a+b$ является иррациональным.

$a \cdot b$

Предположим, что произведение $a \cdot b$ является рациональным числом. Обозначим это произведение как $d$, то есть $a \cdot b=d$, где $d \in \mathbb{Q}$.

Поскольку по условию $a \neq 0$, мы можем выразить $b$, разделив обе части равенства на $a$: $b = \frac{d}{a}$.

Так как $d$ — рациональное число (по нашему предположению) и $a$ — ненулевое рациональное число (по условию), их частное $\frac{d}{a}$ также является рациональным числом, так как множество рациональных чисел замкнуто относительно операции деления на ненулевое число.

Следовательно, мы получаем, что $b$ — рациональное число, что противоречит условию задачи.

Значит, наше предположение было неверным, и число $a \cdot b$ является иррациональным.

Ответ: число $a \cdot b$ является иррациональным.

$\frac{a}{b}$

Предположим, что частное $\frac{a}{b}$ является рациональным числом. Обозначим его как $e$, то есть $\frac{a}{b}=e$, где $e \in \mathbb{Q}$.

Поскольку по условию $a \neq 0$ и $b \neq 0$, то и $e \neq 0$. Выразим из этого равенства $b$: $b = \frac{a}{e}$.

Так как $a$ — рациональное число (по условию), а $e$ — ненулевое рациональное число (по нашему предположению), их частное $\frac{a}{e}$ является рациональным числом.

Мы снова приходим к выводу, что $b$ — рациональное число, что противоречит условию задачи.

Таким образом, наше предположение неверно, и число $\frac{a}{b}$ является иррациональным.

Ответ: число $\frac{a}{b}$ является иррациональным.

$\frac{b}{a}$

Предположим, что частное $\frac{b}{a}$ является рациональным числом. Обозначим его как $f$, то есть $\frac{b}{a}=f$, где $f \in \mathbb{Q}$.

Выразим из этого равенства $b$: $b = f \cdot a$.

Поскольку $f$ — рациональное число (по нашему предположению) и $a$ — рациональное число (по условию), их произведение $f \cdot a$ также является рациональным числом, так как множество рациональных чисел замкнуто относительно операции умножения.

Это означает, что $b$ — рациональное число, что противоречит условию задачи.

Следовательно, наше предположение неверно, и число $\frac{b}{a}$ является иррациональным.

Ответ: число $\frac{b}{a}$ является иррациональным.

729. Имеют ли общие точки промежутки:

1) $[1; 3\sqrt{2} + 2\sqrt{7}]$ и $[3\sqrt{3} + 4; 15];$

2) $(0; \sqrt{27} + \sqrt{6})$ и $(\sqrt{48} - 1; 10);$

3) $[2; 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6}]$ и $(3\sqrt{2} + \sqrt{22}; 11);$

4) $[1; 1 + \sqrt{3}]$ и $(\frac{2}{\sqrt{3} - 1}; 4)?$

1) Чтобы определить, имеют ли общие точки промежутки $[1; 3\sqrt{2} + 2\sqrt{7}]$ и $[3\sqrt{3} + 4; 15]$, необходимо сравнить концы этих отрезков. Два отрезка $[a, b]$ и $[c, d]$ имеют общие точки тогда и только тогда, когда $a \le d$ и $c \le b$.

В данном случае $a = 1$, $b = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{7}$, $c = 3\sqrt{3} + 4$ и $d = 15$.

Первое условие $a \le d$ выполняется: $1 \le 15$.

Проверим второе условие $c \le b$, то есть сравним $3\sqrt{3} + 4$ и $3\sqrt{2} + 2\sqrt{7}$. Оба числа положительны, поэтому можно сравнивать их квадраты:

$(3\sqrt{3} + 4)^2 = (3\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 4 + 4^2 = 27 + 24\sqrt{3} + 16 = 43 + 24\sqrt{3}$.

$(3\sqrt{2} + 2\sqrt{7})^2 = (3\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{7} + (2\sqrt{7})^2 = 18 + 12\sqrt{14} + 28 = 46 + 12\sqrt{14}$.

Теперь сравним $43 + 24\sqrt{3}$ и $46 + 12\sqrt{14}$. Это эквивалентно сравнению $24\sqrt{3}$ и $3 + 12\sqrt{14}$. Разделим обе части на 3: $8\sqrt{3}$ и $1 + 4\sqrt{14}$. Снова возведем в квадрат обе положительные части:

$(8\sqrt{3})^2 = 64 \cdot 3 = 192$.

