Страница 318 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

696. По обычному вкладу сбербанк выплачивает 2% годовых.

Вкладчик внёс 5000 р., а через месяц снял со счёта 1000 р.

Какая сумма денег будет на его счету по истечении года со дня выдачи ему 1000 р.?

Для решения задачи разобьем весь срок вклада на два периода и рассчитаем проценты для каждого из них, исходя из суммы, которая находилась на счете.

1. Расчет процентов за первый месяц

Первоначальная сумма вклада составляла 5000 рублей. Эта сумма находилась на счете в течение одного месяца. Годовая процентная ставка составляет 2%. Рассчитаем сумму процентов, начисленных за этот период. Учитывая, что в году 12 месяцев, срок вклада в годах составит $1/12$.

Используем формулу для расчета простых процентов: $I = P \cdot r \cdot t$, где $P$ – основная сумма, $r$ – годовая процентная ставка в долях, $t$ – срок в годах.

Проценты за первый месяц:

$I_1 = 5000 \cdot 0.02 \cdot \frac{1}{12} = 100 \cdot \frac{1}{12} = \frac{100}{12} = \frac{25}{3}$ рубля.

2. Расчет процентов за следующий год

Через месяц вкладчик снял со счета 1000 рублей. Остаток на счете стал:

$5000 - 1000 = 4000$ рублей.

Согласно условию, нам нужно найти сумму на счете по истечении года со дня снятия денег. Это означает, что сумма в 4000 рублей находилась на счете ровно 1 год. Рассчитаем проценты, начисленные на эту сумму.

Проценты за этот год:

$I_2 = 4000 \cdot 0.02 \cdot 1 = 80$ рублей.

3. Расчет итоговой суммы на счете

Итоговая сумма на счете будет равна остатку вклада после снятия средств плюс общая сумма начисленных процентов за весь срок (1 месяц + 1 год).

Общая сумма начисленных процентов:

$I_{общ} = I_1 + I_2 = \frac{25}{3} + 80 = 8\frac{1}{3} + 80 = 88\frac{1}{3}$ рубля.

Итоговая сумма на счете:

$S = 4000 + I_{общ} = 4000 + 88\frac{1}{3} = 4088\frac{1}{3}$ рубля.

Чтобы выразить ответ в рублях и копейках, переведем дробную часть: $\frac{1}{3}$ рубля = $\frac{100}{3}$ копеек $\approx 33.33$ копейки. При расчетах с деньгами принято округлять до сотых, то есть до ближайшей копейки. Таким образом, получаем 33 копейки.

Ответ: 4088 рублей 33 копейки.

697. Выработка продукции за первый год работы предприятия возросла на $p\%$, а за следующий год по сравнению с первоначальной она возросла на $10\%$ больше, чем за первый год. Определить, на сколько процентов увеличилась выработка продукции за первый год, если известно, что за два года она увеличилась в общей сложности на $48,59\%$.

Пусть $A_0$ — первоначальный объем выработки продукции, а $p$ — искомый процент, на который выросла выработка за первый год.

Тогда по итогам первого года объем продукции $A_1$ составил:
$A_1 = A_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})$

Согласно условию, за второй год рост выработки был на 10% (процентных пунктов) больше, чем за первый. Это означает, что процентная ставка роста во втором году составила $(p+10)\%$. Рост во втором году рассчитывается от величины, достигнутой к концу первого года ($A_1$).
Следовательно, объем продукции по итогам второго года $A_2$ равен:
$A_2 = A_1 \cdot (1 + \frac{p+10}{100})$

Объединив формулы, получим общую выработку за два года относительно первоначальной:
$A_2 = A_0 \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p+10}{100})$

По условию, за два года выработка увеличилась на 48,59%. Значит, итоговый объем $A_2$ связан с начальным $A_0$ соотношением:
$A_2 = A_0 \cdot (1 + \frac{48.59}{100}) = 1.4859 \cdot A_0$

Приравняем два полученных выражения для $A_2$:
$A_0 \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p+10}{100}) = 1.4859 \cdot A_0$
Разделив обе части на $A_0$ (которое не равно нулю), получим:
$(1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p+10}{100}) = 1.4859$

Для упрощения решения введем переменную $x = \frac{p}{100}$. Уравнение примет вид:
$(1+x)(1+x+0.1) = 1.4859$
$(1+x)(1.1+x) = 1.4859$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$1.1 + x + 1.1x + x^2 = 1.4859$
$x^2 + 2.1x + 1.1 - 1.4859 = 0$
$x^2 + 2.1x - 0.3859 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (2.1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0.3859) = 4.41 + 1.5436 = 5.9536$
$\sqrt{D} = \sqrt{5.9536} = 2.44$

Найдем корни уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-2.1 + 2.44}{2} = \frac{0.34}{2} = 0.17$
$x_2 = \frac{-2.1 - 2.44}{2} = \frac{-4.54}{2} = -2.27$

Так как $p$ — это процент увеличения, $p$ должно быть положительным числом, а значит и $x = \frac{p}{100}$ тоже. Следовательно, подходит только корень $x_1 = 0.17$.

Найдем $p$ из соотношения $x = \frac{p}{100}$:
$\frac{p}{100} = 0.17 \implies p = 17$

Проверка:
Рост в первый год — 17%. Рост во второй год — $17+10 = 27\%$.
Общий коэффициент роста за два года: $1.17 \cdot 1.27 = 1.4859$.
Общее увеличение составляет $(1.4859 - 1) \cdot 100\% = 48.59\%$. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 17%.

698. Доказать, что при любом простом $p > 3$ число $p^2 - 1$ делится на 24.

Чтобы доказать, что число $p^2 - 1$ делится на 24 при любом простом $p > 3$, нам нужно показать, что оно делится на 3 и на 8, так как $24 = 3 \times 8$ и числа 3 и 8 являются взаимно простыми.

Доказательство делимости на 3

Воспользуемся формулой разности квадратов, чтобы разложить выражение: $p^2 - 1 = (p-1)(p+1)$.

Числа $(p-1)$, $p$, $(p+1)$ являются тремя последовательными целыми числами. Из трех последовательных целых чисел одно всегда делится на 3.

