Страница 323 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

752. 1) $(\frac{a\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-1} + \sqrt{a}) : \frac{a-1}{\sqrt{a}-1}$

2) $(\frac{1+b\sqrt{b}}{1+\sqrt{b}} - \sqrt{b}) \cdot \frac{1+\sqrt{b}}{1-b}$

1) Упростим выражение $(\frac{a\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-1} + \sqrt{a}) : \frac{a-1}{\sqrt{a}-1}$.

Сначала выполним действия в скобках. Заметим, что числитель первой дроби $a\sqrt{a}-1$ можно представить как разность кубов, поскольку $a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3$.

$a\sqrt{a}-1 = (\sqrt{a})^3 - 1^3$

Используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:

$(\sqrt{a})^3 - 1^3 = (\sqrt{a}-1)((\sqrt{a})^2 + \sqrt{a} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt{a}-1)(a+\sqrt{a}+1)$.

Теперь упростим первую дробь в скобках:

$\frac{a\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-1} = \frac{(\sqrt{a}-1)(a+\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}-1} = a+\sqrt{a}+1$.

Подставим полученное выражение обратно в скобки и сложим с $\sqrt{a}$:

$(a+\sqrt{a}+1) + \sqrt{a} = a+2\sqrt{a}+1$.

Это выражение является полным квадратом суммы: $a+2\sqrt{a}+1 = (\sqrt{a}+1)^2$.

Далее упростим делитель $\frac{a-1}{\sqrt{a}-1}$. Числитель $a-1$ — это разность квадратов:

$a-1 = (\sqrt{a})^2 - 1^2 = (\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)$.

Таким образом, делитель равен:

$\frac{a-1}{\sqrt{a}-1} = \frac{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}-1} = \sqrt{a}+1$.

Теперь выполним деление:

$(\sqrt{a}+1)^2 : (\sqrt{a}+1) = \sqrt{a}+1$.

При этом область допустимых значений переменной $a$ определяется условиями $a \ge 0$ и $a \neq 1$.

Ответ: $\sqrt{a}+1$.

2) Упростим выражение $(\frac{1+b\sqrt{b}}{1+\sqrt{b}} - \sqrt{b}) \cdot \frac{1+\sqrt{b}}{1-b}$.

Сначала выполним действия в скобках. Числитель дроби $1+b\sqrt{b}$ можно представить как сумму кубов, поскольку $b\sqrt{b} = (\sqrt{b})^3$.

$1+b\sqrt{b} = 1^3 + (\sqrt{b})^3$.

Используем формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$:

$1^3 + (\sqrt{b})^3 = (1+\sqrt{b})(1^2 - 1\cdot\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2) = (1+\sqrt{b})(1-\sqrt{b}+b)$.

Теперь упростим дробь в скобках:

$\frac{1+b\sqrt{b}}{1+\sqrt{b}} = \frac{(1+\sqrt{b})(1-\sqrt{b}+b)}{1+\sqrt{b}} = 1-\sqrt{b}+b$.

Подставим полученное выражение обратно в скобки и вычтем $\sqrt{b}$:

$(1-\sqrt{b}+b) - \sqrt{b} = 1-2\sqrt{b}+b$.

Это выражение является полным квадратом разности: $1-2\sqrt{b}+b = (1-\sqrt{b})^2$.

Далее рассмотрим второй множитель $\frac{1+\sqrt{b}}{1-b}$. Знаменатель $1-b$ — это разность квадратов:

$1-b = 1^2 - (\sqrt{b})^2 = (1-\sqrt{b})(1+\sqrt{b})$.

Таким образом, второй множитель равен:

$\frac{1+\sqrt{b}}{1-b} = \frac{1+\sqrt{b}}{(1-\sqrt{b})(1+\sqrt{b})} = \frac{1}{1-\sqrt{b}}$.

Теперь выполним умножение:

$(1-\sqrt{b})^2 \cdot \frac{1}{1-\sqrt{b}} = 1-\sqrt{b}$.

При этом область допустимых значений переменной $b$ определяется условиями $b \ge 0$ и $b \neq 1$.

Ответ: $1-\sqrt{b}$.