$(1 + 4\sqrt{14})^2 = 1^2 + 2 \cdot 4\sqrt{14} + (4\sqrt{14})^2 = 1 + 8\sqrt{14} + 16 \cdot 14 = 1 + 8\sqrt{14} + 224 = 225 + 8\sqrt{14}$.

Так как $192 < 225 + 8\sqrt{14}$, то $8\sqrt{3} < 1 + 4\sqrt{14}$.

Из этого следует, что $43 + 24\sqrt{3} < 46 + 12\sqrt{14}$, и, следовательно, $3\sqrt{3} + 4 < 3\sqrt{2} + 2\sqrt{7}$.

Условие $c \le b$ выполняется. Так как оба условия ($a \le d$ и $c \le b$) выполнены, промежутки имеют общие точки.

Ответ: Да, имеют.

2) Рассмотрим промежутки $(0; \sqrt{27} + \sqrt{6})$ и $(\sqrt{48} - 1; 10)$.

Сначала упростим выражения с корнями: $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ и $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.

Таким образом, промежутки имеют вид $(0; 3\sqrt{3} + \sqrt{6})$ и $(4\sqrt{3} - 1; 10)$.

Два интервала $(a, b)$ и $(c, d)$ имеют общие точки, если $a < d$ и $c < b$.

В нашем случае $a = 0$, $b = 3\sqrt{3} + \sqrt{6}$, $c = 4\sqrt{3} - 1$ и $d = 10$.

Первое условие $a < d$ выполняется: $0 < 10$.

Проверим второе условие $c < b$: $4\sqrt{3} - 1 < 3\sqrt{3} + \sqrt{6}$.

Перенесем члены: $4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} < 1 + \sqrt{6}$, что дает $\sqrt{3} < 1 + \sqrt{6}$.

Обе части неравенства положительны. Возведем их в квадрат: $(\sqrt{3})^2 < (1 + \sqrt{6})^2$.

$3 < 1 + 2\sqrt{6} + 6$, то есть $3 < 7 + 2\sqrt{6}$.

Это неравенство верно, так как $7 > 3$. Следовательно, $c < b$.

Оба условия выполнены, значит, промежутки имеют общие точки.

Ответ: Да, имеют.

3) Рассмотрим промежутки $[2; 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6}]$ и $(3\sqrt{2} + \sqrt{22}; 11)$.

Пусть $a_1 = 2$, $b_1 = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6}$, $a_2 = 3\sqrt{2} + \sqrt{22}$ и $b_2 = 11$.

Промежутки $[a_1, b_1]$ и $(a_2, b_2)$ пересекаются, если $a_1 < b_2$ и $a_2 < b_1$.

Первое условие $a_1 < b_2$ выполняется: $2 < 11$.

Проверим второе условие $a_2 < b_1$: $3\sqrt{2} + \sqrt{22} < 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6}$.

Запишем выражения в виде $\sqrt{18} + \sqrt{22} < \sqrt{20} + \sqrt{24}$.

Сравним квадраты обеих частей (они положительны):

$(\sqrt{18} + \sqrt{22})^2 = 18 + 2\sqrt{18 \cdot 22} + 22 = 40 + 2\sqrt{396}$.

$(\sqrt{20} + \sqrt{24})^2 = 20 + 2\sqrt{20 \cdot 24} + 24 = 44 + 2\sqrt{480}$.

Так как $40 < 44$ и $\sqrt{396} < \sqrt{480}$, то $40 + 2\sqrt{396} < 44 + 2\sqrt{480}$.

Следовательно, $3\sqrt{2} + \sqrt{22} < 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6}$. Условие $a_2 < b_1$ выполняется.

Оба условия выполнены, значит, промежутки имеют общие точки.

Ответ: Да, имеют.

4) Рассмотрим промежутки $[1; 1+\sqrt{3}]$ и $(\frac{2}{\sqrt{3}-1}; 4)$.

Упростим левую границу второго промежутка, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{3}+1$:

$\frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = 1+\sqrt{3}$.

Таким образом, второй промежуток — это $(1+\sqrt{3}; 4)$.

Теперь нужно выяснить, имеют ли общие точки промежутки $[1; 1+\sqrt{3}]$ и $(1+\sqrt{3}; 4)$.