Согласно условию, $p$ — простое число и $p > 3$, следовательно, $p$ не делится на 3. Значит, на 3 должно делиться одно из соседних с ним чисел: либо $(p-1)$, либо $(p+1)$.

Поскольку один из множителей в произведении $(p-1)(p+1)$ делится на 3, то и все произведение $p^2 - 1$ делится на 3.

Доказательство делимости на 8

Любое простое число $p > 3$ является нечетным. Следовательно, числа $(p-1)$ и $(p+1)$ являются двумя последовательными четными числами.

Рассмотрим два последовательных четных числа. Одно из них гарантированно делится на 4 (например, в паре 6 и 8, число 8 делится на 4; в паре 10 и 12, число 12 делится на 4). Другое число в паре, будучи четным, делится как минимум на 2.

Таким образом, в произведении $(p-1)(p+1)$ один множитель делится на 4, а другой на 2. Следовательно, всё произведение делится на $4 \times 2 = 8$. Значит, $p^2 - 1$ делится на 8.

Поскольку было доказано, что $p^2 - 1$ делится на 3 и на 8, а эти числа взаимно просты, то $p^2 - 1$ делится на их произведение, равное 24.

Ответ: Утверждение доказано.

699. Доказать, что при любом натуральном $n > 1$ число $n^4 + 4$ является составным.

Для того чтобы доказать, что число $n^4 + 4$ является составным при любом натуральном $n > 1$, нужно показать, что его можно разложить на два множителя, каждый из которых является целым числом, большим 1.

Рассмотрим выражение $n^4 + 4$. Мы можем преобразовать его, дополнив до полного квадрата. Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a = n^2$ и $b = 2$. Чтобы получить полный квадрат $(n^2+2)^2 = n^4 + 4n^2 + 4$, нам не хватает слагаемого $4n^2$. Добавим и вычтем это слагаемое, чтобы не изменить значение выражения:

$n^4 + 4 = n^4 + 4n^2 + 4 - 4n^2$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат:

$(n^4 + 4n^2 + 4) - 4n^2 = (n^2 + 2)^2 - (2n)^2$

Мы получили разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(n^2 + 2)^2 - (2n)^2 = (n^2 + 2 - 2n)(n^2 + 2 + 2n)$

Переставим слагаемые в множителях для стандартного вида:

$n^4 + 4 = (n^2 - 2n + 2)(n^2 + 2n + 2)$

Мы разложили число $n^4 + 4$ на два множителя: $(n^2 - 2n + 2)$ и $(n^2 + 2n + 2)$. Теперь нужно доказать, что при $n > 1$ каждый из этих множителей является целым числом больше 1.

1. Рассмотрим первый множитель: $n^2 - 2n + 2$.Поскольку $n$ — натуральное число, этот множитель является целым числом. Преобразуем его, выделив полный квадрат:$n^2 - 2n + 2 = (n^2 - 2n + 1) + 1 = (n - 1)^2 + 1$.По условию $n > 1$, значит $n \ge 2$ (так как $n$ натуральное).Тогда $n - 1 \ge 1$, и $(n - 1)^2 \ge 1^2 = 1$.Следовательно, $(n - 1)^2 + 1 \ge 1 + 1 = 2$.Таким образом, первый множитель $n^2 - 2n + 2$ всегда больше или равен 2, то есть является целым числом больше 1.

2. Рассмотрим второй множитель: $n^2 + 2n + 2$.Этот множитель также является целым числом. Так как $n > 1$ (то есть $n \ge 2$), все слагаемые положительны.При наименьшем возможном значении $n=2$:$2^2 + 2(2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10$.Поскольку функция $f(n) = n^2 + 2n + 2$ возрастает для $n > 0$, при всех $n \ge 2$ значение этого множителя будет больше или равно 10.Следовательно, второй множитель $n^2 + 2n + 2$ также всегда является целым числом больше 1.

Итак, мы представили число $n^4 + 4$ в виде произведения двух целых чисел, каждое из которых строго больше 1. Это по определению означает, что число $n^4 + 4$ является составным для любого натурального $n > 1$.

Ответ: При любом натуральном $n>1$ число $n^4+4$ можно представить в виде произведения двух целых чисел $(n^2-2n+2)$ и $(n^2+2n+2)$. Так как при $n>1$ оба множителя больше 1 (первый множитель $(n-1)^2+1 \ge 2$, второй множитель $(n+1)^2+1 \ge 10$), число $n^4+4$ является составным.

700. Доказать что при любом натуральном n:

1) $6n^5 - 11n$ делится на 5;

2) $n^7 - n$ делится на 7.

1) Доказать что при любом натуральном n: $6n^5 - 11n$ делится на 5;

Для доказательства преобразуем данное выражение следующим образом:

$6n^5 - 11n = 6n^5 - 6n - 5n = 6(n^5 - n) - 5n$

Рассмотрим получившееся выражение. Оно представляет собой разность двух слагаемых: $6(n^5 - n)$ и $5n$.

Второе слагаемое, $5n$, очевидно делится на 5, так как содержит множитель 5.

Рассмотрим первое слагаемое, $6(n^5 - n)$. Для анализа выражения в скобках воспользуемся Малой теоремой Ферма. Она гласит, что если $p$ — простое число, то для любого целого числа $n$ выражение $n^p - n$ делится на $p$.

Так как 5 — простое число, то при $p=5$ выражение $n^5 - n$ делится на 5 для любого натурального $n$. Это означает, что существует такое целое число $k$, что $n^5 - n = 5k$.

Тогда первое слагаемое равно $6(n^5 - n) = 6 \cdot (5k) = 30k$. Это число также делится на 5.

Итак, мы представили исходное выражение $6n^5 - 11n$ в виде разности двух выражений, $6(n^5 - n)$ и $5n$, каждое из которых делится на 5. Разность двух чисел, делящихся на 5, также делится на 5.

Следовательно, выражение $6n^5 - 11n$ делится на 5 при любом натуральном $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что при любом натуральном $n$ выражение $6n^5 - 11n$ делится на 5.

2) Доказать что при любом натуральном n: $n^7 - n$ делится на 7.

Доказательство проведем методом математической индукции.