753. $\frac{a^{-1}b^{-2} - a^{-2}b^{-1}}{a^{\frac{5}{3}}b^{-2} - b^{\frac{5}{3}}a^{-2}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$

Упростим данное выражение по шагам. Исходное выражение:

$$ \frac{a^{-1}b^{-2} - a^{-2}b^{-1}}{a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} - b^{-\frac{5}{3}}a^{-2}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} $$

Сначала преобразуем дробную часть выражения. Для этого в числителе и знаменателе вынесем за скобки общий множитель.

В числителе $a^{-1}b^{-2} - a^{-2}b^{-1}$ вынесем за скобки $a^{-2}b^{-2}$ (сомножитель с наименьшими степенями):

$$ a^{-1}b^{-2} - a^{-2}b^{-1} = a^{-2}b^{-2}(a^{-1-(-2)}b^{-2-(-2)} - a^{-2-(-2)}b^{-1-(-2)}) = a^{-2}b^{-2}(a^{1}b^{0} - a^{0}b^{1}) = a^{-2}b^{-2}(a - b) $$

В знаменателе $a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} - b^{-\frac{5}{3}}a^{-2}$ также вынесем за скобки $a^{-2}b^{-2}$:

$$ a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} - b^{-\frac{5}{3}}a^{-2} = a^{-2}b^{-2}(a^{-\frac{5}{3}-(-2)}b^{-2-(-2)} - b^{-\frac{5}{3}-(-2)}a^{-2-(-2)}) $$

Упростим показатель степени, который получился в скобках: $ -\frac{5}{3}-(-2) = -\frac{5}{3} + 2 = -\frac{5}{3} + \frac{6}{3} = \frac{1}{3} $. Тогда знаменатель примет вид:

$$ a^{-2}b^{-2}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) $$

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь и сократим общий множитель $a^{-2}b^{-2}$:

$$ \frac{a^{-2}b^{-2}(a - b)}{a^{-2}b^{-2}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})} = \frac{a - b}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} $$

Далее, чтобы упростить полученную дробь, применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$. Для этого представим числитель $a - b$ как разность кубов выражений $a^{\frac{1}{3}}$ и $b^{\frac{1}{3}}$:

$$ a - b = (a^{\frac{1}{3}})^3 - (b^{\frac{1}{3}})^3 = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})((a^{\frac{1}{3}})^2 + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2) = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) $$

Подставим разложенный числитель в дробь и сократим:

$$ \frac{(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} = a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} $$

Теперь вернемся к исходному выражению, заменив дробь на полученный результат:

$$ (a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} $$

Выполним вычитание, приводя подобные слагаемые:

$$ a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} $$

Ответ: $a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$

754. 1) $ \left(\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2+ab}} - \frac{\sqrt{ab+b^2}}{\sqrt{ab+b}}\right)^{-2} - \frac{\sqrt{a^3b}+\sqrt{ab^3}}{2ab}; $

2) $ (\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-2} \cdot \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) + \frac{2\left(a^{-\frac{1}{2}}+b^{-\frac{1}{2}}\right)}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^3}. $

1)

Обозначим ОДЗ: $a > 0$, $b > 0$.

Упростим выражение по действиям. Сначала преобразуем выражение в скобках.

1. Преобразуем первую дробь в скобках, вынося общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{a + \sqrt{ab}}{\sqrt{a^2 + ab}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a(a+b)}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a}\sqrt{a+b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a+b}}$

2. Преобразуем вторую дробь в скобках:

$\frac{\sqrt{ab + b^2}}{\sqrt{ab} + b} = \frac{\sqrt{b(a+b)}}{\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{b}\sqrt{a+b}}{\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

3. Выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $\sqrt{a+b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})$:

$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a+b}} - \frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - (\sqrt{a+b})^2}{\sqrt{a+b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{(a + 2\sqrt{ab} + b) - (a+b)}{\sqrt{a+b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a+b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}$

4. Возведем полученный результат в степень -2, что эквивалентно возведению в квадрат обратной дроби:

$\left(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a+b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}\right)^{-2} = \left(\frac{\sqrt{a+b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{2\sqrt{ab}}\right)^{2} = \frac{(\sqrt{a+b})^2(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{(2\sqrt{ab})^2} = \frac{(a+b)(a + 2\sqrt{ab} + b)}{4ab}$