Первый промежуток — это отрезок, содержащий все числа $x$, для которых $1 \le x \le 1+\sqrt{3}$. Он включает правую границу $1+\sqrt{3}$.

Второй промежуток — это интервал, содержащий все числа $y$, для которых $1+\sqrt{3} < y < 4$. Он не включает левую границу $1+\sqrt{3}$.

Для того чтобы точка была общей, она должна удовлетворять обоим условиям: $x \le 1+\sqrt{3}$ и $x > 1+\sqrt{3}$. Не существует числа, удовлетворяющего этому двойному неравенству. Следовательно, пересечение этих промежутков пусто.

Ответ: Нет, не имеют.

730. Пусть $0 < a < b$. Доказать, что на числовой оси:

1) точка $\frac{a+b}{2}$ — середина отрезка $[a; b];$

2) точка $\frac{a+bc}{1+c}$, где $c > 0$, лежит внутри отрезка $[a; b].$

1) точка $\frac{a+b}{2}$ — середина отрезка $[a; b]$

Чтобы доказать, что точка $M = \frac{a+b}{2}$ является серединой отрезка $[a; b]$, необходимо показать, что она равноудалена от его концов, то есть что расстояние от точки $M$ до точки $a$ равно расстоянию от точки $M$ до точки $b$.

Расстояние между двумя точками $x_1$ и $x_2$ на числовой оси равно $|x_2 - x_1|$.

Найдем расстояние от $M$ до $a$:

$|M - a| = |\frac{a+b}{2} - a| = |\frac{a+b-2a}{2}| = |\frac{b-a}{2}|$.

По условию задачи $a < b$, следовательно, $b-a > 0$. Таким образом, $|\frac{b-a}{2}| = \frac{b-a}{2}$.

Теперь найдем расстояние от $M$ до $b$:

$|b - M| = |b - \frac{a+b}{2}| = |\frac{2b-(a+b)}{2}| = |\frac{2b-a-b}{2}| = |\frac{b-a}{2}|$.

Так как $b-a > 0$, то $|\frac{b-a}{2}| = \frac{b-a}{2}$.

Мы получили, что расстояния от точки $M$ до концов отрезка равны: $|M-a| = |b-M| = \frac{b-a}{2}$. Это означает, что точка $M = \frac{a+b}{2}$ является серединой отрезка $[a; b]$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) точка $\frac{a+bc}{1+c}$, где $c > 0$, лежит внутри отрезка $[a; b]$

Чтобы доказать, что точка $x = \frac{a+bc}{1+c}$ лежит внутри отрезка $[a; b]$, нужно показать, что она удовлетворяет строгим неравенствам $a < x < b$.

Докажем неравенство $a < x$:

$a < \frac{a+bc}{1+c}$

Поскольку по условию $c > 0$, то $1+c > 1$, а значит, знаменатель $1+c$ положителен. Можем умножить обе части неравенства на $1+c$, сохранив знак неравенства:

$a(1+c) < a+bc$

$a + ac < a + bc$

Вычтем $a$ из обеих частей:

$ac < bc$

Так как $c > 0$, разделим обе части на $c$, сохранив знак неравенства:

$a < b$

Это неравенство истинно по условию задачи. Следовательно, и первое неравенство $a < x$ верно.

Докажем неравенство $x < b$:

$\frac{a+bc}{1+c} < b$

Снова умножим обе части на положительное число $1+c$:

$a+bc < b(1+c)$

$a+bc < b+bc$

Вычтем $bc$ из обеих частей:

$a < b$

Это неравенство также истинно по условию. Следовательно, и второе неравенство $x < b$ верно.

Так как мы доказали оба неравенства $a < x$ и $x < b$, то точка $x = \frac{a+bc}{1+c}$ действительно лежит внутри отрезка $[a; b]$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

731. Выполнить действия:

1) $(-3 + 2i)\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}i\right)$;

2) $(-5 + \sqrt{2}i)(-6 - 3\sqrt{2}i)$;

3) $(1 + i)(-1 + 2i) + 1 - 3i$;

4) $(3 - 2i)(4 + i) + 10i$;

5) $\frac{(3 - i)(1 + 3i)}{2 - i}$;

6) $\frac{2 - 3i}{(1 - i)(3 + i)}$;

7) $\frac{3}{2 - 3i} + \frac{3}{2 + 3i}$;

8) $\frac{2 - 3i}{2 + i} + \frac{2 + 3i}{2 - i}.$

1) $(-3 + 2i)(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}i)$

Для умножения двух комплексных чисел используем правило раскрытия скобок (дистрибутивный закон), как при умножении двучленов. Учитываем, что $i^2 = -1$.