Сначала проверим базу индукции для $n=1$. При $n=1$ выражение равно $1^7 - 1 = 1 - 1 = 0$. Число 0 делится на 7, так что база индукции выполняется.

Теперь сделаем шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть $k^7 - k$ делится на 7. Это означает, что $k^7 - k = 7m$ для некоторого целого числа $m$.

Докажем, что утверждение верно и для следующего натурального числа $n=k+1$, то есть докажем, что $(k+1)^7 - (k+1)$ делится на 7. Раскроем скобки в выражении $(k+1)^7$ с помощью формулы бинома Ньютона:

$(k+1)^7 = \binom{7}{0}k^7 + \binom{7}{1}k^6 + \binom{7}{2}k^5 + \binom{7}{3}k^4 + \binom{7}{4}k^3 + \binom{7}{5}k^2 + \binom{7}{6}k^1 + \binom{7}{7}k^0$

$(k+1)^7 = k^7 + 7k^6 + 21k^5 + 35k^4 + 35k^3 + 21k^2 + 7k + 1$

Теперь подставим это в наше выражение:

$(k+1)^7 - (k+1) = (k^7 + 7k^6 + 21k^5 + 35k^4 + 35k^3 + 21k^2 + 7k + 1) - (k+1)$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить выражение из предположения индукции:

$(k+1)^7 - (k+1) = (k^7 - k) + (7k^6 + 21k^5 + 35k^4 + 35k^3 + 21k^2 + 7k)$

$(k+1)^7 - (k+1) = (k^7 - k) + 7(k^6 + 3k^5 + 5k^4 + 5k^3 + 3k^2 + k)$

Рассмотрим получившуюся сумму. Первое слагаемое, $(k^7 - k)$, делится на 7 по предположению индукции. Второе слагаемое, $7(k^6 + 3k^5 + 5k^4 + 5k^3 + 3k^2 + k)$, очевидно делится на 7, так как содержит множитель 7. Сумма двух чисел, каждое из которых делится на 7, также делится на 7. Следовательно, выражение $(k+1)^7 - (k+1)$ делится на 7.

Поскольку база индукции верна и шаг индукции доказан, по принципу математической индукции утверждение, что $n^7 - n$ делится на 7, верно для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Доказано, что при любом натуральном $n$ выражение $n^7 - n$ делится на 7.

701. Доказать, что $3^{6^n} - 2^{6^n}$ делится на 35 при $n \in N$.

Для того чтобы доказать, что выражение $3^{6^n} - 2^{6^n}$ делится на 35 при любом натуральном $n \in N$, необходимо доказать, что оно делится на 5 и на 7, так как $35 = 5 \times 7$, а числа 5 и 7 являются взаимно простыми.

Доказательство делимости на 5

Рассмотрим выражение $A(n) = 3^{6^n} - 2^{6^n}$. Так как показатель степени $6^n$ для любого натурального $n$ является чётным числом, мы можем представить его в виде $6^n = 2k$, где $k = \frac{6^n}{2} = 3 \cdot 6^{n-1}$.

Тогда выражение принимает вид:

$A(n) = 3^{2k} - 2^{2k} = (3^2)^k - (2^2)^k = 9^k - 4^k$.

Воспользуемся известной формулой разности степеней $a^m - b^m = (a-b)(a^{m-1} + a^{m-2}b + \dots + b^{m-1})$.

Применив её, получаем:

$9^k - 4^k = (9-4)(9^{k-1} + 9^{k-2}\cdot4 + \dots + 4^{k-1}) = 5 \cdot (9^{k-1} + \dots + 4^{k-1})$.

Так как один из множителей в произведении равен 5, всё выражение делится на 5 без остатка.

Доказательство делимости на 7

Для доказательства делимости на 7 воспользуемся малой теоремой Ферма. Она гласит, что если $p$ — простое число, то для любого целого числа $a$, не кратного $p$, выполняется сравнение $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

В нашем случае $p=7$. Числа 3 и 2 не делятся на 7, следовательно, для них верны сравнения:

$3^{7-1} \equiv 1 \pmod{7} \implies 3^6 \equiv 1 \pmod{7}$

$2^{7-1} \equiv 1 \pmod{7} \implies 2^6 \equiv 1 \pmod{7}$

Теперь преобразуем исходное выражение, представив показатель $6^n$ как $6 \cdot 6^{n-1}$. Обозначим $m = 6^{n-1}$ (поскольку $n \in N$, $m$ является натуральным числом).

$3^{6^n} - 2^{6^n} = 3^{6 \cdot m} - 2^{6 \cdot m} = (3^6)^m - (2^6)^m$.

Рассмотрим полученное выражение по модулю 7, используя выведенные ранее сравнения:

$(3^6)^m - (2^6)^m \equiv 1^m - 1^m \pmod{7} \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{7}$.

Это означает, что выражение $3^{6^n} - 2^{6^n}$ всегда делится на 7.

Поскольку мы доказали, что выражение $3^{6^n} - 2^{6^n}$ делится на 5 и на 7, а эти числа взаимно просты, то оно делится и на их произведение, то есть на 35. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

702. Доказать, что $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 120 при $n \in N$.

Для того чтобы доказать, что выражение $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 120 при любом натуральном $n$ ($n \in N$), разложим данное выражение на множители.

Сначала вынесем общий множитель $n$ за скобки:
$n^5 - 5n^3 + 4n = n(n^4 - 5n^2 + 4)$

Выражение в скобках $n^4 - 5n^2 + 4$ является биквадратным. Сделаем замену переменной, пусть $x = n^2$. Тогда получим квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 4$. Корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ легко найти по теореме Виета: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Следовательно, $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$.

Вернемся к переменной $n$, подставив $n^2$ вместо $x$:
$n^4 - 5n^2 + 4 = (n^2 - 1)(n^2 - 4)$

Каждый из множителей в скобках можно разложить по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$n^2 - 1 = (n-1)(n+1)$
$n^2 - 4 = (n-2)(n+2)$

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде:
$n^5 - 5n^3 + 4n = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$

Расположим множители в порядке возрастания, чтобы увидеть, что это произведение пяти последовательных целых чисел:
$(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$

Теперь необходимо доказать, что это произведение делится на 120. Разложим число 120 на взаимно простые множители: $120 = 3 \times 5 \times 8$. Чтобы доказать делимость на 120, достаточно доказать, что выражение делится на 3, на 5 и на 8.

