Номер 721, страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 721, страница 319.

Условие.

$\sqrt{6}-\sqrt{3}$ $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ $\sqrt{6}-\sqrt{2}$

721.1)

$\sqrt{a^4(9a^2 - 6a + 1)};$

2) $\sqrt{b^2(4b^4 + 4b^2 + 1)}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для того чтобы упростить выражение $\sqrt{a^4(9a^2 - 6a + 1)}$, преобразуем подкоренное выражение.
Выражение в скобках $9a^2 - 6a + 1$ является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В нашем случае $x = 3a$ и $y = 1$. Тогда:
$9a^2 - 6a + 1 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2 = (3a - 1)^2$.
Множитель $a^4$ также является полным квадратом: $a^4 = (a^2)^2$.
Теперь подставим преобразованные выражения обратно под корень:
$\sqrt{a^4(9a^2 - 6a + 1)} = \sqrt{(a^2)^2(3a - 1)^2}$.
Используя свойство корня $\sqrt{x^2y^2} = \sqrt{(xy)^2}$, получаем:
$\sqrt{(a^2)^2(3a - 1)^2} = \sqrt{[a^2(3a-1)]^2}$.
По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{z^2} = |z|$. Применим это свойство:
$\sqrt{[a^2(3a-1)]^2} = |a^2(3a-1)|$.
Поскольку $a^2$ всегда является неотрицательным числом ($a^2 \ge 0$), его можно вынести из-под знака модуля:
$|a^2(3a-1)| = a^2|3a-1|$.
Выражение $|3a-1|$ можно раскрыть в зависимости от значения $a$:
$|3a-1| = 3a-1$, если $a \ge 1/3$.
$|3a-1| = -(3a-1) = 1-3a$, если $a < 1/3$.
Таким образом, окончательное упрощенное выражение имеет вид $a^2|3a-1|$.
Ответ: $a^2|3a-1|$.

2) Рассмотрим выражение $\sqrt{b^2(4b^4 + 4b^2 + 1)}$ и преобразуем подкоренное выражение.
Выражение в скобках $4b^4 + 4b^2 + 1$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В данном случае $x = 2b^2$ и $y = 1$. Тогда:
$4b^4 + 4b^2 + 1 = (2b^2)^2 + 2 \cdot 2b^2 \cdot 1 + 1^2 = (2b^2 + 1)^2$.
Подставим полученное выражение обратно под корень:
$\sqrt{b^2(4b^4 + 4b^2 + 1)} = \sqrt{b^2(2b^2 + 1)^2}$.
Используя свойство $\sqrt{x^2y^2} = \sqrt{(xy)^2}$, получаем:
$\sqrt{b^2(2b^2 + 1)^2} = \sqrt{[b(2b^2+1)]^2}$.
Применим свойство $\sqrt{z^2} = |z|$:
$\sqrt{[b(2b^2+1)]^2} = |b(2b^2+1)|$.
Рассмотрим выражение внутри модуля. Так как $b^2 \ge 0$, то $2b^2 \ge 0$, и следовательно, $2b^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что выражение $2b^2+1$ всегда положительно. Поэтому его можно вынести за знак модуля, не меняя знака:
$|b(2b^2+1)| = |b|(2b^2+1)$.
Знак переменной $b$ неизвестен, поэтому модуль $|b|$ остается.
Ответ: $|b|(2b^2+1)$.