Номер 728, страница 320 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 728, страница 320.

Условие.

728. Пусть $a$ — рациональное число, $b$ — иррациональное число, $a \neq 0, b \neq 0$. Доказать, что $a+b, a \cdot b, \frac{a}{b}, \frac{b}{a}$ — иррациональные числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, $a$ — рациональное число ($a \in \mathbb{Q}$), $b$ — иррациональное число ($b \in \mathbb{I}$), причём $a \neq 0$ и $b \neq 0$. Для доказательства иррациональности каждого из выражений будем использовать метод от противного.

$a+b$

Предположим, что сумма $a+b$ является рациональным числом. Обозначим эту сумму как $c$, то есть $a+b=c$, где $c \in \mathbb{Q}$.

Выразим из этого равенства $b$: $b = c-a$.

Поскольку $c$ — рациональное число (по нашему предположению) и $a$ — рациональное число (по условию), то их разность $c-a$ также является рациональным числом, так как множество рациональных чисел замкнуто относительно операции вычитания.

Таким образом, мы получаем, что $b$ — рациональное число. Это противоречит исходному условию, что $b$ — иррациональное число.

Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и число $a+b$ иррационально.

Ответ: число $a+b$ является иррациональным.

$a \cdot b$

Предположим, что произведение $a \cdot b$ является рациональным числом. Обозначим это произведение как $d$, то есть $a \cdot b=d$, где $d \in \mathbb{Q}$.

Поскольку по условию $a \neq 0$, мы можем выразить $b$, разделив обе части равенства на $a$: $b = \frac{d}{a}$.

Так как $d$ — рациональное число (по нашему предположению) и $a$ — ненулевое рациональное число (по условию), их частное $\frac{d}{a}$ также является рациональным числом, так как множество рациональных чисел замкнуто относительно операции деления на ненулевое число.

Следовательно, мы получаем, что $b$ — рациональное число, что противоречит условию задачи.

Значит, наше предположение было неверным, и число $a \cdot b$ является иррациональным.

Ответ: число $a \cdot b$ является иррациональным.

$\frac{a}{b}$

Предположим, что частное $\frac{a}{b}$ является рациональным числом. Обозначим его как $e$, то есть $\frac{a}{b}=e$, где $e \in \mathbb{Q}$.

Поскольку по условию $a \neq 0$ и $b \neq 0$, то и $e \neq 0$. Выразим из этого равенства $b$: $b = \frac{a}{e}$.

Так как $a$ — рациональное число (по условию), а $e$ — ненулевое рациональное число (по нашему предположению), их частное $\frac{a}{e}$ является рациональным числом.

Мы снова приходим к выводу, что $b$ — рациональное число, что противоречит условию задачи.

Таким образом, наше предположение неверно, и число $\frac{a}{b}$ является иррациональным.

Ответ: число $\frac{a}{b}$ является иррациональным.

$\frac{b}{a}$

Предположим, что частное $\frac{b}{a}$ является рациональным числом. Обозначим его как $f$, то есть $\frac{b}{a}=f$, где $f \in \mathbb{Q}$.

Выразим из этого равенства $b$: $b = f \cdot a$.

Поскольку $f$ — рациональное число (по нашему предположению) и $a$ — рациональное число (по условию), их произведение $f \cdot a$ также является рациональным числом, так как множество рациональных чисел замкнуто относительно операции умножения.

Это означает, что $b$ — рациональное число, что противоречит условию задачи.

Следовательно, наше предположение неверно, и число $\frac{b}{a}$ является иррациональным.

Ответ: число $\frac{b}{a}$ является иррациональным.