1. Делимость на 3
Среди любых трех последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3. Поскольку у нас произведение пяти последовательных чисел, среди них гарантированно есть хотя бы один множитель, кратный 3. Следовательно, все произведение делится на 3.

2. Делимость на 5
Среди любых пяти последовательных целых чисел одно обязательно делится на 5. Наше выражение является произведением пяти последовательных чисел, а значит, оно всегда делится на 5.

3. Делимость на 8
Среди пяти последовательных целых чисел есть как минимум два четных числа. Рассмотрим два случая в зависимости от четности $n$.
Случай А: $n$ — нечетное.
Тогда числа $(n-1)$ и $(n+1)$ являются двумя последовательными четными числами. Одно из них делится на 4, а второе — как минимум на 2. Их произведение $(n-1)(n+1)$ делится на $2 \times 4 = 8$.
Случай Б: $n$ — четное.
Тогда сам множитель $n$ является четным. Также четными являются числа $(n-2)$ и $(n+2)$. В этом случае у нас есть три четных множителя: $(n-2)$, $n$, $(n+2)$. Это три последовательных четных числа. Если $n=2k$ для некоторого целого $k$, то произведение этих трех множителей равно $(2k-2) \cdot 2k \cdot (2k+2) = 8(k-1)k(k+1)$, что очевидно делится на 8.
Таким образом, в любом случае произведение делится на 8.

Поскольку выражение $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ делится на 3, на 5 и на 8, а числа 3, 5, 8 взаимно просты, то оно делится и на их произведение $3 \times 5 \times 8 = 120$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 120 при $n \in N$, доказано.

703. Найти последнюю цифру числа:

1) $9^{9^9}$;

2) $2^{3^4}$.

1) Чтобы найти последнюю цифру числа $9^{9^9}$, необходимо проанализировать, как ведут себя последние цифры степеней числа 9. Для этого выпишем несколько первых степеней:

$9^1 = 9$

$9^2 = 81$ (последняя цифра 1)

$9^3 = 729$ (последняя цифра 9)

$9^4 = 6561$ (последняя цифра 1)

Можно заметить закономерность: последняя цифра степеней числа 9 циклически повторяется с периодом 2.

• Если показатель степени — нечетное число ($1, 3, 5, \dots$), то последняя цифра равна 9.
• Если показатель степени — четное число ($2, 4, 6, \dots$), то последняя цифра равна 1.

В нашем случае основание степени равно 9, а показатель степени — $9^9$. Нам нужно определить, является ли число $9^9$ четным или нечетным. Число 9 является нечетным. Произведение любого количества нечетных чисел всегда является нечетным числом. Так как $9^9$ — это произведение девяти девяток, результат будет нечетным.

Поскольку показатель степени $9^9$ — нечетное число, последняя цифра числа $9^{9^9}$ будет такой же, как у $9^1$, то есть 9.

Ответ: 9

2) Чтобы найти последнюю цифру числа $2^{3^4}$, сначала упростим показатель степени:

$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 = 81$.

Таким образом, нам нужно найти последнюю цифру числа $2^{81}$. Рассмотрим, как меняются последние цифры степеней числа 2:

$2^1 = 2$

$2^2 = 4$

$2^3 = 8$

$2^4 = 16$ (последняя цифра 6)

$2^5 = 32$ (последняя цифра 2)

$2^6 = 64$ (последняя цифра 4)

Мы видим, что последние цифры степеней двойки циклически повторяются с периодом 4: (2, 4, 8, 6). Чтобы найти последнюю цифру числа $2^{81}$, нам нужно определить, на каком месте в этом цикле она будет находиться. Для этого найдем остаток от деления показателя степени 81 на длину цикла, то есть на 4.

$81 \div 4 = 20$ с остатком 1. Математически это записывается как $81 \equiv 1 \pmod{4}$.

Остаток 1 означает, что последняя цифра числа $2^{81}$ будет такой же, как у первого члена в нашем цикле, то есть как у $2^1$. Последняя цифра $2^1$ — это 2.

Ответ: 2

704. Найти две последние цифры числа:

1) $2^{999}$;

2) $3^{999}$.

Чтобы найти две последние цифры числа, необходимо найти остаток от деления этого числа на 100. Это эквивалентно вычислению значения числа по модулю 100.

1) $2^{999}$

Нам нужно вычислить $2^{999} \pmod{100}$.

Поскольку число 2 не является взаимно простым с 100, мы не можем применить теорему Эйлера напрямую для модуля 100. Воспользуемся Китайской теоремой об остатках, представив модуль в виде произведения взаимно простых сомножителей: $100 = 4 \times 25$. Мы найдем остатки от деления $2^{999}$ на 4 и 25 по отдельности.

Шаг 1: Вычисление $2^{999} \pmod{4}$.

Поскольку показатель степени $999$ больше или равен 2, число $2^{999}$ делится на $2^2=4$ без остатка. Следовательно, $2^{999} \equiv 0 \pmod{4}$.

Шаг 2: Вычисление $2^{999} \pmod{25}$.

Числа 2 и 25 взаимно просты, поэтому мы можем применить теорему Эйлера. Значение функции Эйлера для $n=25$ равно $\phi(25) = \phi(5^2) = 5^2 - 5^1 = 20$. Согласно теореме Эйлера, $a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$, поэтому $2^{20} \equiv 1 \pmod{25}$.

Уменьшим показатель степени 999 по модулю 20: $999 = 20 \times 49 + 19$. Следовательно, $2^{999} = 2^{20 \times 49 + 19} = (2^{20})^{49} \times 2^{19} \equiv 1^{49} \times 2^{19} \equiv 2^{19} \pmod{25}$.

Теперь вычислим $2^{19} \pmod{25}$. $2^{10} = 1024$. Так как $1024 = 25 \times 40 + 24$, то $2^{10} \equiv 24 \equiv -1 \pmod{25}$. Тогда $2^{19} = 2^{10} \times 2^9 \equiv -1 \times 2^9 \pmod{25}$. Вычислим $2^9$: $2^9 = 512$. $512 = 25 \times 20 + 12$, поэтому $2^9 \equiv 12 \pmod{25}$. Окончательно для $2^{19}$: $2^{19} \equiv -1 \times 12 = -12 \equiv 13 \pmod{25}$.

