Номер 726, страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 726, страница 319.

Условие.

726. Может ли быть рациональным числом:

1) сумма двух положительных иррациональных чисел;

2) произведение двух иррациональных чисел;

3) частное от деления суммы двух неравных иррациональных положительных чисел на их произведение?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) сумма двух положительных иррациональных чисел;
Да, может. Для доказательства достаточно привести пример.
Рассмотрим два положительных иррациональных числа: $a = 3 + \sqrt{5}$ и $b = 3 - \sqrt{5}$.
Число $a$ является положительным и иррациональным.
Число $b$ также является иррациональным. Если предположить, что $b$ — рациональное, то разность рационального числа 3 и рационального числа $b$ также была бы рациональной, но $3 - b = 3 - (3 - \sqrt{5}) = \sqrt{5}$, что является иррациональным числом. Пришли к противоречию.
Число $b$ является положительным, так как $3 = \sqrt{9}$, а $\sqrt{9} > \sqrt{5}$, следовательно $3 - \sqrt{5} > 0$.
Теперь найдем их сумму:
$a + b = (3 + \sqrt{5}) + (3 - \sqrt{5}) = 3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} = 6$.
Сумма этих двух положительных иррациональных чисел равна 6, что является рациональным числом.
Ответ: да, может.

2) произведение двух иррациональных чисел;
Да, может. Приведем пример.
Рассмотрим два иррациональных числа: $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{8}$.
Число $\sqrt{8}$ можно записать как $2\sqrt{2}$, оно иррационально.
Найдем их произведение:
$a \cdot b = \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$.
Результат, 4, является рациональным числом. Другой простой пример: $a = \sqrt{3}$ и $b = \sqrt{3}$, их произведение $a \cdot b = 3$.
Ответ: да, может.

3) частное от деления суммы двух неравных иррациональных положительных чисел на их произведение?
Да, может.
Пусть $a$ и $b$ — два неравных положительных иррациональных числа ($a \neq b, a>0, b>0, a, b \notin \mathbb{Q}$).
Рассмотрим выражение для частного и преобразуем его:
$\frac{a+b}{ab} = \frac{a}{ab} + \frac{b}{ab} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$.
Таким образом, задача сводится к вопросу: может ли сумма чисел, обратных двум неравным положительным иррациональным числам, быть рациональной?
Если число $a$ иррационально и положительно, то и обратное ему число $\frac{1}{a}$ также будет иррациональным и положительным. То же самое верно и для числа $b$ и $\frac{1}{b}$.
Следовательно, нам нужно найти два неравных положительных иррациональных числа, сумма которых будет рациональным числом.
Возьмем в качестве таких чисел $x = \frac{1}{a}$ и $y = \frac{1}{b}$.
Пусть $x = 2 + \sqrt{2}$ и $y = 2 - \sqrt{2}$.
Оба числа, $x$ и $y$, являются положительными ($2 = \sqrt{4} > \sqrt{2}$), иррациональными и не равны друг другу.
Их сумма $x+y = (2 + \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2}) = 4$, что является рациональным числом.
Теперь найдем исходные числа $a$ и $b$:
$a = \frac{1}{x} = \frac{1}{2+\sqrt{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{2-\sqrt{2}}{4-2} = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$.
$b = \frac{1}{y} = \frac{1}{2-\sqrt{2}} = \frac{2+\sqrt{2}}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{2+\sqrt{2}}{4-2} = \frac{2+\sqrt{2}}{2}$.
Числа $a$ и $b$ являются положительными, иррациональными и неравными.
Проверим для них исходное выражение:
$\frac{a+b}{ab} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = x + y = (2 + \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2}) = 4$.
Результат, 4, является рациональным числом.
Ответ: да, может.