Номер 731, страница 320 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 731, страница 320.
№731 (с. 320)
Условие. №731 (с. 320)
скриншот условия

731. Выполнить действия:
1) $(-3 + 2i)\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}i\right)$;
2) $(-5 + \sqrt{2}i)(-6 - 3\sqrt{2}i)$;
3) $(1 + i)(-1 + 2i) + 1 - 3i$;
4) $(3 - 2i)(4 + i) + 10i$;
5) $\frac{(3 - i)(1 + 3i)}{2 - i}$;
6) $\frac{2 - 3i}{(1 - i)(3 + i)}$;
7) $\frac{3}{2 - 3i} + \frac{3}{2 + 3i}$;
8) $\frac{2 - 3i}{2 + i} + \frac{2 + 3i}{2 - i}.$
Решение 1. №731 (с. 320)








Решение 2. №731 (с. 320)

Решение 3. №731 (с. 320)
1) $(-3 + 2i)(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}i)$
Для умножения двух комплексных чисел используем правило раскрытия скобок (дистрибутивный закон), как при умножении двучленов. Учитываем, что $i^2 = -1$.
$(-3 + 2i)(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}i) = -3 \cdot \frac{1}{3} + (-3) \cdot (-\frac{1}{2}i) + 2i \cdot \frac{1}{3} + 2i \cdot (-\frac{1}{2}i)$
Выполним умножение:
$= -1 + \frac{3}{2}i + \frac{2}{3}i - i^2$
Сгруппируем действительные и мнимые части и подставим значение $i^2 = -1$:
$= -1 + (\frac{3}{2} + \frac{2}{3})i - (-1) = -1 + 1 + (\frac{9+4}{6})i = 0 + \frac{13}{6}i = \frac{13}{6}i$
Ответ: $\frac{13}{6}i$
2) $(-5 + \sqrt{2}i)(-6 - 3\sqrt{2}i)$
Раскроем скобки, перемножая каждое слагаемое первого комплексного числа на каждое слагаемое второго:
$(-5 + \sqrt{2}i)(-6 - 3\sqrt{2}i) = (-5)(-6) + (-5)(-3\sqrt{2}i) + (\sqrt{2}i)(-6) + (\sqrt{2}i)(-3\sqrt{2}i)$
Выполним вычисления:
$= 30 + 15\sqrt{2}i - 6\sqrt{2}i - 3(\sqrt{2})^2i^2$
Сгруппируем действительные и мнимые части, подставим $i^2 = -1$ и $(\sqrt{2})^2 = 2$:
$= 30 + (15\sqrt{2} - 6\sqrt{2})i - 3 \cdot 2 \cdot (-1) = 30 + 9\sqrt{2}i + 6 = 36 + 9\sqrt{2}i$
Ответ: $36 + 9\sqrt{2}i$
3) $(1 + i)(-1 + 2i) + 1 - 3i$
Сначала выполним умножение комплексных чисел в скобках:
$(1 + i)(-1 + 2i) = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 2i + i \cdot (-1) + i \cdot 2i = -1 + 2i - i + 2i^2$
Упростим полученное выражение, заменив $i^2$ на $-1$:
$= -1 + i + 2(-1) = -1 + i - 2 = -3 + i$
Теперь выполним сложение с оставшимся комплексным числом:
$(-3 + i) + (1 - 3i) = (-3 + 1) + (i - 3i) = -2 - 2i$
Ответ: $-2 - 2i$
4) $(3 - 2i)(4 + i) + 10i$
Первым действием выполним умножение:
$(3 - 2i)(4 + i) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot i - 2i \cdot 4 - 2i \cdot i = 12 + 3i - 8i - 2i^2$
Упростим, используя $i^2 = -1$:
$= 12 - 5i - 2(-1) = 12 - 5i + 2 = 14 - 5i$
Теперь добавим $10i$:
$(14 - 5i) + 10i = 14 + (-5i + 10i) = 14 + 5i$
Ответ: $14 + 5i$
5) $\frac{(3-i)(1+3i)}{2-i}$
Сначала выполним умножение в числителе:
$(3 - i)(1 + 3i) = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 3i - i \cdot 1 - i \cdot 3i = 3 + 9i - i - 3i^2 = 3 + 8i - 3(-1) = 3 + 8i + 3 = 6 + 8i$