5. Упростим вторую часть исходного выражения:

$\frac{\sqrt{a^3b} + \sqrt{ab^3}}{2ab} = \frac{\sqrt{a^2 \cdot ab} + \sqrt{b^2 \cdot ab}}{2ab} = \frac{a\sqrt{ab} + b\sqrt{ab}}{2ab} = \frac{(a+b)\sqrt{ab}}{2ab}$

6. Выполним вычитание. Приведем второе слагаемое к знаменателю $4ab$, домножив числитель и знаменатель на $2\sqrt{ab}$ (это некорректно, лучше просто к $4ab$):

$\frac{(a+b)(a + 2\sqrt{ab} + b)}{4ab} - \frac{(a+b)\sqrt{ab}}{2ab} = \frac{(a+b)(a + 2\sqrt{ab} + b)}{4ab} - \frac{2(a+b)\sqrt{ab}}{4ab}$

Объединим дроби и вынесем общий множитель $(a+b)$ в числителе:

$\frac{(a+b)(a + 2\sqrt{ab} + b) - 2(a+b)\sqrt{ab}}{4ab} = \frac{(a+b)((a + 2\sqrt{ab} + b) - 2\sqrt{ab})}{4ab} = \frac{(a+b)(a+b)}{4ab} = \frac{(a+b)^2}{4ab}$

Ответ: $\frac{(a+b)^2}{4ab}$

2)

Обозначим ОДЗ: $a > 0$, $b > 0$.

Упростим выражение по слагаемым.

1. Преобразуем первое слагаемое $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{-2} \cdot \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)$:

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{-2} = \frac{1}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}$

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b+a}{ab} = \frac{a+b}{ab}$

Перемножим полученные выражения:

$\frac{1}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} \cdot \frac{a+b}{ab} = \frac{a+b}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}$

2. Преобразуем второе слагаемое $\frac{2(a^{-\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^3}$:

Упростим числитель: $a^{-\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b} + \sqrt{a}}{\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{ab}}$

Подставим в дробь:

$\frac{2\left(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\right)}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^3} = \frac{2(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})^3} = \frac{2}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}$

3. Сложим оба упрощенных слагаемых. Приведем их к общему знаменателю $ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$:

$\frac{a+b}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} + \frac{2}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} = \frac{a+b}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} + \frac{2\sqrt{ab}}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}$

Сложим числители:

$\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}$

Числитель $a+2\sqrt{ab}+b$ является полным квадратом $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$.

$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} = \frac{1}{ab}$

Ответ: $\frac{1}{ab}$

755. $ \left( \frac{9a - 25a^{-1}}{3a^{\frac{1}{2}} - 5a^{-\frac{1}{2}}} - \frac{a + 7 + 10a^{-1}}{a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}}} \right)^4 \cdot $

Для решения данной задачи мы последовательно упростим выражение в скобках, а затем возведем результат в указанную степень.

Исходное выражение:

$$ \left( \frac{9a - 25a^{-1}}{3a^{\frac{1}{2}} - 5a^{-\frac{1}{2}}} - \frac{a + 7 + 10a^{-1}}{a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}}} \right)^4 $$

Числитель первой дроби, $9a - 25a^{-1}$, является разностью квадратов, поскольку $9a = (3a^{\frac{1}{2}})^2$ и $25a^{-1} = (5a^{-\frac{1}{2}})^2$.

Применяя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, получаем:

$9a - 25a^{-1} = (3a^{\frac{1}{2}} - 5a^{-\frac{1}{2}})(3a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}})$.

Теперь мы можем сократить дробь:

$$ \frac{9a - 25a^{-1}}{3a^{\frac{1}{2}} - 5a^{-\frac{1}{2}}} = \frac{(3a^{\frac{1}{2}} - 5a^{-\frac{1}{2}})(3a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}})}{3a^{\frac{1}{2}} - 5a^{-\frac{1}{2}}} = 3a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}} $$

Числитель второй дроби $a + 7 + 10a^{-1}$ можно разложить на множители. Представим его в виде произведения $(a^{\frac{1}{2}} + p \cdot a^{-\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + q \cdot a^{-\frac{1}{2}})$.

