Номер 731, страница 320 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 731, страница 320.

Условие.

731. Выполнить действия:

1) $(-3 + 2i)\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}i\right)$;

2) $(-5 + \sqrt{2}i)(-6 - 3\sqrt{2}i)$;

3) $(1 + i)(-1 + 2i) + 1 - 3i$;

4) $(3 - 2i)(4 + i) + 10i$;

5) $\frac{(3 - i)(1 + 3i)}{2 - i}$;

6) $\frac{2 - 3i}{(1 - i)(3 + i)}$;

7) $\frac{3}{2 - 3i} + \frac{3}{2 + 3i}$;

8) $\frac{2 - 3i}{2 + i} + \frac{2 + 3i}{2 - i}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $(-3 + 2i)(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}i)$

Для умножения двух комплексных чисел используем правило раскрытия скобок (дистрибутивный закон), как при умножении двучленов. Учитываем, что $i^2 = -1$.

$(-3 + 2i)(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}i) = -3 \cdot \frac{1}{3} + (-3) \cdot (-\frac{1}{2}i) + 2i \cdot \frac{1}{3} + 2i \cdot (-\frac{1}{2}i)$

Выполним умножение:

$= -1 + \frac{3}{2}i + \frac{2}{3}i - i^2$

Сгруппируем действительные и мнимые части и подставим значение $i^2 = -1$:

$= -1 + (\frac{3}{2} + \frac{2}{3})i - (-1) = -1 + 1 + (\frac{9+4}{6})i = 0 + \frac{13}{6}i = \frac{13}{6}i$

Ответ: $\frac{13}{6}i$

2) $(-5 + \sqrt{2}i)(-6 - 3\sqrt{2}i)$

Раскроем скобки, перемножая каждое слагаемое первого комплексного числа на каждое слагаемое второго:

$(-5 + \sqrt{2}i)(-6 - 3\sqrt{2}i) = (-5)(-6) + (-5)(-3\sqrt{2}i) + (\sqrt{2}i)(-6) + (\sqrt{2}i)(-3\sqrt{2}i)$

Выполним вычисления:

$= 30 + 15\sqrt{2}i - 6\sqrt{2}i - 3(\sqrt{2})^2i^2$

Сгруппируем действительные и мнимые части, подставим $i^2 = -1$ и $(\sqrt{2})^2 = 2$:

$= 30 + (15\sqrt{2} - 6\sqrt{2})i - 3 \cdot 2 \cdot (-1) = 30 + 9\sqrt{2}i + 6 = 36 + 9\sqrt{2}i$

Ответ: $36 + 9\sqrt{2}i$

3) $(1 + i)(-1 + 2i) + 1 - 3i$

Сначала выполним умножение комплексных чисел в скобках:

$(1 + i)(-1 + 2i) = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 2i + i \cdot (-1) + i \cdot 2i = -1 + 2i - i + 2i^2$

Упростим полученное выражение, заменив $i^2$ на $-1$:

$= -1 + i + 2(-1) = -1 + i - 2 = -3 + i$

Теперь выполним сложение с оставшимся комплексным числом:

$(-3 + i) + (1 - 3i) = (-3 + 1) + (i - 3i) = -2 - 2i$

Ответ: $-2 - 2i$

4) $(3 - 2i)(4 + i) + 10i$

Первым действием выполним умножение:

$(3 - 2i)(4 + i) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot i - 2i \cdot 4 - 2i \cdot i = 12 + 3i - 8i - 2i^2$

Упростим, используя $i^2 = -1$:

$= 12 - 5i - 2(-1) = 12 - 5i + 2 = 14 - 5i$

Теперь добавим $10i$:

$(14 - 5i) + 10i = 14 + (-5i + 10i) = 14 + 5i$

Ответ: $14 + 5i$

5) $\frac{(3-i)(1+3i)}{2-i}$

Сначала выполним умножение в числителе:

$(3 - i)(1 + 3i) = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 3i - i \cdot 1 - i \cdot 3i = 3 + 9i - i - 3i^2 = 3 + 8i - 3(-1) = 3 + 8i + 3 = 6 + 8i$

Теперь выполним деление $\frac{6 + 8i}{2 - i}$. Для этого умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $2 + i$.