Шаг 3: Решение системы сравнений.

Мы получили систему сравнений для $x = 2^{999}$: $$ \begin{cases} x \equiv 0 \pmod{4} \\ x \equiv 13 \pmod{25} \end{cases} $$ Из второго сравнения следует, что $x$ можно записать в виде $x = 25k + 13$ для некоторого целого числа $k$. Подставим это выражение в первое сравнение: $25k + 13 \equiv 0 \pmod{4}$. Упростим коэффициенты по модулю 4 ($25 \equiv 1 \pmod{4}$, $13 \equiv 1 \pmod{4}$): $1 \cdot k + 1 \equiv 0 \pmod{4}$, $k \equiv -1 \pmod{4}$, или $k \equiv 3 \pmod{4}$. Значит, $k$ можно представить как $k = 4m + 3$ для некоторого целого $m$.

Подставим это выражение для $k$ обратно в формулу для $x$: $x = 25(4m + 3) + 13 = 100m + 75 + 13 = 100m + 88$. Таким образом, $x \equiv 88 \pmod{100}$.

Две последние цифры числа $2^{999}$ — это 88.

Ответ: 88

2) $3^{999}$

Нам нужно вычислить $3^{999} \pmod{100}$.

Поскольку числа 3 и 100 взаимно просты ($\text{НОД}(3, 100) = 1$), мы можем применить теорему Эйлера для модуля 100. Найдем значение функции Эйлера для $n=100$: $\phi(100) = \phi(2^2 \cdot 5^2) = 100 \cdot (1 - 1/2) \cdot (1 - 1/5) = 100 \cdot 1/2 \cdot 4/5 = 40$. По теореме Эйлера, $3^{\phi(100)} \equiv 3^{40} \equiv 1 \pmod{100}$.

Теперь уменьшим показатель степени 999 по модулю 40: $999 = 24 \times 40 + 39$. Следовательно, $3^{999} = 3^{40 \times 24 + 39} = (3^{40})^{24} \times 3^{39} \equiv 1^{24} \times 3^{39} \equiv 3^{39} \pmod{100}$.

Для вычисления $3^{39} \pmod{100}$ удобно использовать свойство $3^{39} = 3^{40-1} = 3^{40} \cdot 3^{-1}$. Так как $3^{40} \equiv 1 \pmod{100}$, получаем: $3^{39} \equiv 1 \cdot 3^{-1} \equiv 3^{-1} \pmod{100}$. Нам нужно найти число, обратное к 3 по модулю 100. Обозначим его $y$. Тогда $3y \equiv 1 \pmod{100}$. Это равносильно решению диофантова уравнения $3y - 100k = 1$. Из расширенного алгоритма Евклида для чисел 100 и 3: $100 = 33 \times 3 + 1$. Отсюда $1 = 100 - 33 \times 3$. Рассматривая это равенство по модулю 100, получаем: $1 \equiv -33 \times 3 \pmod{100}$. Поскольку $-33 \equiv 67 \pmod{100}$, то $1 \equiv 67 \times 3 \pmod{100}$. Таким образом, $3^{-1} \equiv 67 \pmod{100}$.

Следовательно, $3^{999} \equiv 3^{39} \equiv 67 \pmod{100}$.

Две последние цифры числа $3^{999}$ — это 67.

Ответ: 67

705. Делится ли на 7 число сочетаний из 1000 элементов по 500?

Для ответа на этот вопрос необходимо определить, делится ли число сочетаний из 1000 элементов по 500, которое обозначается как $C_{1000}^{500}$, на простое число 7.

Число сочетаний из $n$ по $k$ вычисляется по формуле биномиального коэффициента:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае $n=1000$ и $k=500$, поэтому мы исследуем число:$C_{1000}^{500} = \frac{1000!}{500! \cdot 500!}$

Чтобы проверить делимость целого числа на простое число $p$, можно найти показатель степени, с которой $p$ входит в каноническое разложение этого числа на простые множители. Если этот показатель (степень) больше нуля, то число делится на $p$. Если показатель равен нулю, то число не делится на $p$.

Показатель степени простого числа $p$ в разложении факториала $n!$ (обозначается $v_p(n!)$) находится по формуле Лежандра:$v_p(n!) = \sum_{i=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^i} \rfloor$где $\lfloor x \rfloor$ — это функция «пол», то есть взятие целой части числа $x$.

Используя свойства этого показателя, для $C_{1000}^{500}$ мы можем записать:$v_7(C_{1000}^{500}) = v_7(\frac{1000!}{500! \cdot 500!}) = v_7(1000!) - v_7(500!) - v_7(500!) = v_7(1000!) - 2 \cdot v_7(500!)$

Теперь вычислим значения $v_7(1000!)$ и $v_7(500!)$ по отдельности.

Вычисление $v_7(1000!)$. Необходимо просуммировать целые части от деления 1000 на степени числа 7 ($7^1=7$, $7^2=49$, $7^3=343$; следующая степень $7^4=2401$ уже больше 1000).$v_7(1000!) = \lfloor \frac{1000}{7} \rfloor + \lfloor \frac{1000}{49} \rfloor + \lfloor \frac{1000}{343} \rfloor$$v_7(1000!) = 142 + 20 + 2 = 164$

Вычисление $v_7(500!)$. Аналогично, используем степени 7, не превосходящие 500.$v_7(500!) = \lfloor \frac{500}{7} \rfloor + \lfloor \frac{500}{49} \rfloor + \lfloor \frac{500}{343} \rfloor$$v_7(500!) = 71 + 10 + 1 = 82$

Теперь подставим полученные значения в формулу для показателя степени 7 в разложении $C_{1000}^{500}$:$v_7(C_{1000}^{500}) = v_7(1000!) - 2 \cdot v_7(500!) = 164 - 2 \cdot 82 = 164 - 164 = 0$

Поскольку показатель степени, с которой простое число 7 входит в разложение числа $C_{1000}^{500}$, равен 0, это означает, что 7 не является простым множителем этого числа. Следовательно, число сочетаний из 1000 по 500 не делится на 7.