Раскрыв скобки, получим: $a + (p+q) + pqa^{-1}$.

Сравнивая это выражение с исходным числителем, мы получаем систему уравнений: $p+q=7$ и $pq=10$. По теореме Виета, $p$ и $q$ - это корни квадратного уравнения $t^2 - 7t + 10 = 0$, которые равны $2$ и $5$.

Таким образом, числитель раскладывается на множители: $a + 7 + 10a^{-1} = (a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}})$.

Теперь сократим вторую дробь:

$$ \frac{a + 7 + 10a^{-1}}{a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}}} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}} $$

Подставим упрощенные выражения обратно в скобки:

$$ (3a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}}) - (a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}}) $$

Выполним вычитание:

$$ 3a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}} - 5a^{-\frac{1}{2}} = (3-1)a^{\frac{1}{2}} + (5-5)a^{-\frac{1}{2}} = 2a^{\frac{1}{2}} $$

Осталось возвести полученный результат в четвертую степень:

$$ (2a^{\frac{1}{2}})^4 = 2^4 \cdot (a^{\frac{1}{2}})^4 = 16 \cdot a^{\frac{1}{2} \cdot 4} = 16a^2 $$

Ответ: $16a^2$

756. $\left(\frac{3\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b^4}-9\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}-\frac{9}{\sqrt{b}}}\right)^{-2}-(b^2+18b+81)^{0,5}.$

Для решения данной задачи необходимо последовательно упростить выражение. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $b$.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

В выражении присутствуют квадратные корни и дроби, что накладывает следующие ограничения:

а) Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $b \ge 0$.

б) Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

$\sqrt[3]{b^4} - 9\sqrt[3]{b} \neq 0 \implies \sqrt[3]{b}(b-9) \neq 0 \implies b \neq 0$ и $b \neq 9$.

$\sqrt{b} - \frac{9}{\sqrt{b}} \neq 0 \implies \frac{b-9}{\sqrt{b}} \neq 0 \implies b \neq 9$ и $b > 0$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $b > 0$ и $b \neq 9$.

2. Упрощение выражения в скобках

Упростим каждое слагаемое в скобках по отдельности.

Первое слагаемое: $\frac{3\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b^4} - 9\sqrt[3]{b}}$. Вынесем общий множитель в знаменателе:

$\frac{3\sqrt[3]{b}}{b\sqrt[3]{b} - 9\sqrt[3]{b}} = \frac{3\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b}(b-9)} = \frac{3}{b-9}$.

Второе слагаемое: $\frac{1}{\sqrt{b} - \frac{9}{\sqrt{b}}}$. Преобразуем знаменатель, приведя к общему:

$\sqrt{b} - \frac{9}{\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{b})^2 - 9}{\sqrt{b}} = \frac{b-9}{\sqrt{b}}$.

Тогда второе слагаемое равно: $\frac{1}{\frac{b-9}{\sqrt{b}}} = \frac{\sqrt{b}}{b-9}$.

Теперь сложим полученные дроби:

$\frac{3}{b-9} + \frac{\sqrt{b}}{b-9} = \frac{3+\sqrt{b}}{b-9}$.

3. Возведение в степень и дальнейшее упрощение

Теперь необходимо возвести полученное выражение в степень -2:

$\left(\frac{3+\sqrt{b}}{b-9}\right)^{-2} = \left(\frac{b-9}{3+\sqrt{b}}\right)^{2}$.

Разложим числитель $b-9$ по формуле разности квадратов: $b-9 = (\sqrt{b})^2 - 3^2 = (\sqrt{b}-3)(\sqrt{b}+3)$.

$\left(\frac{(\sqrt{b}-3)(\sqrt{b}+3)}{3+\sqrt{b}}\right)^{2} = (\sqrt{b}-3)^2$.

Раскроем квадрат разности:

$(\sqrt{b}-3)^2 = (\sqrt{b})^2 - 2 \cdot \sqrt{b} \cdot 3 + 3^2 = b - 6\sqrt{b} + 9$.

4. Упрощение второго члена исходного выражения

Упростим $(b^2 + 18b + 81)^{0.5}$.

Выражение в скобках — это полный квадрат: $b^2 + 2 \cdot b \cdot 9 + 9^2 = (b+9)^2$.

