Номер 702, страница 318 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 702, страница 318.

Условие.

702. Доказать, что $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 120 при $n \in N$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы доказать, что выражение $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 120 при любом натуральном $n$ ($n \in N$), разложим данное выражение на множители.

Сначала вынесем общий множитель $n$ за скобки:
$n^5 - 5n^3 + 4n = n(n^4 - 5n^2 + 4)$

Выражение в скобках $n^4 - 5n^2 + 4$ является биквадратным. Сделаем замену переменной, пусть $x = n^2$. Тогда получим квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 4$. Корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ легко найти по теореме Виета: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Следовательно, $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$.

Вернемся к переменной $n$, подставив $n^2$ вместо $x$:
$n^4 - 5n^2 + 4 = (n^2 - 1)(n^2 - 4)$

Каждый из множителей в скобках можно разложить по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$n^2 - 1 = (n-1)(n+1)$
$n^2 - 4 = (n-2)(n+2)$

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде:
$n^5 - 5n^3 + 4n = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$

Расположим множители в порядке возрастания, чтобы увидеть, что это произведение пяти последовательных целых чисел:
$(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$

Теперь необходимо доказать, что это произведение делится на 120. Разложим число 120 на взаимно простые множители: $120 = 3 \times 5 \times 8$. Чтобы доказать делимость на 120, достаточно доказать, что выражение делится на 3, на 5 и на 8.

1. Делимость на 3
Среди любых трех последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3. Поскольку у нас произведение пяти последовательных чисел, среди них гарантированно есть хотя бы один множитель, кратный 3. Следовательно, все произведение делится на 3.

2. Делимость на 5
Среди любых пяти последовательных целых чисел одно обязательно делится на 5. Наше выражение является произведением пяти последовательных чисел, а значит, оно всегда делится на 5.

3. Делимость на 8
Среди пяти последовательных целых чисел есть как минимум два четных числа. Рассмотрим два случая в зависимости от четности $n$.
Случай А: $n$ — нечетное.
Тогда числа $(n-1)$ и $(n+1)$ являются двумя последовательными четными числами. Одно из них делится на 4, а второе — как минимум на 2. Их произведение $(n-1)(n+1)$ делится на $2 \times 4 = 8$.
Случай Б: $n$ — четное.
Тогда сам множитель $n$ является четным. Также четными являются числа $(n-2)$ и $(n+2)$. В этом случае у нас есть три четных множителя: $(n-2)$, $n$, $(n+2)$. Это три последовательных четных числа. Если $n=2k$ для некоторого целого $k$, то произведение этих трех множителей равно $(2k-2) \cdot 2k \cdot (2k+2) = 8(k-1)k(k+1)$, что очевидно делится на 8.
Таким образом, в любом случае произведение делится на 8.

Поскольку выражение $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ делится на 3, на 5 и на 8, а числа 3, 5, 8 взаимно просты, то оно делится и на их произведение $3 \times 5 \times 8 = 120$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 120 при $n \in N$, доказано.