$(-3 + 2i)(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}i) = -3 \cdot \frac{1}{3} + (-3) \cdot (-\frac{1}{2}i) + 2i \cdot \frac{1}{3} + 2i \cdot (-\frac{1}{2}i)$

Выполним умножение:

$= -1 + \frac{3}{2}i + \frac{2}{3}i - i^2$

Сгруппируем действительные и мнимые части и подставим значение $i^2 = -1$:

$= -1 + (\frac{3}{2} + \frac{2}{3})i - (-1) = -1 + 1 + (\frac{9+4}{6})i = 0 + \frac{13}{6}i = \frac{13}{6}i$

Ответ: $\frac{13}{6}i$

2) $(-5 + \sqrt{2}i)(-6 - 3\sqrt{2}i)$

Раскроем скобки, перемножая каждое слагаемое первого комплексного числа на каждое слагаемое второго:

$(-5 + \sqrt{2}i)(-6 - 3\sqrt{2}i) = (-5)(-6) + (-5)(-3\sqrt{2}i) + (\sqrt{2}i)(-6) + (\sqrt{2}i)(-3\sqrt{2}i)$

Выполним вычисления:

$= 30 + 15\sqrt{2}i - 6\sqrt{2}i - 3(\sqrt{2})^2i^2$

Сгруппируем действительные и мнимые части, подставим $i^2 = -1$ и $(\sqrt{2})^2 = 2$:

$= 30 + (15\sqrt{2} - 6\sqrt{2})i - 3 \cdot 2 \cdot (-1) = 30 + 9\sqrt{2}i + 6 = 36 + 9\sqrt{2}i$

Ответ: $36 + 9\sqrt{2}i$

3) $(1 + i)(-1 + 2i) + 1 - 3i$

Сначала выполним умножение комплексных чисел в скобках:

$(1 + i)(-1 + 2i) = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 2i + i \cdot (-1) + i \cdot 2i = -1 + 2i - i + 2i^2$

Упростим полученное выражение, заменив $i^2$ на $-1$:

$= -1 + i + 2(-1) = -1 + i - 2 = -3 + i$

Теперь выполним сложение с оставшимся комплексным числом:

$(-3 + i) + (1 - 3i) = (-3 + 1) + (i - 3i) = -2 - 2i$

Ответ: $-2 - 2i$

4) $(3 - 2i)(4 + i) + 10i$

Первым действием выполним умножение:

$(3 - 2i)(4 + i) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot i - 2i \cdot 4 - 2i \cdot i = 12 + 3i - 8i - 2i^2$

Упростим, используя $i^2 = -1$:

$= 12 - 5i - 2(-1) = 12 - 5i + 2 = 14 - 5i$

Теперь добавим $10i$:

$(14 - 5i) + 10i = 14 + (-5i + 10i) = 14 + 5i$

Ответ: $14 + 5i$

5) $\frac{(3-i)(1+3i)}{2-i}$

Сначала выполним умножение в числителе:

$(3 - i)(1 + 3i) = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 3i - i \cdot 1 - i \cdot 3i = 3 + 9i - i - 3i^2 = 3 + 8i - 3(-1) = 3 + 8i + 3 = 6 + 8i$

Теперь выполним деление $\frac{6 + 8i}{2 - i}$. Для этого умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $2 + i$.

$\frac{6 + 8i}{2 - i} = \frac{(6 + 8i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{6 \cdot 2 + 6 \cdot i + 8i \cdot 2 + 8i \cdot i}{2^2 - i^2} = \frac{12 + 6i + 16i + 8i^2}{4 - (-1)}$

Упростим числитель и знаменатель:

$\frac{12 + 22i + 8(-1)}{4 + 1} = \frac{12 + 22i - 8}{5} = \frac{4 + 22i}{5}$

Разделим действительную и мнимую части на 5:

$\frac{4}{5} + \frac{22}{5}i$

Ответ: $\frac{4}{5} + \frac{22}{5}i$

6) $\frac{2 - 3i}{(1-i)(3+i)}$

Сначала вычислим произведение в знаменателе:

$(1 - i)(3 + i) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot i - i \cdot 3 - i \cdot i = 3 + i - 3i - i^2 = 3 - 2i - (-1) = 4 - 2i$

Теперь нужно разделить $\frac{2 - 3i}{4 - 2i}$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $4 + 2i$.