Степень 0.5 эквивалентна квадратному корню:

$(b^2 + 18b + 81)^{0.5} = \sqrt{(b+9)^2} = |b+9|$.

Из ОДЗ мы знаем, что $b > 0$, следовательно, $b+9$ всегда будет положительным числом, поэтому $|b+9| = b+9$.

5. Финальное вычисление

Выполним вычитание, подставив упрощенные части в исходное выражение:

$(b - 6\sqrt{b} + 9) - (b+9) = b - 6\sqrt{b} + 9 - b - 9 = -6\sqrt{b}$.

Ответ: $-6\sqrt{b}$

757. Доказать, что

$\log_c \frac{a+b}{3} = \frac{1}{2}(\log_c a + \log_c b)$,

если $a>0$, $b>0$, $a^2+b^2=7ab$, $c>0$, $c \ne 1$.

Для доказательства данного тождества начнем с предоставленного условия $a^2 + b^2 = 7ab$. Наша цель — преобразовать это выражение так, чтобы оно связало величины $\frac{a+b}{3}$ и $ab$, которые стоят под знаками логарифмов в доказываемом равенстве.

1. Прибавим к обеим частям уравнения $a^2 + b^2 = 7ab$ слагаемое $2ab$. Это позволит нам выделить в левой части полный квадрат суммы.

$a^2 + 2ab + b^2 = 7ab + 2ab$

2. Свернем левую часть по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и сложим слагаемые в правой части:

$(a+b)^2 = 9ab$

3. Разделим обе части равенства на 9:

$\frac{(a+b)^2}{9} = ab$

4. Представим левую часть как квадрат дроби:

$\left(\frac{a+b}{3}\right)^2 = ab$

5. Теперь, когда мы получили равенство, связывающее выражения под логарифмами, мы можем прологарифмировать обе его части по основанию $c$. Условия $a > 0$, $b > 0$ гарантируют, что обе части равенства положительны, а условия $c > 0$, $c \neq 1$ обеспечивают корректность логарифмической функции.

$\log_c\left(\left(\frac{a+b}{3}\right)^2\right) = \log_c(ab)$

6. Применим свойства логарифмов. Для левой части используем свойство логарифма степени $\log_k(M^p) = p \cdot \log_k M$. Для правой части — свойство логарифма произведения $\log_k(MN) = \log_k M + \log_k N$.

$2 \cdot \log_c\left(\frac{a+b}{3}\right) = \log_c a + \log_c b$

7. Наконец, разделим обе части уравнения на 2, чтобы прийти к искомому выражению:

$\log_c\frac{a+b}{3} = \frac{1}{2}(\log_c a + \log_c b)$

Таким образом, мы доказали исходное тождество, исходя из данных условий.

Ответ: Что и требовалось доказать.

758. Доказать, что

$\log_c \frac{2a+3b}{5} = \frac{\log_c a + \log_c b}{2}$,

если $a > 0$, $b > 0$, $13ab = 4a^2 + 9b^2$, $c > 0$, $c \neq 1$.

Для доказательства данного тождества начнем с преобразования заданного условия $13ab = 4a^2 + 9b^2$.

Перепишем данное равенство. Заметим, что выражение $4a^2 + 9b^2$ является частью формулы для квадрата суммы $(2a+3b)$. Формула квадрата суммы имеет вид: $(2a+3b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot (3b) + (3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2$.

Чтобы получить полный квадрат в правой части, добавим к обеим частям исходного равенства $13ab = 4a^2 + 9b^2$ слагаемое $12ab$:

$13ab + 12ab = 4a^2 + 12ab + 9b^2$

$25ab = (2a+3b)^2$

Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, то и $2a+3b > 0$. Следовательно, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей равенства:

$\sqrt{25ab} = \sqrt{(2a+3b)^2}$

$5\sqrt{ab} = 2a+3b$

Теперь разделим обе части на 5, чтобы получить выражение, стоящее под знаком логарифма в левой части доказываемого тождества:

$\sqrt{ab} = \frac{2a+3b}{5}$

Прологарифмируем обе части полученного равенства по основанию $c$. Условия $a>0, b>0, c>0, c\neq1$ гарантируют, что все логарифмы определены и все преобразования корректны.

