Номер 709, страница 318 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 709, страница 318.

Условие.

709. 1) $\log_{27} 729$;

2) $\log_9 729$;

3) $\log_{\frac{1}{3}} 729$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для вычисления `$\log_{27}729$` необходимо найти степень, в которую следует возвести основание 27, чтобы получить 729. Для этого представим оба числа как степени одного и того же основания, в данном случае числа 3. Мы имеем `$27 = 3^3$` и `$729 = 3^6$`.

Подставив эти значения в исходное выражение, получим `$\log_{3^3}(3^6)$`. Далее воспользуемся свойством логарифма `$\log_{a^k}b^m = \frac{m}{k}\log_a b$`. Применив его, получаем `$\frac{6}{3}\log_3 3$`. Так как `$\log_3 3 = 1$`, итоговый результат равен `$2 \cdot 1 = 2$`.

Ответ: 2

2) Аналогичным образом вычислим `$\log_9 729$`. Представим основание 9 и число 729 как степени числа 3. Мы знаем, что `$9 = 3^2$` и `$729 = 3^6$`.

Подставим эти значения в логарифм: `$\log_9 729 = \log_{3^2}(3^6)$`. Используя свойство `$\log_{a^k}b^m = \frac{m}{k}\log_a b$`, мы получаем `$\frac{6}{2}\log_3 3$`. Поскольку `$\log_3 3 = 1$`, результат вычисления равен `$3 \cdot 1 = 3$`.

Ответ: 3

3) Для вычисления `$\log_{\frac{1}{3}} 729$` также приведем основание и число к степеням общего основания 3. Мы имеем `$\frac{1}{3} = 3^{-1}$` и `$729 = 3^6$`.

Подставив в выражение, получим `$\log_{3^{-1}}(3^6)$`. Применяя то же свойство логарифмов `$\log_{a^k}b^m = \frac{m}{k}\log_a b$`, мы приходим к выражению `$\frac{6}{-1}\log_3 3$`. Так как `$\log_3 3 = 1$`, окончательный ответ будет `$-6 \cdot 1 = -6$`.

Ответ: -6