Номер 750, страница 322 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 750, страница 322.

Условие.

Упростить выражение (750–756).

750. 1) $\frac{\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}} \cdot \left(\frac{\frac{1}{x^2}}{1-x^2} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}-x}\right);$

2) $\frac{m+2m^{\frac{1}{2}}+1}{2m^{\frac{1}{2}}} \cdot \left(\frac{2m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}-1} - \frac{4m^{\frac{1}{2}}}{m-1}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Упростим выражение по частям. Сначала выполним вычитание в скобках: $ \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1-x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}-x} $
Заметим, что знаменатель второй дроби можно разложить на множители: $ x^{\frac{1}{2}}-x = x^{\frac{1}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}}) $.
Теперь приведем дроби к общему знаменателю $ x^{\frac{1}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}}) $: $ \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}})} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}})} = \frac{(x^{\frac{1}{2}})^2 - 1}{x^{\frac{1}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}})} = \frac{x-1}{x^{\frac{1}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}})} $
Числитель $ x-1 $ можно разложить по формуле разности квадратов: $ x-1 = (x^{\frac{1}{2}}-1)(x^{\frac{1}{2}}+1) $.
Также заметим, что $ x^{\frac{1}{2}}-1 = -(1-x^{\frac{1}{2}}) $. Подставим это в нашу дробь: $ \frac{(x^{\frac{1}{2}}-1)(x^{\frac{1}{2}}+1)}{x^{\frac{1}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}})} = \frac{-(1-x^{\frac{1}{2}})(1+x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}})} $
Сокращаем на $ (1-x^{\frac{1}{2}}) $ (при условии, что $ x \neq 1 $) и получаем: $ -\frac{1+x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} $
Теперь умножим результат на первую дробь из исходного выражения: $ \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1+x^{\frac{1}{2}}} \cdot \left( -\frac{1+x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \right) $
Сокращаем $ x^{\frac{1}{2}} $ в числителе и знаменателе, а также $ (1+x^{\frac{1}{2}}) $. В итоге остается: $ -1 $
Ответ: $ -1 $

2) Упростим выражение по частям. Сначала преобразуем первый множитель. Числитель $ m + 2m^{\frac{1}{2}} + 1 $ является полным квадратом: $ m + 2m^{\frac{1}{2}} + 1 = (m^{\frac{1}{2}})^2 + 2 \cdot m^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^2 = (m^{\frac{1}{2}} + 1)^2 $
Таким образом, первый множитель равен: $ \frac{(m^{\frac{1}{2}} + 1)^2}{2m^{\frac{1}{2}}} $
Теперь упростим выражение в скобках: $ \frac{2m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}-1} - \frac{4m^{\frac{1}{2}}}{m-1} $
Знаменатель второй дроби $ m-1 $ можно разложить как разность квадратов: $ m-1 = (m^{\frac{1}{2}}-1)(m^{\frac{1}{2}}+1) $.
Приведем дроби к общему знаменателю $ m-1 $: $ \frac{2m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{2}}+1)}{m-1} - \frac{4m^{\frac{1}{2}}}{m-1} = \frac{2m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{2}}+1) - 4m^{\frac{1}{2}}}{m-1} $
Раскроем скобки в числителе и упростим: $ \frac{2m + 2m^{\frac{1}{2}} - 4m^{\frac{1}{2}}}{m-1} = \frac{2m - 2m^{\frac{1}{2}}}{m-1} $
Вынесем общий множитель в числителе: $ \frac{2m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{2}}-1)}{m-1} = \frac{2m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{2}}-1)}{(m^{\frac{1}{2}}-1)(m^{\frac{1}{2}}+1)} $
Сокращаем на $ (m^{\frac{1}{2}}-1) $ (при условии, что $ m \neq 1 $): $ \frac{2m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}+1} $
Теперь перемножим оба упрощенных выражения: $ \frac{(m^{\frac{1}{2}} + 1)^2}{2m^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}+1} $
Сокращаем $ 2m^{\frac{1}{2}} $ в числителе и знаменателе и один множитель $ (m^{\frac{1}{2}}+1) $. Получаем: $ m^{\frac{1}{2}} + 1 $
Ответ: $ m^{\frac{1}{2}} + 1 $