Теперь выполним деление $\frac{6 + 8i}{2 - i}$. Для этого умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $2 + i$.
$\frac{6 + 8i}{2 - i} = \frac{(6 + 8i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{6 \cdot 2 + 6 \cdot i + 8i \cdot 2 + 8i \cdot i}{2^2 - i^2} = \frac{12 + 6i + 16i + 8i^2}{4 - (-1)}$
Упростим числитель и знаменатель:
$\frac{12 + 22i + 8(-1)}{4 + 1} = \frac{12 + 22i - 8}{5} = \frac{4 + 22i}{5}$
Разделим действительную и мнимую части на 5:
$\frac{4}{5} + \frac{22}{5}i$
Ответ: $\frac{4}{5} + \frac{22}{5}i$
6) $\frac{2 - 3i}{(1-i)(3+i)}$
Сначала вычислим произведение в знаменателе:
$(1 - i)(3 + i) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot i - i \cdot 3 - i \cdot i = 3 + i - 3i - i^2 = 3 - 2i - (-1) = 4 - 2i$
Теперь нужно разделить $\frac{2 - 3i}{4 - 2i}$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $4 + 2i$.
$\frac{2 - 3i}{4 - 2i} = \frac{(2 - 3i)(4 + 2i)}{(4 - 2i)(4 + 2i)} = \frac{2 \cdot 4 + 2 \cdot 2i - 3i \cdot 4 - 3i \cdot 2i}{4^2 - (2i)^2} = \frac{8 + 4i - 12i - 6i^2}{16 - 4i^2}$
Упростим, подставив $i^2 = -1$:
$\frac{8 - 8i - 6(-1)}{16 - 4(-1)} = \frac{8 - 8i + 6}{16 + 4} = \frac{14 - 8i}{20}$
Разделим действительную и мнимую части на 20 и сократим дроби:
$\frac{14}{20} - \frac{8}{20}i = \frac{7}{10} - \frac{2}{5}i$
Ответ: $\frac{7}{10} - \frac{2}{5}i$
7) $\frac{3}{2 - 3i} + \frac{3}{2 + 3i}$
Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю, которым будет произведение знаменателей $(2 - 3i)(2 + 3i)$.
$\frac{3(2 + 3i)}{(2 - 3i)(2 + 3i)} + \frac{3(2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)} = \frac{3(2 + 3i) + 3(2 - 3i)}{(2 - 3i)(2 + 3i)}$
Раскроем скобки в числителе и знаменателе. Знаменатель является произведением сопряженных чисел, что равно сумме квадратов действительной и мнимой частей: $(a-bi)(a+bi)=a^2+b^2$.
Числитель: $6 + 9i + 6 - 9i = 12$
Знаменатель: $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$
Результат:
$\frac{12}{13}$
Ответ: $\frac{12}{13}$
8) $\frac{2 - 3i}{2 + i} + \frac{2 + 3i}{2 - i}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(2 + i)(2 - i)$:
$\frac{(2 - 3i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} + \frac{(2 + 3i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{(2 - 3i)(2 - i) + (2 + 3i)(2 + i)}{(2 + i)(2 - i)}$
Вычислим знаменатель:
$(2 + i)(2 - i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 5$
Вычислим числитель. Сначала первое произведение:
$(2 - 3i)(2 - i) = 4 - 2i - 6i + 3i^2 = 4 - 8i - 3 = 1 - 8i$
Теперь второе произведение:
$(2 + 3i)(2 + i) = 4 + 2i + 6i + 3i^2 = 4 + 8i - 3 = 1 + 8i$
Сложим результаты для числителя:
$(1 - 8i) + (1 + 8i) = 1 + 1 - 8i + 8i = 2$
Итоговый результат:
$\frac{2}{5}$
Ответ: $\frac{2}{5}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 731 расположенного на странице 320 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №731 (с. 320), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.