Номер 730, страница 320 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 730, страница 320.

Условие.

730. Пусть $0 < a < b$. Доказать, что на числовой оси:

1) точка $\frac{a+b}{2}$ — середина отрезка $[a; b];$

2) точка $\frac{a+bc}{1+c}$, где $c > 0$, лежит внутри отрезка $[a; b].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) точка $\frac{a+b}{2}$ — середина отрезка $[a; b]$

Чтобы доказать, что точка $M = \frac{a+b}{2}$ является серединой отрезка $[a; b]$, необходимо показать, что она равноудалена от его концов, то есть что расстояние от точки $M$ до точки $a$ равно расстоянию от точки $M$ до точки $b$.

Расстояние между двумя точками $x_1$ и $x_2$ на числовой оси равно $|x_2 - x_1|$.

Найдем расстояние от $M$ до $a$:

$|M - a| = |\frac{a+b}{2} - a| = |\frac{a+b-2a}{2}| = |\frac{b-a}{2}|$.

По условию задачи $a < b$, следовательно, $b-a > 0$. Таким образом, $|\frac{b-a}{2}| = \frac{b-a}{2}$.

Теперь найдем расстояние от $M$ до $b$:

$|b - M| = |b - \frac{a+b}{2}| = |\frac{2b-(a+b)}{2}| = |\frac{2b-a-b}{2}| = |\frac{b-a}{2}|$.

Так как $b-a > 0$, то $|\frac{b-a}{2}| = \frac{b-a}{2}$.

Мы получили, что расстояния от точки $M$ до концов отрезка равны: $|M-a| = |b-M| = \frac{b-a}{2}$. Это означает, что точка $M = \frac{a+b}{2}$ является серединой отрезка $[a; b]$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) точка $\frac{a+bc}{1+c}$, где $c > 0$, лежит внутри отрезка $[a; b]$

Чтобы доказать, что точка $x = \frac{a+bc}{1+c}$ лежит внутри отрезка $[a; b]$, нужно показать, что она удовлетворяет строгим неравенствам $a < x < b$.

Докажем неравенство $a < x$:

$a < \frac{a+bc}{1+c}$

Поскольку по условию $c > 0$, то $1+c > 1$, а значит, знаменатель $1+c$ положителен. Можем умножить обе части неравенства на $1+c$, сохранив знак неравенства:

$a(1+c) < a+bc$

$a + ac < a + bc$

Вычтем $a$ из обеих частей:

$ac < bc$

Так как $c > 0$, разделим обе части на $c$, сохранив знак неравенства:

$a < b$

Это неравенство истинно по условию задачи. Следовательно, и первое неравенство $a < x$ верно.

Докажем неравенство $x < b$:

$\frac{a+bc}{1+c} < b$

Снова умножим обе части на положительное число $1+c$:

$a+bc < b(1+c)$

$a+bc < b+bc$

Вычтем $bc$ из обеих частей:

$a < b$

Это неравенство также истинно по условию. Следовательно, и второе неравенство $x < b$ верно.

Так как мы доказали оба неравенства $a < x$ и $x < b$, то точка $x = \frac{a+bc}{1+c}$ действительно лежит внутри отрезка $[a; b]$.

Ответ: Что и требовалось доказать.