Номер 701, страница 318 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 701, страница 318.

Условие.

701. Доказать, что $3^{6^n} - 2^{6^n}$ делится на 35 при $n \in N$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы доказать, что выражение $3^{6^n} - 2^{6^n}$ делится на 35 при любом натуральном $n \in N$, необходимо доказать, что оно делится на 5 и на 7, так как $35 = 5 \times 7$, а числа 5 и 7 являются взаимно простыми.

Доказательство делимости на 5

Рассмотрим выражение $A(n) = 3^{6^n} - 2^{6^n}$. Так как показатель степени $6^n$ для любого натурального $n$ является чётным числом, мы можем представить его в виде $6^n = 2k$, где $k = \frac{6^n}{2} = 3 \cdot 6^{n-1}$.

Тогда выражение принимает вид:

$A(n) = 3^{2k} - 2^{2k} = (3^2)^k - (2^2)^k = 9^k - 4^k$.

Воспользуемся известной формулой разности степеней $a^m - b^m = (a-b)(a^{m-1} + a^{m-2}b + \dots + b^{m-1})$.

Применив её, получаем:

$9^k - 4^k = (9-4)(9^{k-1} + 9^{k-2}\cdot4 + \dots + 4^{k-1}) = 5 \cdot (9^{k-1} + \dots + 4^{k-1})$.

Так как один из множителей в произведении равен 5, всё выражение делится на 5 без остатка.

Доказательство делимости на 7

Для доказательства делимости на 7 воспользуемся малой теоремой Ферма. Она гласит, что если $p$ — простое число, то для любого целого числа $a$, не кратного $p$, выполняется сравнение $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

В нашем случае $p=7$. Числа 3 и 2 не делятся на 7, следовательно, для них верны сравнения:

$3^{7-1} \equiv 1 \pmod{7} \implies 3^6 \equiv 1 \pmod{7}$

$2^{7-1} \equiv 1 \pmod{7} \implies 2^6 \equiv 1 \pmod{7}$

Теперь преобразуем исходное выражение, представив показатель $6^n$ как $6 \cdot 6^{n-1}$. Обозначим $m = 6^{n-1}$ (поскольку $n \in N$, $m$ является натуральным числом).

$3^{6^n} - 2^{6^n} = 3^{6 \cdot m} - 2^{6 \cdot m} = (3^6)^m - (2^6)^m$.

Рассмотрим полученное выражение по модулю 7, используя выведенные ранее сравнения:

$(3^6)^m - (2^6)^m \equiv 1^m - 1^m \pmod{7} \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{7}$.

Это означает, что выражение $3^{6^n} - 2^{6^n}$ всегда делится на 7.

Поскольку мы доказали, что выражение $3^{6^n} - 2^{6^n}$ делится на 5 и на 7, а эти числа взаимно просты, то оно делится и на их произведение, то есть на 35. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.