$\frac{2 - 3i}{4 - 2i} = \frac{(2 - 3i)(4 + 2i)}{(4 - 2i)(4 + 2i)} = \frac{2 \cdot 4 + 2 \cdot 2i - 3i \cdot 4 - 3i \cdot 2i}{4^2 - (2i)^2} = \frac{8 + 4i - 12i - 6i^2}{16 - 4i^2}$

Упростим, подставив $i^2 = -1$:

$\frac{8 - 8i - 6(-1)}{16 - 4(-1)} = \frac{8 - 8i + 6}{16 + 4} = \frac{14 - 8i}{20}$

Разделим действительную и мнимую части на 20 и сократим дроби:

$\frac{14}{20} - \frac{8}{20}i = \frac{7}{10} - \frac{2}{5}i$

Ответ: $\frac{7}{10} - \frac{2}{5}i$

7) $\frac{3}{2 - 3i} + \frac{3}{2 + 3i}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю, которым будет произведение знаменателей $(2 - 3i)(2 + 3i)$.

$\frac{3(2 + 3i)}{(2 - 3i)(2 + 3i)} + \frac{3(2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)} = \frac{3(2 + 3i) + 3(2 - 3i)}{(2 - 3i)(2 + 3i)}$

Раскроем скобки в числителе и знаменателе. Знаменатель является произведением сопряженных чисел, что равно сумме квадратов действительной и мнимой частей: $(a-bi)(a+bi)=a^2+b^2$.

Числитель: $6 + 9i + 6 - 9i = 12$

Знаменатель: $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$

Результат:

$\frac{12}{13}$

Ответ: $\frac{12}{13}$

8) $\frac{2 - 3i}{2 + i} + \frac{2 + 3i}{2 - i}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(2 + i)(2 - i)$:

$\frac{(2 - 3i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} + \frac{(2 + 3i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{(2 - 3i)(2 - i) + (2 + 3i)(2 + i)}{(2 + i)(2 - i)}$

Вычислим знаменатель:

$(2 + i)(2 - i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 5$

Вычислим числитель. Сначала первое произведение:

$(2 - 3i)(2 - i) = 4 - 2i - 6i + 3i^2 = 4 - 8i - 3 = 1 - 8i$

Теперь второе произведение:

$(2 + 3i)(2 + i) = 4 + 2i + 6i + 3i^2 = 4 + 8i - 3 = 1 + 8i$

Сложим результаты для числителя:

$(1 - 8i) + (1 + 8i) = 1 + 1 - 8i + 8i = 2$

Итоговый результат:

$\frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$

732. Вычислить:

1) $(2 - i)^3;$

2) $\left(\frac{1 + i}{1 - i}\right)^4;$

3) $(2 + 3i)^2 - (2 - 3i)^2;$

4) $(3 + 4i)^2 + (3 - 4i)^2.$

1) Для вычисления $(2 - i)^3$ воспользуемся формулой куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Пусть $a = 2$ и $b = i$. Тогда:

$(2 - i)^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot i + 3 \cdot 2 \cdot i^2 - i^3$

Зная, что $i^2 = -1$ и $i^3 = i^2 \cdot i = -i$, подставим эти значения в выражение:

$(2 - i)^3 = 8 - 3 \cdot 4 \cdot i + 6 \cdot (-1) - (-i) = 8 - 12i - 6 + i$

Сгруппируем действительную и мнимую части:

$(8 - 6) + (-12i + i) = 2 - 11i$

Ответ: $2 - 11i$

2) Сначала упростим выражение в скобках $\frac{1+i}{1-i}$, умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное к знаменателю, то есть на $1+i$.

$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{(1+i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2}{1 - (-1)} = \frac{1 + 2i - 1}{2} = \frac{2i}{2} = i$

Теперь необходимо возвести полученный результат в четвертую степень:

$i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$

Таким образом, $(\frac{1+i}{1-i})^4 = 1$.

Ответ: $1$

3) Данное выражение представляет собой разность квадратов $a^2 - b^2$, которую можно разложить по формуле $(a-b)(a+b)$.

