Номер 735, страница 320 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 735, страница 320.

Условие.

735. Доказать, что для любых комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ справедливо равенство $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$.

Рис. 139

Рис. 140

Рис. 141

Рис. 142

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

735.Пусть $z_1$ и $z_2$ — два произвольных комплексных числа. Представим их в алгебраической форме:
$z_1 = a_1 + i b_1$
$z_2 = a_2 + i b_2$
где $a_1, b_1, a_2, b_2$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица.

Найдем сумму $z_1 + z_2$:
$z_1 + z_2 = (a_1 + i b_1) + (a_2 + i b_2) = (a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2)$.

Теперь найдем комплексно-сопряженное число для этой суммы. Сопряженным к комплексному числу $a+ib$ является число $a-ib$:
$\overline{z_1 + z_2} = \overline{(a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2)} = (a_1 + a_2) - i(b_1 + b_2)$.

Далее найдем сопряженные числа для $z_1$ и $z_2$ по отдельности:
$\overline{z_1} = a_1 - i b_1$
$\overline{z_2} = a_2 - i b_2$

Найдем сумму этих сопряженных чисел:
$\overline{z_1} + \overline{z_2} = (a_1 - i b_1) + (a_2 - i b_2) = (a_1 + a_2) - i(b_1 + b_2)$.

Сравнивая полученные выражения для $\overline{z_1 + z_2}$ и $\overline{z_1} + \overline{z_2}$, мы видим, что они равны.
Таким образом, равенство $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$ справедливо для любых комплексных чисел, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

Рис. 139.Задача состоит в том, чтобы найти диаметр $x$ круга, вписанного в V-образный паз. Ширина паза вверху равна $a$, а угол, который образуют стенки паза с горизонталью, равен $60^\circ$.
Геометрически V-образный паз вместе с верхним отрезком шириной $a$ образует треугольник. Поскольку боковые стороны наклонены к горизонтальному основанию под углом $60^\circ$, все углы этого треугольника равны $60^\circ$. Следовательно, это равносторонний треугольник со стороной $a$.
Круг с диаметром $x$ вписан в этот равносторонний треугольник. Радиус круга равен $r = x/2$.
Высоту $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти с помощью тригонометрии:
$h = a \cdot \sin(60^\circ) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности составляет одну треть его высоты:
$r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot a \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Диаметр $x$ равен удвоенному радиусу:
$x = 2r = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $x = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Рис. 140.Требуется найти угол $\alpha$ конического острия. Диаметр основания равен 4.5 см, а длина конической части обозначена как $a$. Значение $a$ в условии не приведено. Судя по пропорциям чертежа, можно предположить, что длина конической части $a$ равна радиусу основания.
Радиус основания $r = \frac{4.5 \text{ см}}{2} = 2.25$ см.
Примем $a = r = 2.25$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный осью конуса, его радиусом и образующей. Угол при вершине в этом треугольнике равен $\alpha/2$.
Катеты этого треугольника:
- Противолежащий катет (радиус): $r = 2.25$ см.
- Прилежащий катет (длина $a$): $a = 2.25$ см.
Используем функцию тангенса:
$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{r}{a} = \frac{2.25}{2.25} = 1$.
Отсюда находим угол $\alpha/2$:
$\frac{\alpha}{2} = \arctan(1) = 45^\circ$.
Следовательно, полный угол $\alpha$ равен:
$\alpha = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.
Ответ: $\alpha = 90^\circ$.

Рис. 141.Необходимо найти ширину выемки $l$ по верху. Глубина выемки составляет 120 м, а угол наклона откоса к вертикали равен $54^\circ$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, где:
- Один катет — это глубина выемки, $h = 120$ м.
- Второй катет — искомая ширина, $l$.
- Угол между гипотенузой (откосом) и катетом $h$ (вертикалью) равен $54^\circ$.
В данном прямоугольном треугольнике катет $h$ является прилежащим к углу $54^\circ$, а катет $l$ — противолежащим.
Воспользуемся определением тангенса:
$\tan(54^\circ) = \frac{l}{h} = \frac{l}{120}$.
Отсюда выразим $l$:
$l = 120 \cdot \tan(54^\circ)$.
Вычислим значение: $\tan(54^\circ) \approx 1.3764$.
$l \approx 120 \cdot 1.3764 \approx 165.17$ м.
Округляя до одного знака после запятой, получаем:
$l \approx 165.2$ м.
Ответ: $l \approx 165.2$ м.

Рис. 142.Требуется найти ширину каньона на уровне моста (пролет моста). Обозначим эту ширину как $L$. Вертикальное расстояние от уровня моста до воды составляет $h = 130$ м.
Пролет $L$ можно представить как сумму двух отрезков, $L_1$ и $L_2$, на которые его делит вертикальная линия высоты $h$. Таким образом, $L = L_1 + L_2$.
Мы имеем два прямоугольных треугольника.
Для левого треугольника:
- Вертикальный катет, противолежащий углу при опоре: $h = 130$ м.
- Горизонтальный катет, прилежащий к углу при опоре: $L_1$.
- Угол при левой опоре моста: $68^\circ$.
Из определения тангенса:
$\tan(68^\circ) = \frac{h}{L_1} = \frac{130}{L_1}$, откуда $L_1 = \frac{130}{\tan(68^\circ)}$.

Для правого треугольника:
- Вертикальный катет, противолежащий углу при опоре: $h = 130$ м.
- Горизонтальный катет, прилежащий к углу при опоре: $L_2$.
- Угол при правой опоре моста: $46^\circ$.
Из определения тангенса:
$\tan(46^\circ) = \frac{h}{L_2} = \frac{130}{L_2}$, откуда $L_2 = \frac{130}{\tan(46^\circ)}$.

Общая ширина каньона $L$ равна сумме $L_1$ и $L_2$:
$L = L_1 + L_2 = \frac{130}{\tan(68^\circ)} + \frac{130}{\tan(46^\circ)} = 130 \left( \frac{1}{\tan(68^\circ)} + \frac{1}{\tan(46^\circ)} \right)$.
Подставим числовые значения:
$\tan(68^\circ) \approx 2.4751$
$\tan(46^\circ) \approx 1.0355$
$L_1 \approx \frac{130}{2.4751} \approx 52.52$ м.
$L_2 \approx \frac{130}{1.0355} \approx 125.54$ м.
$L \approx 52.52 + 125.54 = 178.06$ м.
Округлим результат до одного знака после запятой:
$L \approx 178.1$ м.
Ответ: Ширина каньона (пролет моста) составляет примерно 178.1 м.