Номер 762, страница 323 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 762, страница 323.
№762 (с. 323)
Условие. №762 (с. 323)
скриншот условия

762. Доказать тождество $\frac{1-(\sin\alpha + \cos\alpha)^2}{\sin\alpha\cos\alpha - \operatorname{ctg}\alpha} = 2\operatorname{tg}^2\alpha$
Решение 1. №762 (с. 323)

Решение 2. №762 (с. 323)

Решение 3. №762 (с. 323)
Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.
Сначала преобразуем числитель дроби. Раскроем квадрат суммы $ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 $ и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:
$ 1 - (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = 1 - (\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha) = 1 - ((\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha) = 1 - (1 + 2\sin\alpha\cos\alpha) = 1 - 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = -2\sin\alpha\cos\alpha $.
Далее преобразуем знаменатель дроби. Представим $ \text{ctg}\alpha $ как $ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $ и приведем выражение к общему знаменателю:
$ \sin\alpha\cos\alpha - \text{ctg}\alpha = \sin\alpha\cos\alpha - \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha(\sin\alpha\cos\alpha) - \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha\cos\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha} $.
В числителе получившегося выражения вынесем общий множитель $ \cos\alpha $ за скобки:
$ \frac{\cos\alpha(\sin^2\alpha - 1)}{\sin\alpha} $.
Из основного тригонометрического тождества следует, что $ \sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha $. Подставим это в знаменатель:
$ \frac{\cos\alpha(-\cos^2\alpha)}{\sin\alpha} = -\frac{\cos^3\alpha}{\sin\alpha} $.
Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в левую часть исходного тождества:
$ \frac{1 - (\sin\alpha + \cos\alpha)^2}{\sin\alpha\cos\alpha - \text{ctg}\alpha} = \frac{-2\sin\alpha\cos\alpha}{-\frac{\cos^3\alpha}{\sin\alpha}} $.
Упростим полученное выражение. Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь:
$ \frac{-2\sin\alpha\cos\alpha}{1} \cdot \left(-\frac{\sin\alpha}{\cos^3\alpha}\right) = \frac{2\sin^2\alpha\cos\alpha}{\cos^3\alpha} $.
Сократим дробь на $ \cos\alpha $ (при условии, что $ \cos\alpha \neq 0 $):
$ \frac{2\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} $.
По определению тангенса, $ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $, следовательно $ \text{tg}^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} $. Окончательно получаем:
$ 2 \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = 2\text{tg}^2\alpha $.
Мы преобразовали левую часть тождества и получили выражение, стоящее в правой части. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 762 расположенного на странице 323 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №762 (с. 323), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.