Номер 700, страница 318 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 700, страница 318.

Условие.

700. Доказать что при любом натуральном n:

1) $6n^5 - 11n$ делится на 5;

2) $n^7 - n$ делится на 7.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Доказать что при любом натуральном n: $6n^5 - 11n$ делится на 5;

Для доказательства преобразуем данное выражение следующим образом:

$6n^5 - 11n = 6n^5 - 6n - 5n = 6(n^5 - n) - 5n$

Рассмотрим получившееся выражение. Оно представляет собой разность двух слагаемых: $6(n^5 - n)$ и $5n$.

Второе слагаемое, $5n$, очевидно делится на 5, так как содержит множитель 5.

Рассмотрим первое слагаемое, $6(n^5 - n)$. Для анализа выражения в скобках воспользуемся Малой теоремой Ферма. Она гласит, что если $p$ — простое число, то для любого целого числа $n$ выражение $n^p - n$ делится на $p$.

Так как 5 — простое число, то при $p=5$ выражение $n^5 - n$ делится на 5 для любого натурального $n$. Это означает, что существует такое целое число $k$, что $n^5 - n = 5k$.

Тогда первое слагаемое равно $6(n^5 - n) = 6 \cdot (5k) = 30k$. Это число также делится на 5.

Итак, мы представили исходное выражение $6n^5 - 11n$ в виде разности двух выражений, $6(n^5 - n)$ и $5n$, каждое из которых делится на 5. Разность двух чисел, делящихся на 5, также делится на 5.

Следовательно, выражение $6n^5 - 11n$ делится на 5 при любом натуральном $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что при любом натуральном $n$ выражение $6n^5 - 11n$ делится на 5.

2) Доказать что при любом натуральном n: $n^7 - n$ делится на 7.

Доказательство проведем методом математической индукции.

Сначала проверим базу индукции для $n=1$. При $n=1$ выражение равно $1^7 - 1 = 1 - 1 = 0$. Число 0 делится на 7, так что база индукции выполняется.

Теперь сделаем шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть $k^7 - k$ делится на 7. Это означает, что $k^7 - k = 7m$ для некоторого целого числа $m$.

Докажем, что утверждение верно и для следующего натурального числа $n=k+1$, то есть докажем, что $(k+1)^7 - (k+1)$ делится на 7. Раскроем скобки в выражении $(k+1)^7$ с помощью формулы бинома Ньютона:

$(k+1)^7 = \binom{7}{0}k^7 + \binom{7}{1}k^6 + \binom{7}{2}k^5 + \binom{7}{3}k^4 + \binom{7}{4}k^3 + \binom{7}{5}k^2 + \binom{7}{6}k^1 + \binom{7}{7}k^0$

$(k+1)^7 = k^7 + 7k^6 + 21k^5 + 35k^4 + 35k^3 + 21k^2 + 7k + 1$

Теперь подставим это в наше выражение:

$(k+1)^7 - (k+1) = (k^7 + 7k^6 + 21k^5 + 35k^4 + 35k^3 + 21k^2 + 7k + 1) - (k+1)$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить выражение из предположения индукции:

$(k+1)^7 - (k+1) = (k^7 - k) + (7k^6 + 21k^5 + 35k^4 + 35k^3 + 21k^2 + 7k)$

$(k+1)^7 - (k+1) = (k^7 - k) + 7(k^6 + 3k^5 + 5k^4 + 5k^3 + 3k^2 + k)$

Рассмотрим получившуюся сумму. Первое слагаемое, $(k^7 - k)$, делится на 7 по предположению индукции. Второе слагаемое, $7(k^6 + 3k^5 + 5k^4 + 5k^3 + 3k^2 + k)$, очевидно делится на 7, так как содержит множитель 7. Сумма двух чисел, каждое из которых делится на 7, также делится на 7. Следовательно, выражение $(k+1)^7 - (k+1)$ делится на 7.

Поскольку база индукции верна и шаг индукции доказан, по принципу математической индукции утверждение, что $n^7 - n$ делится на 7, верно для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Доказано, что при любом натуральном $n$ выражение $n^7 - n$ делится на 7.