Номер 697, страница 318 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 697, страница 318.

Условие.

697. Выработка продукции за первый год работы предприятия возросла на $p\%$, а за следующий год по сравнению с первоначальной она возросла на $10\%$ больше, чем за первый год. Определить, на сколько процентов увеличилась выработка продукции за первый год, если известно, что за два года она увеличилась в общей сложности на $48,59\%$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $A_0$ — первоначальный объем выработки продукции, а $p$ — искомый процент, на который выросла выработка за первый год.

Тогда по итогам первого года объем продукции $A_1$ составил:
$A_1 = A_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})$

Согласно условию, за второй год рост выработки был на 10% (процентных пунктов) больше, чем за первый. Это означает, что процентная ставка роста во втором году составила $(p+10)\%$. Рост во втором году рассчитывается от величины, достигнутой к концу первого года ($A_1$).
Следовательно, объем продукции по итогам второго года $A_2$ равен:
$A_2 = A_1 \cdot (1 + \frac{p+10}{100})$

Объединив формулы, получим общую выработку за два года относительно первоначальной:
$A_2 = A_0 \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p+10}{100})$

По условию, за два года выработка увеличилась на 48,59%. Значит, итоговый объем $A_2$ связан с начальным $A_0$ соотношением:
$A_2 = A_0 \cdot (1 + \frac{48.59}{100}) = 1.4859 \cdot A_0$

Приравняем два полученных выражения для $A_2$:
$A_0 \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p+10}{100}) = 1.4859 \cdot A_0$
Разделив обе части на $A_0$ (которое не равно нулю), получим:
$(1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p+10}{100}) = 1.4859$

Для упрощения решения введем переменную $x = \frac{p}{100}$. Уравнение примет вид:
$(1+x)(1+x+0.1) = 1.4859$
$(1+x)(1.1+x) = 1.4859$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$1.1 + x + 1.1x + x^2 = 1.4859$
$x^2 + 2.1x + 1.1 - 1.4859 = 0$
$x^2 + 2.1x - 0.3859 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (2.1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0.3859) = 4.41 + 1.5436 = 5.9536$
$\sqrt{D} = \sqrt{5.9536} = 2.44$

Найдем корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-2.1 + 2.44}{2} = \frac{0.34}{2} = 0.17$
$x_2 = \frac{-2.1 - 2.44}{2} = \frac{-4.54}{2} = -2.27$

Так как $p$ — это процент увеличения, $p$ должно быть положительным числом, а значит и $x = \frac{p}{100}$ тоже. Следовательно, подходит только корень $x_1 = 0.17$.

Найдем $p$ из соотношения $x = \frac{p}{100}$:
$\frac{p}{100} = 0.17 \implies p = 17$

Проверка:
Рост в первый год — 17%. Рост во второй год — $17+10 = 27\%$.
Общий коэффициент роста за два года: $1.17 \cdot 1.27 = 1.4859$.
Общее увеличение составляет $(1.4859 - 1) \cdot 100\% = 48.59\%$. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 17%.