$\log_c\left(\frac{2a+3b}{5}\right) = \log_c(\sqrt{ab})$

Преобразуем правую часть равенства, используя свойства логарифмов. Сначала применим свойство логарифма степени $\log_x(y^z) = z \log_x y$, учитывая, что $\sqrt{ab} = (ab)^{1/2}$:

$\log_c(\sqrt{ab}) = \log_c((ab)^{1/2}) = \frac{1}{2}\log_c(ab)$

Далее применим свойство логарифма произведения $\log_x(yz) = \log_x y + \log_x z$:

$\frac{1}{2}\log_c(ab) = \frac{1}{2}(\log_c a + \log_c b) = \frac{\log_c a + \log_c b}{2}$

Таким образом, мы показали, что $\log_c\frac{2a+3b}{5} = \frac{\log_c a + \log_c b}{2}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

759. Выразить $\log_8 9.8$ через $a$ и $b$, если $\lg 2 = a$ и $\lg 7 = b$.

Для того чтобы выразить $\log_8 9,8$ через $a = \lg 2$ и $b = \lg 7$, воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма. Перейдем к основанию 10 (десятичный логарифм), так как переменные $a$ и $b$ заданы именно для него.

Формула перехода к новому основанию выглядит так: $\log_c x = \frac{\log_d x}{\log_d c}$.

Применим ее к нашему выражению, выбрав в качестве нового основания $d=10$:

$\log_8 9,8 = \frac{\lg 9,8}{\lg 8}$

Теперь преобразуем числитель и знаменатель полученной дроби, чтобы выразить их через $a$ и $b$.

1. Преобразуем числитель $\lg 9,8$.

Представим число 9,8 в виде обыкновенной дроби и разложим числитель и знаменатель на простые множители:

$9,8 = \frac{98}{10} = \frac{2 \cdot 49}{10} = \frac{2 \cdot 7^2}{10}$

Теперь применим свойства логарифмов:

$\lg 9,8 = \lg\left(\frac{2 \cdot 7^2}{10}\right)$

Используя свойство логарифма частного ($\lg \frac{x}{y} = \lg x - \lg y$), получаем:

$\lg(2 \cdot 7^2) - \lg 10$

Используя свойство логарифма произведения ($\lg(xy) = \lg x + \lg y$), получаем:

$\lg 2 + \lg(7^2) - \lg 10$

Используя свойство логарифма степени ($\lg x^n = n \lg x$) и зная, что $\lg 10 = 1$, получаем:

$\lg 2 + 2\lg 7 - 1$

Подставляем заданные значения $a = \lg 2$ и $b = \lg 7$:

$\lg 9,8 = a + 2b - 1$

2. Преобразуем знаменатель $\lg 8$.

Представим число 8 в виде степени двойки: $8 = 2^3$.

Применяем свойство логарифма степени:

$\lg 8 = \lg(2^3) = 3\lg 2$

Подставляем заданное значение $a = \lg 2$:

$\lg 8 = 3a$

3. Собираем все вместе.

Подставляем полученные выражения для числителя и знаменателя в формулу перехода к новому основанию:

$\log_8 9,8 = \frac{\lg 9,8}{\lg 8} = \frac{a + 2b - 1}{3a}$

Ответ: $\frac{a + 2b - 1}{3a}$

760. Выразить $log_{\sqrt{3}}8$ через $a$, если $log_{12}3 = a$.

Для решения задачи необходимо выразить $\log_{\sqrt{3}} 8$ через $a$, зная, что $\log_{12} 3 = a$.

Сначала преобразуем выражение, которое нужно найти. Используем свойства логарифмов, в частности, формулу для логарифма степени $\log_{b^k} x^m = \frac{m}{k} \log_b x$.

Представим основание и аргумент логарифма в виде степеней:

$\sqrt{3} = 3^{1/2}$

$8 = 2^3$

Тогда:

$\log_{\sqrt{3}} 8 = \log_{3^{1/2}} 2^3 = \frac{3}{1/2} \log_3 2 = 6 \log_3 2$.

Теперь наша задача — выразить $\log_3 2$ через $a$, используя данное условие $\log_{12} 3 = a$.