Пусть $a = 2 + 3i$ и $b = 2 - 3i$.

Найдем $a-b$ и $a+b$:

$a - b = (2 + 3i) - (2 - 3i) = 2 + 3i - 2 + 3i = 6i$

$a + b = (2 + 3i) + (2 - 3i) = 2 + 3i + 2 - 3i = 4$

Теперь перемножим полученные результаты:

$(a-b)(a+b) = (6i) \cdot 4 = 24i$

Ответ: $24i$

4) Для вычисления этого выражения можно сначала раскрыть квадраты, а затем сложить результаты. Или можно воспользоваться тождеством $(a+b)^2+(a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$.

Пусть $a = 3$ и $b = 4i$.

$(3+4i)^2 + (3-4i)^2 = 2(3^2 + (4i)^2) = 2(9 + 16i^2)$

Так как $i^2 = -1$, получаем:

$2(9 + 16(-1)) = 2(9-16) = 2(-7) = -14$

Альтернативный способ: раскрыть каждый квадрат.

$(3+4i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4i + (4i)^2 = 9 + 24i + 16i^2 = 9 + 24i - 16 = -7 + 24i$

$(3-4i)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4i + (4i)^2 = 9 - 24i + 16i^2 = 9 - 24i - 16 = -7 - 24i$

Складываем результаты:

$(-7 + 24i) + (-7 - 24i) = -7 - 7 + 24i - 24i = -14$

Ответ: $-14$

733. На комплексной плоскости построить точки:

1) $5$;

2) $2i$;

3) $-3i$;

4) $3 + 2i$;

5) $-2 + i$;

6) $-1 + i$.

Для построения точек, соответствующих комплексным числам, используется комплексная плоскость. На этой плоскости горизонтальная ось (ось абсцисс) является действительной осью (Re), а вертикальная ось (ось ординат) — мнимой осью (Im). Каждому комплексному числу вида $z = x + iy$ соответствует точка с координатами $(x, y)$ на этой плоскости, где $x$ — действительная часть числа ($Re(z)$), а $y$ — мнимая часть ($Im(z)$).

1) 5
Комплексное число $z = 5$ можно представить в стандартной алгебраической форме как $z = 5 + 0i$.Действительная часть числа: $Re(z) = 5$.Мнимая часть числа: $Im(z) = 0$.Следовательно, на комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(5, 0)$. Эта точка лежит на действительной оси.
Ответ: Точка с координатами $(5, 0)$.

2) 2i
Комплексное число $z = 2i$ можно представить в стандартной алгебраической форме как $z = 0 + 2i$.Действительная часть числа: $Re(z) = 0$.Мнимая часть числа: $Im(z) = 2$.Следовательно, на комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(0, 2)$. Эта точка лежит на мнимой оси.
Ответ: Точка с координатами $(0, 2)$.

3) -3i
Комплексное число $z = -3i$ можно представить в стандартной алгебраической форме как $z = 0 - 3i$.Действительная часть числа: $Re(z) = 0$.Мнимая часть числа: $Im(z) = -3$.Следовательно, на комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(0, -3)$. Эта точка лежит на мнимой оси.
Ответ: Точка с координатами $(0, -3)$.

4) 3 + 2i
Для комплексного числа $z = 3 + 2i$:Действительная часть числа: $Re(z) = 3$.Мнимая часть числа: $Im(z) = 2$.Следовательно, на комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(3, 2)$.
Ответ: Точка с координатами $(3, 2)$.

5) -2 + i
Для комплексного числа $z = -2 + i$, которое можно записать как $z = -2 + 1i$:Действительная часть числа: $Re(z) = -2$.Мнимая часть числа: $Im(z) = 1$.Следовательно, на комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(-2, 1)$.
Ответ: Точка с координатами $(-2, 1)$.

6) -1 + i
Для комплексного числа $z = -1 + i$, которое можно записать как $z = -1 + 1i$:Действительная часть числа: $Re(z) = -1$.Мнимая часть числа: $Im(z) = 1$.Следовательно, на комплексной плоскости этому числу соответствует точка с координатами $(-1, 1)$.
Ответ: Точка с координатами $(-1, 1)$.

Графическое представление точек на комплексной плоскости:

734. Доказать равенство

$ \left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} $, $z_2 \neq 0$.

Для доказательства данного равенства представим комплексные числа $z_1$ и $z_2$ в тригонометрической форме. Это удобный способ для выполнения операций умножения и деления.