Ответ: Нет, число сочетаний из 1000 элементов по 500 не делится на 7.

706. Доказать, что произведение любых $n$ последовательных натуральных чисел делится на $n!$.

Для доказательства этого утверждения мы покажем, что частное от деления произведения любых $n$ последовательных натуральных чисел на $n!$ всегда является целым числом.

Обозначим произведение $n$ последовательных натуральных чисел как $P$. Пусть первое число в этой последовательности равно $m$, где $m$ — любое натуральное число ($m \ge 1$). Тогда последовательность имеет вид: $m, m+1, m+2, \dots, m+n-1$.

Их произведение равно: $P = m \cdot (m+1) \cdot (m+2) \cdots (m+n-1)$.

Нам нужно доказать, что $P$ делится на $n!$ без остатка, то есть что выражение $\frac{P}{n!}$ является целым числом.

Рассмотрим это выражение: $\frac{m \cdot (m+1) \cdot (m+2) \cdots (m+n-1)}{n!}$

Для преобразования этого выражения умножим числитель и знаменатель на $(m-1)!$. Заметим, что $(m-1)!$ определено для всех натуральных $m \ge 1$ (так как $0! = 1$).

$\frac{m \cdot (m+1) \cdots (m+n-1)}{n!} = \frac{(m-1)! \cdot m \cdot (m+1) \cdots (m+n-1)}{n! \cdot (m-1)!}$

В числителе мы получили произведение всех натуральных чисел от $1$ до $m+n-1$, что по определению является факториалом числа $(m+n-1)$: $(m-1)! \cdot m \cdot (m+1) \cdots (m+n-1) = (m+n-1)!$

Таким образом, наше выражение принимает вид: $\frac{(m+n-1)!}{n! \cdot (m-1)!}$

Эта формула является определением биномиального коэффициента, который обозначается как $\binom{m+n-1}{n}$ или $C_{m+n-1}^n$. Биномиальный коэффициент $\binom{N}{k} = \frac{N!}{k!(N-k)!}$ по своему комбинаторному смыслу равен числу способов выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $N$ различных элементов.

Поскольку количество способов совершить выбор не может быть дробным или отрицательным числом, значение любого биномиального коэффициента всегда является целым неотрицательным числом. В нашем случае $m \ge 1$ и $n \ge 1$, поэтому $m+n-1 \ge n$, и биномиальный коэффициент $\binom{m+n-1}{n}$ представляет собой натуральное число.

Пример:
Возьмём $n=4$ последовательных числа, начиная с $m=5$.
Последовательность: $5, 6, 7, 8$.
Их произведение: $P = 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 1680$.
Значение $n!$ равно $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$.
Проверим делимость: $\frac{1680}{24} = 70$.
С помощью формулы биномиального коэффициента: $\binom{5+4-1}{4} = \binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{40320}{24 \cdot 24} = \frac{40320}{576} = 70$.
Результат — целое число, что подтверждает наше доказательство.

Таким образом, мы доказали, что выражение $\frac{P}{n!}$ всегда равно целому числу. Следовательно, произведение любых $n$ последовательных натуральных чисел всегда делится на $n!$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

707. Найти неизвестный член пропорции:

1) $10 : \frac{1}{8} = x : 1\frac{1}{4};$

2) $x : 0,75 = 9\frac{1}{2} : 14\frac{1}{4};$

3) $\frac{x}{15} = \frac{1,456}{1,05}.$

1) Дана пропорция $10 : \frac{1}{8} = x : 1\frac{1}{4}$.

Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов. В данном случае крайние члены — это $10$ и $1\frac{1}{4}$, а средние — $\frac{1}{8}$ и $x$.

Составим уравнение:

$\frac{1}{8} \cdot x = 10 \cdot 1\frac{1}{4}$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$

Подставим это значение в уравнение:

$\frac{1}{8}x = 10 \cdot \frac{5}{4}$

$\frac{1}{8}x = \frac{50}{4}$

$\frac{1}{8}x = \frac{25}{2}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 8:

$x = \frac{25}{2} \cdot 8$

$x = 25 \cdot 4$

$x = 100$

Ответ: $100$

2) Дана пропорция $x : 0,75 = 9\frac{1}{2} : 14\frac{1}{4}$.

По основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних. Крайние члены: $x$ и $14\frac{1}{4}$. Средние члены: $0,75$ и $9\frac{1}{2}$.

Составим уравнение:

$x \cdot 14\frac{1}{4} = 0,75 \cdot 9\frac{1}{2}$

Для удобства вычислений преобразуем все десятичные и смешанные дроби в неправильные дроби.

$0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$

$9\frac{1}{2} = \frac{9 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{19}{2}$

$14\frac{1}{4} = \frac{14 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{57}{4}$

Подставим преобразованные значения в уравнение:

$x \cdot \frac{57}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{19}{2}$

Вычислим правую часть:

$x \cdot \frac{57}{4} = \frac{3 \cdot 19}{4 \cdot 2} = \frac{57}{8}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $\frac{57}{4}$:

$x = \frac{57}{8} \div \frac{57}{4}$

$x = \frac{57}{8} \cdot \frac{4}{57}$

Сократим дробь:

$x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Ответ: $0,5$

3) Дана пропорция $\frac{x}{15} = \frac{1,456}{1,05}$.

Эту пропорцию можно записать как $x : 15 = 1,456 : 1,05$.

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции $x$, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член. В виде формулы:

$x = \frac{15 \cdot 1,456}{1,05}$

Для упрощения вычислений, можно сначала сократить дробь $\frac{15}{1,05}$. Умножим числитель и знаменатель этой части на 100, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе:

$\frac{15}{1,05} = \frac{15 \cdot 100}{1,05 \cdot 100} = \frac{1500}{105}$

Сократим полученную дробь на 15:

$1500 \div 15 = 100$

$105 \div 15 = 7$

Таким образом, $\frac{15}{1,05} = \frac{100}{7}$.

Теперь подставим это значение обратно в выражение для $x$:

$x = 1,456 \cdot \frac{100}{7} = \frac{145,6}{7}$

Выполним деление:

$x = 20,8$

Ответ: $20,8$

Вычислить (708–712).