Применим формулу перехода к новому основанию. Удобно перейти к основанию 3. Используем свойство $\log_b c = \frac{1}{\log_c b}$:

$\log_3 12 = \frac{1}{\log_{12} 3} = \frac{1}{a}$.

Теперь преобразуем левую часть равенства, используя свойство логарифма произведения $\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y$:

$\log_3 12 = \log_3 (4 \cdot 3) = \log_3 4 + \log_3 3$.

Так как $\log_3 3 = 1$ и $\log_3 4 = \log_3 (2^2) = 2 \log_3 2$, получаем:

$2 \log_3 2 + 1 = \frac{1}{a}$.

Теперь выразим $\log_3 2$ из этого уравнения:

$2 \log_3 2 = \frac{1}{a} - 1$

$2 \log_3 2 = \frac{1-a}{a}$

$\log_3 2 = \frac{1-a}{2a}$.

Мы получили выражение для $\log_3 2$ через $a$. Подставим его в наше исходное преобразованное выражение $\log_{\sqrt{3}} 8 = 6 \log_3 2$:

$\log_{\sqrt{3}} 8 = 6 \cdot \left(\frac{1-a}{2a}\right) = \frac{6(1-a)}{2a} = \frac{3(1-a)}{a}$.

Ответ: $\frac{3(1-a)}{a}$.

761. Упростить:

1) $\frac{1 + \text{tg}^2\alpha}{1 + \text{ctg}^2\alpha}$;

2) $(1 + \text{tg}\alpha)(1 + \text{ctg}\alpha) - \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.

1)

Для упрощения выражения $\frac{1 + \text{tg}^2\alpha}{1 + \text{ctg}^2\alpha}$ воспользуемся основными тригонометрическими тождествами:
$1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$
$1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$
Подставим эти тождества в исходное выражение:
$\frac{1 + \text{tg}^2\alpha}{1 + \text{ctg}^2\alpha} = \frac{\frac{1}{\cos^2\alpha}}{\frac{1}{\sin^2\alpha}}$
Теперь упростим полученную многоэтажную дробь, заменив деление на дробь умножением на перевернутую дробь:
$\frac{1}{\cos^2\alpha} \cdot \frac{\sin^2\alpha}{1} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$
По определению тангенса, $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha$, следовательно, $\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \text{tg}^2\alpha$.

Ответ: $\text{tg}^2\alpha$.

2)

Рассмотрим выражение $(1 + \text{tg}\alpha)(1 + \text{ctg}\alpha) - \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.
Сначала раскроем скобки в первой части выражения:
$(1 + \text{tg}\alpha)(1 + \text{ctg}\alpha) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot \text{ctg}\alpha + \text{tg}\alpha \cdot 1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1 + \text{ctg}\alpha + \text{tg}\alpha + \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha$.
Используем тождество $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$:
$1 + \text{ctg}\alpha + \text{tg}\alpha + 1 = 2 + \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha$.
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
$2 + \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha - \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.
Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
$2 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.
Приведем дроби $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ к общему знаменателю $\sin\alpha\cos\alpha$:
$\frac{\sin\alpha \cdot \sin\alpha}{\cos\alpha \cdot \sin\alpha} + \frac{\cos\alpha \cdot \cos\alpha}{\sin\alpha \cdot \cos\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$.
Применив основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:
$\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.
Подставим полученный результат в наше выражение:
$2 + \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} - \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.
Две последние дроби взаимно уничтожаются:
$2 + 0 = 2$.

Ответ: 2.

762. Доказать тождество $\frac{1-(\sin\alpha + \cos\alpha)^2}{\sin\alpha\cos\alpha - \operatorname{ctg}\alpha} = 2\operatorname{tg}^2\alpha$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.

Сначала преобразуем числитель дроби. Раскроем квадрат суммы $ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 $ и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:

$ 1 - (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = 1 - (\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha) = 1 - ((\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha) = 1 - (1 + 2\sin\alpha\cos\alpha) = 1 - 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = -2\sin\alpha\cos\alpha $.

Далее преобразуем знаменатель дроби. Представим $ \text{ctg}\alpha $ как $ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $ и приведем выражение к общему знаменателю:

$ \sin\alpha\cos\alpha - \text{ctg}\alpha = \sin\alpha\cos\alpha - \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha(\sin\alpha\cos\alpha) - \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha\cos\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha} $.