Пусть $z_1 = r_1(\cos \phi_1 + i \sin \phi_1)$ и $z_2 = r_2(\cos \phi_2 + i \sin \phi_2)$.

Здесь $r_1 = |z_1|$ и $r_2 = |z_2|$ — это модули комплексных чисел, а $\phi_1$ и $\phi_2$ — их аргументы. Согласно определению модуля, $r_1 \ge 0$ и $r_2 \ge 0$. Условие $z_2 \neq 0$ гарантирует, что модуль $r_2 = |z_2|$ строго больше нуля ($r_2 > 0$), поэтому деление на него возможно.

Найдем частное $\frac{z_1}{z_2}$, используя формулу деления комплексных чисел в тригонометрической форме:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1(\cos \phi_1 + i \sin \phi_1)}{r_2(\cos \phi_2 + i \sin \phi_2)} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\phi_1 - \phi_2) + i \sin(\phi_1 - \phi_2))$

Результатом деления является новое комплексное число, также представленное в тригонометрической форме. По определению, модуль комплексного числа вида $r(\cos \phi + i \sin \phi)$ равен $r$.

Следовательно, модуль левой части доказываемого равенства равен:

$|\frac{z_1}{z_2}| = |\frac{r_1}{r_2}(\cos(\phi_1 - \phi_2) + i \sin(\phi_1 - \phi_2))| = \frac{r_1}{r_2}$

Теперь рассмотрим правую часть равенства. Она представляет собой отношение модулей $|z_1|$ и $|z_2|$. Как мы определили ранее, $|z_1| = r_1$ и $|z_2| = r_2$.

Таким образом, правая часть равна:

$\frac{|z_1|}{|z_2|} = \frac{r_1}{r_2}$

Сравнивая результаты для левой и правой частей, мы видим, что они равны:

$\frac{r_1}{r_2} = \frac{r_1}{r_2}$

Это доказывает исходное равенство $|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2}|$.

Ответ: Равенство $|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2}|$ доказано путем представления комплексных чисел в тригонометрической форме, выполнения операции деления и нахождения модуля результата, который оказался равен отношению модулей исходных чисел.

735. Доказать, что для любых комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ справедливо равенство $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$.

Рис. 139

Рис. 140

Рис. 141

Рис. 142

735.Пусть $z_1$ и $z_2$ — два произвольных комплексных числа. Представим их в алгебраической форме:
$z_1 = a_1 + i b_1$
$z_2 = a_2 + i b_2$
где $a_1, b_1, a_2, b_2$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица.

Найдем сумму $z_1 + z_2$:
$z_1 + z_2 = (a_1 + i b_1) + (a_2 + i b_2) = (a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2)$.

Теперь найдем комплексно-сопряженное число для этой суммы. Сопряженным к комплексному числу $a+ib$ является число $a-ib$:
$\overline{z_1 + z_2} = \overline{(a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2)} = (a_1 + a_2) - i(b_1 + b_2)$.

Далее найдем сопряженные числа для $z_1$ и $z_2$ по отдельности:
$\overline{z_1} = a_1 - i b_1$
$\overline{z_2} = a_2 - i b_2$

Найдем сумму этих сопряженных чисел:
$\overline{z_1} + \overline{z_2} = (a_1 - i b_1) + (a_2 - i b_2) = (a_1 + a_2) - i(b_1 + b_2)$.

Сравнивая полученные выражения для $\overline{z_1 + z_2}$ и $\overline{z_1} + \overline{z_2}$, мы видим, что они равны.
Таким образом, равенство $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$ справедливо для любых комплексных чисел, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