708. $ \left( \frac{15 \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{125^{-\frac{1}{3}}} - 2 \cdot 7^2 \cdot 49^4 \right) \left( \left(\frac{1}{81}\right)^{-\frac{1}{4}} + 45^{\frac{1}{2}} \right) - 183\sqrt{5}. $

Для решения данного выражения разобьем его на последовательные действия и упростим каждый компонент.

Сначала вычислим значение дроби $\frac{15 \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{125^{-\frac{1}{3}}}$. Для этого преобразуем знаменатель:

$125^{-\frac{1}{3}} = (5^3)^{-\frac{1}{3}} = 5^{3 \cdot (-\frac{1}{3})} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Теперь подставим это значение в дробь и упростим:

$\frac{15 \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{5}} = 15 \cdot 5^{\frac{1}{2}} \cdot 5 = (3 \cdot 5) \cdot 5^{\frac{1}{2}} \cdot 5 = 3 \cdot 5^{1+\frac{1}{2}+1} = 3 \cdot 5^{\frac{5}{2}} = 3 \sqrt{5^5} = 3 \sqrt{5^4 \cdot 5} = 3 \cdot 5^2\sqrt{5} = 75\sqrt{5}$.

Далее вычислим второе слагаемое в скобке: $2 \cdot 72^{\frac{1}{2}} \cdot 49^{\frac{1}{4}}$.

Упростим каждый множитель со степенью:

$72^{\frac{1}{2}} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.

$49^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{49} = \sqrt[4]{7^2} = 7^{\frac{2}{4}} = 7^{\frac{1}{2}} = \sqrt{7}$.

Перемножим полученные значения: $2 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{7} = 12\sqrt{2 \cdot 7} = 12\sqrt{14}$.

Таким образом, значение всего выражения в первой скобке равно $75\sqrt{5} - 12\sqrt{14}$.

Вычислим первое слагаемое: $(\frac{1}{81})^{-\frac{1}{4}}$.

$(\frac{1}{81})^{-\frac{1}{4}} = (81^{-1})^{-\frac{1}{4}} = 81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.

Вычислим второе слагаемое: $45^{\frac{1}{2}}$.

$45^{\frac{1}{2}} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$.

Следовательно, значение выражения во второй скобке равно $3 + 3\sqrt{5}$.

Теперь необходимо перемножить значения, полученные для каждой из скобок, и вычесть последний член изначального выражения:

$(75\sqrt{5} - 12\sqrt{14})(3 + 3\sqrt{5}) - 183\sqrt{5}$

Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов:

$= (75\sqrt{5} \cdot 3) + (75\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5}) - (12\sqrt{14} \cdot 3) - (12\sqrt{14} \cdot 3\sqrt{5}) - 183\sqrt{5}$

$= 225\sqrt{5} + 225 \cdot 5 - 36\sqrt{14} - 36\sqrt{70} - 183\sqrt{5}$

$= 225\sqrt{5} + 1125 - 36\sqrt{14} - 36\sqrt{70} - 183\sqrt{5}$

Сгруппируем подобные слагаемые (члены с $\sqrt{5}$ и свободные члены):

$(225\sqrt{5} - 183\sqrt{5}) + 1125 - 36\sqrt{14} - 36\sqrt{70}$

Выполним вычитание:

$= 42\sqrt{5} + 1125 - 36\sqrt{14} - 36\sqrt{70}$.

Так как подкоренные выражения $5, 14, 70$ различны и не могут быть упрощены для приведения подобных, это является окончательным результатом.

Ответ: $1125 + 42\sqrt{5} - 36\sqrt{14} - 36\sqrt{70}$

709. 1) $\log_{27} 729$;

2) $\log_9 729$;

3) $\log_{\frac{1}{3}} 729$.

1) Для вычисления `$\log_{27}729$` необходимо найти степень, в которую следует возвести основание 27, чтобы получить 729. Для этого представим оба числа как степени одного и того же основания, в данном случае числа 3. Мы имеем `$27 = 3^3$` и `$729 = 3^6$`.

Подставив эти значения в исходное выражение, получим `$\log_{3^3}(3^6)$`. Далее воспользуемся свойством логарифма `$\log_{a^k}b^m = \frac{m}{k}\log_a b$`. Применив его, получаем `$\frac{6}{3}\log_3 3$`. Так как `$\log_3 3 = 1$`, итоговый результат равен `$2 \cdot 1 = 2$`.

Ответ: 2

2) Аналогичным образом вычислим `$\log_9 729$`. Представим основание 9 и число 729 как степени числа 3. Мы знаем, что `$9 = 3^2$` и `$729 = 3^6$`.

Подставим эти значения в логарифм: `$\log_9 729 = \log_{3^2}(3^6)$`. Используя свойство `$\log_{a^k}b^m = \frac{m}{k}\log_a b$`, мы получаем `$\frac{6}{2}\log_3 3$`. Поскольку `$\log_3 3 = 1$`, результат вычисления равен `$3 \cdot 1 = 3$`.

Ответ: 3

3) Для вычисления `$\log_{\frac{1}{3}} 729$` также приведем основание и число к степеням общего основания 3. Мы имеем `$\frac{1}{3} = 3^{-1}$` и `$729 = 3^6$`.

Подставив в выражение, получим `$\log_{3^{-1}}(3^6)$`. Применяя то же свойство логарифмов `$\log_{a^k}b^m = \frac{m}{k}\log_a b$`, мы приходим к выражению `$\frac{6}{-1}\log_3 3$`. Так как `$\log_3 3 = 1$`, окончательный ответ будет `$-6 \cdot 1 = -6$`.