$\frac{6 + 8i}{2 - i} = \frac{(6 + 8i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{6 \cdot 2 + 6 \cdot i + 8i \cdot 2 + 8i \cdot i}{2^2 - i^2} = \frac{12 + 6i + 16i + 8i^2}{4 - (-1)}$

Упростим числитель и знаменатель:

$\frac{12 + 22i + 8(-1)}{4 + 1} = \frac{12 + 22i - 8}{5} = \frac{4 + 22i}{5}$

Разделим действительную и мнимую части на 5:

$\frac{4}{5} + \frac{22}{5}i$

Ответ: $\frac{4}{5} + \frac{22}{5}i$

6) $\frac{2 - 3i}{(1-i)(3+i)}$

Сначала вычислим произведение в знаменателе:

$(1 - i)(3 + i) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot i - i \cdot 3 - i \cdot i = 3 + i - 3i - i^2 = 3 - 2i - (-1) = 4 - 2i$

Теперь нужно разделить $\frac{2 - 3i}{4 - 2i}$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $4 + 2i$.

$\frac{2 - 3i}{4 - 2i} = \frac{(2 - 3i)(4 + 2i)}{(4 - 2i)(4 + 2i)} = \frac{2 \cdot 4 + 2 \cdot 2i - 3i \cdot 4 - 3i \cdot 2i}{4^2 - (2i)^2} = \frac{8 + 4i - 12i - 6i^2}{16 - 4i^2}$

Упростим, подставив $i^2 = -1$:

$\frac{8 - 8i - 6(-1)}{16 - 4(-1)} = \frac{8 - 8i + 6}{16 + 4} = \frac{14 - 8i}{20}$

Разделим действительную и мнимую части на 20 и сократим дроби:

$\frac{14}{20} - \frac{8}{20}i = \frac{7}{10} - \frac{2}{5}i$

Ответ: $\frac{7}{10} - \frac{2}{5}i$

7) $\frac{3}{2 - 3i} + \frac{3}{2 + 3i}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю, которым будет произведение знаменателей $(2 - 3i)(2 + 3i)$.

$\frac{3(2 + 3i)}{(2 - 3i)(2 + 3i)} + \frac{3(2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)} = \frac{3(2 + 3i) + 3(2 - 3i)}{(2 - 3i)(2 + 3i)}$

Раскроем скобки в числителе и знаменателе. Знаменатель является произведением сопряженных чисел, что равно сумме квадратов действительной и мнимой частей: $(a-bi)(a+bi)=a^2+b^2$.

Числитель: $6 + 9i + 6 - 9i = 12$

Знаменатель: $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$

Результат:

$\frac{12}{13}$

Ответ: $\frac{12}{13}$

8) $\frac{2 - 3i}{2 + i} + \frac{2 + 3i}{2 - i}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(2 + i)(2 - i)$:

$\frac{(2 - 3i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} + \frac{(2 + 3i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{(2 - 3i)(2 - i) + (2 + 3i)(2 + i)}{(2 + i)(2 - i)}$

Вычислим знаменатель:

$(2 + i)(2 - i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 5$

Вычислим числитель. Сначала первое произведение:

$(2 - 3i)(2 - i) = 4 - 2i - 6i + 3i^2 = 4 - 8i - 3 = 1 - 8i$

Теперь второе произведение:

$(2 + 3i)(2 + i) = 4 + 2i + 6i + 3i^2 = 4 + 8i - 3 = 1 + 8i$

Сложим результаты для числителя:

$(1 - 8i) + (1 + 8i) = 1 + 1 - 8i + 8i = 2$

Итоговый результат:

$\frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$