Номер 743, страница 322 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 743, страница 322.

Условие.

743. Разложить на множители многочлен:

1) $4x^4 + 4x^3 - 25x^2 - x + 6;$

2) $x^4 - 2x^3 - 14x^2 - 6x + 5.$

Решение 2.

Решение 3.

1) Для разложения многочлена $P(x) = 4x^4 + 4x^3 - 25x^2 - x + 6$ на множители воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни имеют вид $p/q$, где $p$ — делитель свободного члена 6, а $q$ — делитель старшего коэффициента 4.
Делители числа 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Делители числа 4: $\pm1, \pm2, \pm4$.
Проверим один из возможных корней, например, $x=2$.
$P(2) = 4(2)^4 + 4(2)^3 - 25(2)^2 - 2 + 6 = 4 \cdot 16 + 4 \cdot 8 - 25 \cdot 4 - 2 + 6 = 64 + 32 - 100 - 2 + 6 = 0$.
Так как $P(2)=0$, то $x=2$ является корнем многочлена, а $(x-2)$ — его множителем. Разделим многочлен $P(x)$ на $(x-2)$ столбиком или по схеме Горнера.
$(4x^4 + 4x^3 - 25x^2 - x + 6) : (x - 2) = 4x^3 + 12x^2 - x - 3$.
Теперь разложим на множители кубический многочлен $4x^3 + 12x^2 - x - 3$. Сгруппируем слагаемые:
$4x^3 + 12x^2 - x - 3 = (4x^3 + 12x^2) - (x + 3) = 4x^2(x + 3) - 1(x + 3) = (4x^2 - 1)(x + 3)$.
Выражение $4x^2 - 1$ является разностью квадратов:
$4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x - 1)(2x + 1)$.
Собирая все множители вместе, получаем:
$4x^4 + 4x^3 - 25x^2 - x + 6 = (x - 2)(x + 3)(2x - 1)(2x + 1)$.
Ответ: $(x - 2)(x + 3)(2x - 1)(2x + 1)$.

2) Разложим на множители многочлен $P(x) = x^4 - 2x^3 - 14x^2 - 6x + 5$.
Найдем его целые корни, которые должны быть делителями свободного члена 5. Возможные целые корни: $\pm1, \pm5$.
Проверим $x=-1$:
$P(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^3 - 14(-1)^2 - 6(-1) + 5 = 1 - 2(-1) - 14(1) + 6 + 5 = 1 + 2 - 14 + 6 + 5 = 0$.
Так как $P(-1)=0$, то $(x+1)$ является множителем многочлена. Выполним деление $P(x)$ на $(x+1)$:
$(x^4 - 2x^3 - 14x^2 - 6x + 5) : (x + 1) = x^3 - 3x^2 - 11x + 5$.
Теперь нужно разложить на множители кубический многочлен $Q(x) = x^3 - 3x^2 - 11x + 5$. Его возможные целые корни также являются делителями числа 5, то есть $\pm1, \pm5$.
Проверим $x=5$:
$Q(5) = 5^3 - 3(5^2) - 11(5) + 5 = 125 - 3 \cdot 25 - 55 + 5 = 125 - 75 - 55 + 5 = 0$.
Так как $Q(5)=0$, то $(x-5)$ является множителем $Q(x)$. Разделим $Q(x)$ на $(x-5)$:
$(x^3 - 3x^2 - 11x + 5) : (x - 5) = x^2 + 2x - 1$.
Осталось рассмотреть квадратный трехчлен $x^2 + 2x - 1$. Найдем его дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.
Поскольку дискриминант $D=8$ не является полным квадратом, у трехчлена нет рациональных корней, и он неразложим на линейные множители с рациональными коэффициентами.
Таким образом, окончательное разложение исходного многочлена на множители имеет вид:
$x^4 - 2x^3 - 14x^2 - 6x + 5 = (x + 1)(x - 5)(x^2 + 2x - 1)$.
Ответ: $(x + 1)(x - 5)(x^2 + 2x - 1)$.