Ответ: -6

710. 1) $\log_{\frac{1}{16}} \sqrt[5]{64}$

2) $\log_8 \log_4 \log_2 16$

1) Для решения выражения $\log_{\frac{1}{16}} \sqrt[5]{64}$ представим основание и аргумент логарифма в виде степеней одного и того же числа, например, 2.
Основание логарифма: $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$.
Аргумент логарифма: $\sqrt[5]{64} = \sqrt[5]{2^6} = (2^6)^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{6}{5}}$.
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$\log_{2^{-4}} 2^{\frac{6}{5}}$.
Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:
$\log_{2^{-4}} 2^{\frac{6}{5}} = \frac{\frac{6}{5}}{-4} \log_2 2$.
Так как $\log_2 2 = 1$, получаем:
$\frac{\frac{6}{5}}{-4} = \frac{6}{5 \cdot (-4)} = \frac{6}{-20} = -\frac{3}{10}$.
Ответ: $-\frac{3}{10}$

2) Для решения выражения $\log_8(\log_4(\log_2 16))$ вычисления будем производить последовательно, начиная с самого внутреннего логарифма.
1. Вычислим внутренний логарифм: $\log_2 16$. Так как $16 = 2^4$, то $\log_2 16 = 4$.
2. Подставим полученное значение в выражение: $\log_8(\log_4(4))$.
3. Теперь вычислим следующий логарифм: $\log_4 4$. По определению логарифма, $\log_a a = 1$, следовательно $\log_4 4 = 1$.
4. Подставим новое значение: $\log_8(1)$.
5. Логарифм единицы по любому основанию (кроме 1) равен нулю, так как $a^0 = 1$. Таким образом, $\log_8 1 = 0$.
Ответ: $0$

711.1) $(2^{\frac{1}{2\sqrt{2}}})^{\sqrt{8}}$

2) $(2^{\sqrt{27}})^{\sqrt{3}} \cdot 2^{-3}$

1) Чтобы упростить выражение $(\frac{1}{2\sqrt{2}})^{\sqrt{8}}$, представим его компоненты в виде степеней.

Сначала преобразуем основание степени $\frac{1}{2\sqrt{2}}$.

Знаменатель $2\sqrt{2}$ можно записать как произведение степеней числа 2: $2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$.

Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем: $2^{1+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$.

Тогда основание степени равно: $\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}$.

Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $2^{-\frac{3}{2}}$.

Теперь преобразуем показатель степени $\sqrt{8}$.

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Теперь подставим преобразованные значения обратно в исходное выражение:

$(\frac{1}{2\sqrt{2}})^{\sqrt{8}} = (2^{-\frac{3}{2}})^{2\sqrt{2}}$.

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^{-\frac{3}{2}})^{2\sqrt{2}} = 2^{(-\frac{3}{2}) \cdot (2\sqrt{2})} = 2^{-3\sqrt{2}}$.

Ответ: $2^{-3\sqrt{2}}$.

2) Чтобы упростить выражение $(2^{\sqrt{27}})^{\sqrt{3}} \cdot 2^{-3}$, будем действовать по шагам.

Сначала рассмотрим первый множитель $(2^{\sqrt{27}})^{\sqrt{3}}$.

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^{\sqrt{27}})^{\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{27} \cdot \sqrt{3}}$.

Упростим показатель степени, используя свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$\sqrt{27} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{27 \cdot 3} = \sqrt{81} = 9$.

Таким образом, первый множитель равен $2^9$.

Теперь исходное выражение принимает вид:

$2^9 \cdot 2^{-3}$.

Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^9 \cdot 2^{-3} = 2^{9+(-3)} = 2^{9-3} = 2^6$.

Осталось вычислить значение:

$2^6 = 64$.

Ответ: $64$.

712. 1) $\log_3 \frac{9}{\sqrt[5]{3}} + \log_6 \sqrt[5]{36};$

2) $16^{0.5\log_4 10 + 1}.$

1) Вычислим значение выражения $\log_3{\frac{9}{\sqrt[5]{3}}} + \log_6{\sqrt[5]{36}}$.

Для этого упростим каждое слагаемое по отдельности, используя свойства логарифмов и степеней.

Первое слагаемое: $\log_3{\frac{9}{\sqrt[5]{3}}}$

Сначала преобразуем аргумент логарифма, представив его в виде степени с основанием 3:
$\frac{9}{\sqrt[5]{3}} = \frac{3^2}{3^{\frac{1}{5}}}$
По свойству частного степеней с одинаковым основанием ($a^m/a^n = a^{m-n}$):
$\frac{3^2}{3^{\frac{1}{5}}} = 3^{2 - \frac{1}{5}} = 3^{\frac{10}{5} - \frac{1}{5}} = 3^{\frac{9}{5}}$
Теперь вычислим логарифм:
$\log_3{\left(3^{\frac{9}{5}}\right)} = \frac{9}{5}$ (согласно определению логарифма $\log_a{a^x} = x$).

Второе слагаемое: $\log_6{\sqrt[5]{36}}$

Преобразуем аргумент логарифма в степень с основанием 6:
$\sqrt[5]{36} = \sqrt[5]{6^2} = (6^2)^{\frac{1}{5}}$
По свойству возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):
$(6^2)^{\frac{1}{5}} = 6^{2 \cdot \frac{1}{5}} = 6^{\frac{2}{5}}$
Теперь вычислим логарифм:
$\log_6{\left(6^{\frac{2}{5}}\right)} = \frac{2}{5}$.

Сумма:

Сложим полученные результаты:
$\frac{9}{5} + \frac{2}{5} = \frac{9+2}{5} = \frac{11}{5} = 2,2$.

Ответ: $2,2$.

2) Вычислим значение выражения $16^{0,5\log_4{10}+1}$.

Используем свойство сложения показателей степени ($a^{m+n} = a^m \cdot a^n$):
$16^{0,5\log_4{10}+1} = 16^{0,5\log_4{10}} \cdot 16^1$.

Теперь преобразуем первый множитель $16^{0,5\log_4{10}}$.

Представим основание степени 16 как степень с основанием 4, чтобы оно совпадало с основанием логарифма:
$16 = 4^2$.
Подставим это в выражение:
$(4^2)^{0,5\log_4{10}}$.

По свойству возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), перемножим показатели:
$4^{2 \cdot 0,5\log_4{10}} = 4^{1 \cdot \log_4{10}} = 4^{\log_4{10}}$.

Используя основное логарифмическое тождество ($a^{\log_a{b}} = b$), получаем:
$4^{\log_4{10}} = 10$.

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим вычисленное значение:
$16^{0,5\log_4{10}} \cdot 16^1 = 10 \cdot 16 = 160$.

Ответ: $160$.