Номер 700, страница 318 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 700, страница 318.
№700 (с. 318)
Условие. №700 (с. 318)
скриншот условия

700. Доказать что при любом натуральном n:
1) $6n^5 - 11n$ делится на 5;
2) $n^7 - n$ делится на 7.
Решение 1. №700 (с. 318)


Решение 2. №700 (с. 318)

Решение 3. №700 (с. 318)
1) Доказать что при любом натуральном n: $6n^5 - 11n$ делится на 5;
Для доказательства преобразуем данное выражение следующим образом:
$6n^5 - 11n = 6n^5 - 6n - 5n = 6(n^5 - n) - 5n$
Рассмотрим получившееся выражение. Оно представляет собой разность двух слагаемых: $6(n^5 - n)$ и $5n$.
Второе слагаемое, $5n$, очевидно делится на 5, так как содержит множитель 5.
Рассмотрим первое слагаемое, $6(n^5 - n)$. Для анализа выражения в скобках воспользуемся Малой теоремой Ферма. Она гласит, что если $p$ — простое число, то для любого целого числа $n$ выражение $n^p - n$ делится на $p$.
Так как 5 — простое число, то при $p=5$ выражение $n^5 - n$ делится на 5 для любого натурального $n$. Это означает, что существует такое целое число $k$, что $n^5 - n = 5k$.
Тогда первое слагаемое равно $6(n^5 - n) = 6 \cdot (5k) = 30k$. Это число также делится на 5.
Итак, мы представили исходное выражение $6n^5 - 11n$ в виде разности двух выражений, $6(n^5 - n)$ и $5n$, каждое из которых делится на 5. Разность двух чисел, делящихся на 5, также делится на 5.
Следовательно, выражение $6n^5 - 11n$ делится на 5 при любом натуральном $n$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что при любом натуральном $n$ выражение $6n^5 - 11n$ делится на 5.
2) Доказать что при любом натуральном n: $n^7 - n$ делится на 7.
Доказательство проведем методом математической индукции.
Сначала проверим базу индукции для $n=1$. При $n=1$ выражение равно $1^7 - 1 = 1 - 1 = 0$. Число 0 делится на 7, так что база индукции выполняется.
Теперь сделаем шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть $k^7 - k$ делится на 7. Это означает, что $k^7 - k = 7m$ для некоторого целого числа $m$.
Докажем, что утверждение верно и для следующего натурального числа $n=k+1$, то есть докажем, что $(k+1)^7 - (k+1)$ делится на 7. Раскроем скобки в выражении $(k+1)^7$ с помощью формулы бинома Ньютона:
$(k+1)^7 = \binom{7}{0}k^7 + \binom{7}{1}k^6 + \binom{7}{2}k^5 + \binom{7}{3}k^4 + \binom{7}{4}k^3 + \binom{7}{5}k^2 + \binom{7}{6}k^1 + \binom{7}{7}k^0$
$(k+1)^7 = k^7 + 7k^6 + 21k^5 + 35k^4 + 35k^3 + 21k^2 + 7k + 1$
Теперь подставим это в наше выражение:
$(k+1)^7 - (k+1) = (k^7 + 7k^6 + 21k^5 + 35k^4 + 35k^3 + 21k^2 + 7k + 1) - (k+1)$
Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить выражение из предположения индукции:
$(k+1)^7 - (k+1) = (k^7 - k) + (7k^6 + 21k^5 + 35k^4 + 35k^3 + 21k^2 + 7k)$
$(k+1)^7 - (k+1) = (k^7 - k) + 7(k^6 + 3k^5 + 5k^4 + 5k^3 + 3k^2 + k)$
Рассмотрим получившуюся сумму. Первое слагаемое, $(k^7 - k)$, делится на 7 по предположению индукции. Второе слагаемое, $7(k^6 + 3k^5 + 5k^4 + 5k^3 + 3k^2 + k)$, очевидно делится на 7, так как содержит множитель 7. Сумма двух чисел, каждое из которых делится на 7, также делится на 7. Следовательно, выражение $(k+1)^7 - (k+1)$ делится на 7.
Поскольку база индукции верна и шаг индукции доказан, по принципу математической индукции утверждение, что $n^7 - n$ делится на 7, верно для всех натуральных чисел $n$.
Ответ: Доказано, что при любом натуральном $n$ выражение $n^7 - n$ делится на 7.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 700 расположенного на странице 318 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №700 (с. 318), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.