В числителе получившегося выражения вынесем общий множитель $ \cos\alpha $ за скобки:

$ \frac{\cos\alpha(\sin^2\alpha - 1)}{\sin\alpha} $.

Из основного тригонометрического тождества следует, что $ \sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha $. Подставим это в знаменатель:

$ \frac{\cos\alpha(-\cos^2\alpha)}{\sin\alpha} = -\frac{\cos^3\alpha}{\sin\alpha} $.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в левую часть исходного тождества:

$ \frac{1 - (\sin\alpha + \cos\alpha)^2}{\sin\alpha\cos\alpha - \text{ctg}\alpha} = \frac{-2\sin\alpha\cos\alpha}{-\frac{\cos^3\alpha}{\sin\alpha}} $.

Упростим полученное выражение. Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь:

$ \frac{-2\sin\alpha\cos\alpha}{1} \cdot \left(-\frac{\sin\alpha}{\cos^3\alpha}\right) = \frac{2\sin^2\alpha\cos\alpha}{\cos^3\alpha} $.

Сократим дробь на $ \cos\alpha $ (при условии, что $ \cos\alpha \neq 0 $):

$ \frac{2\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} $.

По определению тангенса, $ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $, следовательно $ \text{tg}^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} $. Окончательно получаем:

$ 2 \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = 2\text{tg}^2\alpha $.

Мы преобразовали левую часть тождества и получили выражение, стоящее в правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

Упростить выражение (763–764).

763.

1) $\sin^2(\alpha + 8\pi) + \cos^2(\alpha + 10\pi)$;

2) $\cos^2(\alpha + 6\pi) + \cos^2(\alpha - 4\pi)$.

1) Для упрощения выражения $\sin^2(\alpha + 8\pi) + \cos^2(\alpha + 10\pi)$ воспользуемся свойством периодичности тригонометрических функций. Функции синуса и косинуса являются периодическими с основным периодом $2\pi$. Это означает, что для любого целого числа $k$ выполняются равенства $\sin(x + 2\pi k) = \sin(x)$ и $\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)$.
Рассмотрим каждый член выражения отдельно.
Для первого члена $\sin^2(\alpha + 8\pi)$: так как $8\pi = 4 \cdot 2\pi$, то есть $k=4$, мы можем отбросить $8\pi$.
$\sin(\alpha + 8\pi) = \sin(\alpha)$.
Следовательно, $\sin^2(\alpha + 8\pi) = \sin^2(\alpha)$.
Для второго члена $\cos^2(\alpha + 10\pi)$: так как $10\pi = 5 \cdot 2\pi$, то есть $k=5$, мы можем отбросить $10\pi$.
$\cos(\alpha + 10\pi) = \cos(\alpha)$.
Следовательно, $\cos^2(\alpha + 10\pi) = \cos^2(\alpha)$.
Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное:
$\sin^2(\alpha + 8\pi) + \cos^2(\alpha + 10\pi) = \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.
Ответ: $1$

2) Рассмотрим выражение $\cos^2(\alpha + 6\pi) + \cos^2(\alpha - 4\pi)$.
Снова используем свойство периодичности функции косинуса с периодом $2\pi$.
Упростим первый член $\cos^2(\alpha + 6\pi)$: так как $6\pi = 3 \cdot 2\pi$ (здесь $k=3$), имеем:
$\cos(\alpha + 6\pi) = \cos(\alpha)$.
Значит, $\cos^2(\alpha + 6\pi) = \cos^2(\alpha)$.
Упростим второй член $\cos^2(\alpha - 4\pi)$: так как $-4\pi = -2 \cdot 2\pi$ (здесь $k=-2$), имеем:
$\cos(\alpha - 4\pi) = \cos(\alpha)$.
Значит, $\cos^2(\alpha - 4\pi) = \cos^2(\alpha)$.
Подставим упрощенные члены в исходное выражение:
$\cos^2(\alpha + 6\pi) + \cos^2(\alpha - 4\pi) = \cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 2\cos^2(\alpha)$.
Ответ: $2\cos^2(\alpha)$