Номер 709, страница 318 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

709. 1) $\log_{27} 729$;

2) $\log_9 729$;

3) $\log_{\frac{1}{3}} 729$.

1) Для вычисления $\log_{27}729$ необходимо найти степень, в которую следует возвести основание 27, чтобы получить 729. Для этого представим оба числа как степени одного и того же основания, в данном случае числа 3. Мы имеем $27 = 3^3$ и $729 = 3^6$.

Подставив эти значения в исходное выражение, получим $\log_{3^3}(3^6)$. Далее воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k}b^m = \frac{m}{k}\log_a b$. Применив его, получаем $\frac{6}{3}\log_3 3$. Так как $\log_3 3 = 1$, итоговый результат равен $2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2

2) Аналогичным образом вычислим $\log_9 729$. Представим основание 9 и число 729 как степени числа 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$ и $729 = 3^6$.

Подставим эти значения в логарифм: $\log_9 729 = \log_{3^2}(3^6)$. Используя свойство $\log_{a^k}b^m = \frac{m}{k}\log_a b$, мы получаем $\frac{6}{2}\log_3 3$. Поскольку $\log_3 3 = 1$, результат вычисления равен $3 \cdot 1 = 3$.

Ответ: 3

3) Для вычисления $\log_{\frac{1}{3}} 729$ также приведем основание и число к степеням общего основания 3. Мы имеем $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $729 = 3^6$.

Подставив в выражение, получим $\log_{3^{-1}}(3^6)$. Применяя то же свойство логарифмов $\log_{a^k}b^m = \frac{m}{k}\log_a b$, мы приходим к выражению $\frac{6}{-1}\log_3 3$. Так как $\log_3 3 = 1$, окончательный ответ будет $-6 \cdot 1 = -6$.

Ответ: -6