Номер 716, страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 716, страница 319.

Условие.

716. Какое из чисел больше:

1) $\sqrt{18}$ или $4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}}$;

2) $\sqrt[3]{18}$ или $\left(\frac{1}{6}\right)^{\log_6 2 - \frac{1}{2}\log_{\sqrt{6}} 5}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Сравним числа $\sqrt{18}$ и $4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}}$.

Для начала упростим второе число. Преобразуем показатель степени, приведя логарифмы к одному основанию 4. Для этого воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.

$\log_2 3 = \frac{\log_4 3}{\log_4 2}$.

Так как $4^{1/2} = 2$, то $\log_4 2 = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\log_2 3 = \frac{\log_4 3}{1/2} = 2\log_4 3$.

Используя свойство логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$, получаем $2\log_4 3 = \log_4 3^2 = \log_4 9$.

Теперь показатель степени можно записать как сумму логарифмов с одинаковым основанием:

$\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11} = \log_4 9 + \log_4 \frac{5}{11}$.

По свойству суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$, имеем:

$\log_4 9 + \log_4 \frac{5}{11} = \log_4 (9 \cdot \frac{5}{11}) = \log_4 \frac{45}{11}$.

Подставим полученное значение в исходное выражение для второго числа и воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$:

$4^{\log_4 \frac{45}{11}} = \frac{45}{11}$.

Теперь задача сводится к сравнению чисел $\sqrt{18}$ и $\frac{45}{11}$.

Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты. Знак неравенства при этом сохранится.

$(\sqrt{18})^2 = 18$.

$(\frac{45}{11})^2 = \frac{45^2}{11^2} = \frac{2025}{121}$.

Сравним $18$ и $\frac{2025}{121}$. Для этого представим $18$ в виде дроби со знаменателем $121$:

$18 = \frac{18 \cdot 121}{121} = \frac{2178}{121}$.

Поскольку $2178 > 2025$, то $\frac{2178}{121} > \frac{2025}{121}$, а это означает, что $18 > (\frac{45}{11})^2$.

Следовательно, $\sqrt{18} > \frac{45}{11}$.

Ответ: $\sqrt{18}$ больше, чем $4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}}$.

2) Сравним числа $\sqrt[3]{18}$ и $(\frac{1}{6})^{\log_6 2 - \frac{1}{2}\log_{\sqrt{6}} 5}$.

Упростим второе число. Сначала преобразуем его основание и показатель степени.

Основание степени равно $\frac{1}{6} = 6^{-1}$.

Показатель степени $E = \log_6 2 - \frac{1}{2}\log_{\sqrt{6}} 5$. Приведем логарифмы к общему основанию 6. Для этого преобразуем второе слагаемое в показателе, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:

$\log_{\sqrt{6}} 5 = \log_{6^{1/2}} 5 = \frac{1}{1/2}\log_6 5 = 2\log_6 5$.

Подставим полученное выражение обратно в показатель степени:

$E = \log_6 2 - \frac{1}{2}(2\log_6 5) = \log_6 2 - \log_6 5$.

Используя свойство разности логарифмов $\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$, получим:

$E = \log_6 (\frac{2}{5})$.

Теперь преобразуем второе число целиком:

$(\frac{1}{6})^{\log_6 (\frac{2}{5})} = (6^{-1})^{\log_6 (\frac{2}{5})} = 6^{-1 \cdot \log_6 (\frac{2}{5})} = 6^{-\log_6 (\frac{2}{5})}$.

Используя свойство $-n \log_a b = \log_a b^{-n}$, получаем:

$6^{\log_6 ((\frac{2}{5})^{-1})} = 6^{\log_6 (\frac{5}{2})}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем:

$6^{\log_6 (\frac{5}{2})} = \frac{5}{2}$.

Теперь необходимо сравнить $\sqrt[3]{18}$ и $\frac{5}{2}$.

Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их кубы:

$(\sqrt[3]{18})^3 = 18$.

$(\frac{5}{2})^3 = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8} = 15.625$.

Так как $18 > 15.625$, то $(\sqrt[3]{18})^3 > (\frac{5}{2})^3$.

Следовательно, $\sqrt[3]{18} > \frac{5}{2}$.

Ответ: $\sqrt[3]{18}$ больше, чем $(\frac{1}{6})^{\log_6 2 - \frac{1}{2}\log_{\sqrt{6}} 5}$.