Номер 757, страница 323 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 757, страница 323.

Условие.

757. Доказать, что

$\log_c \frac{a+b}{3} = \frac{1}{2}(\log_c a + \log_c b)$,

если $a>0$, $b>0$, $a^2+b^2=7ab$, $c>0$, $c \ne 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства данного тождества начнем с предоставленного условия $a^2 + b^2 = 7ab$. Наша цель — преобразовать это выражение так, чтобы оно связало величины $\frac{a+b}{3}$ и $ab$, которые стоят под знаками логарифмов в доказываемом равенстве.

1. Прибавим к обеим частям уравнения $a^2 + b^2 = 7ab$ слагаемое $2ab$. Это позволит нам выделить в левой части полный квадрат суммы.

$a^2 + 2ab + b^2 = 7ab + 2ab$

2. Свернем левую часть по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и сложим слагаемые в правой части:

$(a+b)^2 = 9ab$

3. Разделим обе части равенства на 9:

$\frac{(a+b)^2}{9} = ab$

4. Представим левую часть как квадрат дроби:

$\left(\frac{a+b}{3}\right)^2 = ab$

5. Теперь, когда мы получили равенство, связывающее выражения под логарифмами, мы можем прологарифмировать обе его части по основанию $c$. Условия $a > 0$, $b > 0$ гарантируют, что обе части равенства положительны, а условия $c > 0$, $c \neq 1$ обеспечивают корректность логарифмической функции.

$\log_c\left(\left(\frac{a+b}{3}\right)^2\right) = \log_c(ab)$

6. Применим свойства логарифмов. Для левой части используем свойство логарифма степени $\log_k(M^p) = p \cdot \log_k M$. Для правой части — свойство логарифма произведения $\log_k(MN) = \log_k M + \log_k N$.

$2 \cdot \log_c\left(\frac{a+b}{3}\right) = \log_c a + \log_c b$

7. Наконец, разделим обе части уравнения на 2, чтобы прийти к искомому выражению:

$\log_c\frac{a+b}{3} = \frac{1}{2}(\log_c a + \log_c b)$

Таким образом, мы доказали исходное тождество, исходя из данных условий.

Ответ: Что и требовалось доказать.