Номер 716, страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 716, страница 319.
№716 (с. 319)
Условие. №716 (с. 319)
скриншот условия

716. Какое из чисел больше:
1) $\sqrt{18}$ или $4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}}$;
2) $\sqrt[3]{18}$ или $\left(\frac{1}{6}\right)^{\log_6 2 - \frac{1}{2}\log_{\sqrt{6}} 5}$?
Решение 1. №716 (с. 319)


Решение 2. №716 (с. 319)

Решение 3. №716 (с. 319)
1) Сравним числа $\sqrt{18}$ и $4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}}$.
Для начала упростим второе число. Преобразуем показатель степени, приведя логарифмы к одному основанию 4. Для этого воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.
$\log_2 3 = \frac{\log_4 3}{\log_4 2}$.
Так как $4^{1/2} = 2$, то $\log_4 2 = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $\log_2 3 = \frac{\log_4 3}{1/2} = 2\log_4 3$.
Используя свойство логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$, получаем $2\log_4 3 = \log_4 3^2 = \log_4 9$.
Теперь показатель степени можно записать как сумму логарифмов с одинаковым основанием:
$\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11} = \log_4 9 + \log_4 \frac{5}{11}$.
По свойству суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$, имеем:
$\log_4 9 + \log_4 \frac{5}{11} = \log_4 (9 \cdot \frac{5}{11}) = \log_4 \frac{45}{11}$.
Подставим полученное значение в исходное выражение для второго числа и воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$:
$4^{\log_4 \frac{45}{11}} = \frac{45}{11}$.
Теперь задача сводится к сравнению чисел $\sqrt{18}$ и $\frac{45}{11}$.
Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты. Знак неравенства при этом сохранится.
$(\sqrt{18})^2 = 18$.
$(\frac{45}{11})^2 = \frac{45^2}{11^2} = \frac{2025}{121}$.
Сравним $18$ и $\frac{2025}{121}$. Для этого представим $18$ в виде дроби со знаменателем $121$:
$18 = \frac{18 \cdot 121}{121} = \frac{2178}{121}$.
Поскольку $2178 > 2025$, то $\frac{2178}{121} > \frac{2025}{121}$, а это означает, что $18 > (\frac{45}{11})^2$.
Следовательно, $\sqrt{18} > \frac{45}{11}$.
Ответ: $\sqrt{18}$ больше, чем $4^{\log_2 3 + \log_4 \frac{5}{11}}$.
2) Сравним числа $\sqrt[3]{18}$ и $(\frac{1}{6})^{\log_6 2 - \frac{1}{2}\log_{\sqrt{6}} 5}$.
Упростим второе число. Сначала преобразуем его основание и показатель степени.
Основание степени равно $\frac{1}{6} = 6^{-1}$.
Показатель степени $E = \log_6 2 - \frac{1}{2}\log_{\sqrt{6}} 5$. Приведем логарифмы к общему основанию 6. Для этого преобразуем второе слагаемое в показателе, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:
$\log_{\sqrt{6}} 5 = \log_{6^{1/2}} 5 = \frac{1}{1/2}\log_6 5 = 2\log_6 5$.
Подставим полученное выражение обратно в показатель степени:
$E = \log_6 2 - \frac{1}{2}(2\log_6 5) = \log_6 2 - \log_6 5$.
Используя свойство разности логарифмов $\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$, получим:
$E = \log_6 (\frac{2}{5})$.
Теперь преобразуем второе число целиком:
$(\frac{1}{6})^{\log_6 (\frac{2}{5})} = (6^{-1})^{\log_6 (\frac{2}{5})} = 6^{-1 \cdot \log_6 (\frac{2}{5})} = 6^{-\log_6 (\frac{2}{5})}$.
Используя свойство $-n \log_a b = \log_a b^{-n}$, получаем:
$6^{\log_6 ((\frac{2}{5})^{-1})} = 6^{\log_6 (\frac{5}{2})}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем:
$6^{\log_6 (\frac{5}{2})} = \frac{5}{2}$.
Теперь необходимо сравнить $\sqrt[3]{18}$ и $\frac{5}{2}$.
Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их кубы:
$(\sqrt[3]{18})^3 = 18$.
$(\frac{5}{2})^3 = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8} = 15.625$.
Так как $18 > 15.625$, то $(\sqrt[3]{18})^3 > (\frac{5}{2})^3$.
Следовательно, $\sqrt[3]{18} > \frac{5}{2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{18}$ больше, чем $(\frac{1}{6})^{\log_6 2 - \frac{1}{2}\log_{\sqrt{6}} 5}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 716 расположенного на странице 319 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №716 (с. 319), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.