Номер 762, страница 323 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 762, страница 323.

Условие.

762. Доказать тождество $\frac{1-(\sin\alpha + \cos\alpha)^2}{\sin\alpha\cos\alpha - \operatorname{ctg}\alpha} = 2\operatorname{tg}^2\alpha$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.

Сначала преобразуем числитель дроби. Раскроем квадрат суммы $ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 $ и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:

$ 1 - (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = 1 - (\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha) = 1 - ((\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha) = 1 - (1 + 2\sin\alpha\cos\alpha) = 1 - 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = -2\sin\alpha\cos\alpha $.

Далее преобразуем знаменатель дроби. Представим $ \text{ctg}\alpha $ как $ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $ и приведем выражение к общему знаменателю:

$ \sin\alpha\cos\alpha - \text{ctg}\alpha = \sin\alpha\cos\alpha - \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha(\sin\alpha\cos\alpha) - \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha\cos\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha} $.

В числителе получившегося выражения вынесем общий множитель $ \cos\alpha $ за скобки:

$ \frac{\cos\alpha(\sin^2\alpha - 1)}{\sin\alpha} $.

Из основного тригонометрического тождества следует, что $ \sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha $. Подставим это в знаменатель:

$ \frac{\cos\alpha(-\cos^2\alpha)}{\sin\alpha} = -\frac{\cos^3\alpha}{\sin\alpha} $.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в левую часть исходного тождества:

$ \frac{1 - (\sin\alpha + \cos\alpha)^2}{\sin\alpha\cos\alpha - \text{ctg}\alpha} = \frac{-2\sin\alpha\cos\alpha}{-\frac{\cos^3\alpha}{\sin\alpha}} $.

Упростим полученное выражение. Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь:

$ \frac{-2\sin\alpha\cos\alpha}{1} \cdot \left(-\frac{\sin\alpha}{\cos^3\alpha}\right) = \frac{2\sin^2\alpha\cos\alpha}{\cos^3\alpha} $.

Сократим дробь на $ \cos\alpha $ (при условии, что $ \cos\alpha \neq 0 $):

$ \frac{2\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} $.

По определению тангенса, $ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $, следовательно $ \text{tg}^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} $. Окончательно получаем:

$ 2 \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = 2\text{tg}^2\alpha $.

Мы преобразовали левую часть тождества и получили выражение, стоящее в правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.