Рис. 139.Задача состоит в том, чтобы найти диаметр $x$ круга, вписанного в V-образный паз. Ширина паза вверху равна $a$, а угол, который образуют стенки паза с горизонталью, равен $60^\circ$.
Геометрически V-образный паз вместе с верхним отрезком шириной $a$ образует треугольник. Поскольку боковые стороны наклонены к горизонтальному основанию под углом $60^\circ$, все углы этого треугольника равны $60^\circ$. Следовательно, это равносторонний треугольник со стороной $a$.
Круг с диаметром $x$ вписан в этот равносторонний треугольник. Радиус круга равен $r = x/2$.
Высоту $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти с помощью тригонометрии:
$h = a \cdot \sin(60^\circ) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности составляет одну треть его высоты:
$r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot a \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Диаметр $x$ равен удвоенному радиусу:
$x = 2r = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $x = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Рис. 140.Требуется найти угол $\alpha$ конического острия. Диаметр основания равен 4.5 см, а длина конической части обозначена как $a$. Значение $a$ в условии не приведено. Судя по пропорциям чертежа, можно предположить, что длина конической части $a$ равна радиусу основания.
Радиус основания $r = \frac{4.5 \text{ см}}{2} = 2.25$ см.
Примем $a = r = 2.25$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный осью конуса, его радиусом и образующей. Угол при вершине в этом треугольнике равен $\alpha/2$.
Катеты этого треугольника:
- Противолежащий катет (радиус): $r = 2.25$ см.
- Прилежащий катет (длина $a$): $a = 2.25$ см.
Используем функцию тангенса:
$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{r}{a} = \frac{2.25}{2.25} = 1$.
Отсюда находим угол $\alpha/2$:
$\frac{\alpha}{2} = \arctan(1) = 45^\circ$.
Следовательно, полный угол $\alpha$ равен:
$\alpha = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.
Ответ: $\alpha = 90^\circ$.

Рис. 141.Необходимо найти ширину выемки $l$ по верху. Глубина выемки составляет 120 м, а угол наклона откоса к вертикали равен $54^\circ$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, где:
- Один катет — это глубина выемки, $h = 120$ м.
- Второй катет — искомая ширина, $l$.
- Угол между гипотенузой (откосом) и катетом $h$ (вертикалью) равен $54^\circ$.
В данном прямоугольном треугольнике катет $h$ является прилежащим к углу $54^\circ$, а катет $l$ — противолежащим.
Воспользуемся определением тангенса:
$\tan(54^\circ) = \frac{l}{h} = \frac{l}{120}$.
Отсюда выразим $l$:
$l = 120 \cdot \tan(54^\circ)$.
Вычислим значение: $\tan(54^\circ) \approx 1.3764$.
$l \approx 120 \cdot 1.3764 \approx 165.17$ м.
Округляя до одного знака после запятой, получаем:
$l \approx 165.2$ м.
Ответ: $l \approx 165.2$ м.

Рис. 142.Требуется найти ширину каньона на уровне моста (пролет моста). Обозначим эту ширину как $L$. Вертикальное расстояние от уровня моста до воды составляет $h = 130$ м.
Пролет $L$ можно представить как сумму двух отрезков, $L_1$ и $L_2$, на которые его делит вертикальная линия высоты $h$. Таким образом, $L = L_1 + L_2$.
Мы имеем два прямоугольных треугольника.
Для левого треугольника:
- Вертикальный катет, противолежащий углу при опоре: $h = 130$ м.
- Горизонтальный катет, прилежащий к углу при опоре: $L_1$.
- Угол при левой опоре моста: $68^\circ$.
Из определения тангенса:
$\tan(68^\circ) = \frac{h}{L_1} = \frac{130}{L_1}$, откуда $L_1 = \frac{130}{\tan(68^\circ)}$.

Для правого треугольника:
- Вертикальный катет, противолежащий углу при опоре: $h = 130$ м.
- Горизонтальный катет, прилежащий к углу при опоре: $L_2$.
- Угол при правой опоре моста: $46^\circ$.
Из определения тангенса:
$\tan(46^\circ) = \frac{h}{L_2} = \frac{130}{L_2}$, откуда $L_2 = \frac{130}{\tan(46^\circ)}$.

Общая ширина каньона $L$ равна сумме $L_1$ и $L_2$:
$L = L_1 + L_2 = \frac{130}{\tan(68^\circ)} + \frac{130}{\tan(46^\circ)} = 130 \left( \frac{1}{\tan(68^\circ)} + \frac{1}{\tan(46^\circ)} \right)$.
Подставим числовые значения:
$\tan(68^\circ) \approx 2.4751$
$\tan(46^\circ) \approx 1.0355$
$L_1 \approx \frac{130}{2.4751} \approx 52.52$ м.
$L_2 \approx \frac{130}{1.0355} \approx 125.54$ м.
$L \approx 52.52 + 125.54 = 178.06$ м.
Округлим результат до одного знака после запятой:
$L \approx 178.1$ м.
Ответ: Ширина каньона (пролет моста) составляет примерно 178.1 м.