Номер 750, страница 322 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 750, страница 322.

Условие.

Упростить выражение (750–756).

750. 1) $\frac{\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}} \cdot \left(\frac{\frac{1}{x^2}}{1-x^2} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}-x}\right);$

2) $\frac{m+2m^{\frac{1}{2}}+1}{2m^{\frac{1}{2}}} \cdot \left(\frac{2m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}-1} - \frac{4m^{\frac{1}{2}}}{m-1}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Упростим выражение по частям. Сначала выполним вычитание в скобках: $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1-x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}-x}$
Заметим, что знаменатель второй дроби можно разложить на множители: $x^{\frac{1}{2}}-x = x^{\frac{1}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}})$.
Теперь приведем дроби к общему знаменателю $x^{\frac{1}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}})$: $\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}})} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}})} = \frac{(x^{\frac{1}{2}})^2 - 1}{x^{\frac{1}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}})} = \frac{x-1}{x^{\frac{1}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}})}$
Числитель $x-1$ можно разложить по формуле разности квадратов: $x-1 = (x^{\frac{1}{2}}-1)(x^{\frac{1}{2}}+1)$.
Также заметим, что $x^{\frac{1}{2}}-1 = -(1-x^{\frac{1}{2}})$. Подставим это в нашу дробь: $\frac{(x^{\frac{1}{2}}-1)(x^{\frac{1}{2}}+1)}{x^{\frac{1}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}})} = \frac{-(1-x^{\frac{1}{2}})(1+x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}})}$
Сокращаем на $(1-x^{\frac{1}{2}})$ (при условии, что $x \neq 1$) и получаем: $-\frac{1+x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$
Теперь умножим результат на первую дробь из исходного выражения: $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1+x^{\frac{1}{2}}} \cdot \left( -\frac{1+x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \right)$
Сокращаем $x^{\frac{1}{2}}$ в числителе и знаменателе, а также $(1+x^{\frac{1}{2}})$. В итоге остается: $-1$
Ответ: $-1$

2) Упростим выражение по частям. Сначала преобразуем первый множитель. Числитель $m + 2m^{\frac{1}{2}} + 1$ является полным квадратом: $m + 2m^{\frac{1}{2}} + 1 = (m^{\frac{1}{2}})^2 + 2 \cdot m^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^2 = (m^{\frac{1}{2}} + 1)^2$
Таким образом, первый множитель равен: $\frac{(m^{\frac{1}{2}} + 1)^2}{2m^{\frac{1}{2}}}$
Теперь упростим выражение в скобках: $\frac{2m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}-1} - \frac{4m^{\frac{1}{2}}}{m-1}$
Знаменатель второй дроби $m-1$ можно разложить как разность квадратов: $m-1 = (m^{\frac{1}{2}}-1)(m^{\frac{1}{2}}+1)$.
Приведем дроби к общему знаменателю $m-1$: $\frac{2m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{2}}+1)}{m-1} - \frac{4m^{\frac{1}{2}}}{m-1} = \frac{2m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{2}}+1) - 4m^{\frac{1}{2}}}{m-1}$
Раскроем скобки в числителе и упростим: $\frac{2m + 2m^{\frac{1}{2}} - 4m^{\frac{1}{2}}}{m-1} = \frac{2m - 2m^{\frac{1}{2}}}{m-1}$
Вынесем общий множитель в числителе: $\frac{2m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{2}}-1)}{m-1} = \frac{2m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{2}}-1)}{(m^{\frac{1}{2}}-1)(m^{\frac{1}{2}}+1)}$
Сокращаем на $(m^{\frac{1}{2}}-1)$ (при условии, что $m \neq 1$): $\frac{2m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}+1}$
Теперь перемножим оба упрощенных выражения: $\frac{(m^{\frac{1}{2}} + 1)^2}{2m^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}+1}$
Сокращаем $2m^{\frac{1}{2}}$ в числителе и знаменателе и один множитель $(m^{\frac{1}{2}}+1)$. Получаем: $m^{\frac{1}{2}} + 1$
Ответ: $m^{\frac{1}{2}} + 1$