Номер 749, страница 322 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 749, страница 322.
№749 (с. 322)
Условие. №749 (с. 322)
скриншот условия

749. Упростить выражение и найти его значение:
1) $(1 + \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}) \cdot (1 - \sqrt{\frac{a-x}{a+x}})$ при $a=5, x=4;$
2) $\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{a-\sqrt{a^2-x^2}} - \frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{a+\sqrt{a^2-x^2}}$ при $a=3, x=\sqrt{5}.$
Решение 1. №749 (с. 322)


Решение 2. №749 (с. 322)

Решение 3. №749 (с. 322)
1)
Данное выражение представляет собой произведение разности и суммы двух чисел, что соответствует формуле разности квадратов $(b+c)(b-c) = b^2 - c^2$.
Воспользуемся этой формулой для упрощения:
$\left(1 + \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right) \cdot \left(1 - \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right) = 1^2 - \left(\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right)^2 = 1 - \frac{a-x}{a+x}$
Теперь приведем полученное выражение к общему знаменателю:
$1 - \frac{a-x}{a+x} = \frac{a+x}{a+x} - \frac{a-x}{a+x} = \frac{(a+x) - (a-x)}{a+x} = \frac{a+x-a+x}{a+x} = \frac{2x}{a+x}$
Подставим заданные значения $a=5$ и $x=4$ в упрощенное выражение:
$\frac{2x}{a+x} = \frac{2 \cdot 4}{5+4} = \frac{8}{9}$
Ответ: $\frac{8}{9}$.
2)
Для упрощения выражения приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей исходных дробей.
Знаменатель: $(a-\sqrt{a^2-x^2})(a+\sqrt{a^2-x^2})$. Применим формулу разности квадратов:
$(a-\sqrt{a^2-x^2})(a+\sqrt{a^2-x^2}) = a^2 - (\sqrt{a^2-x^2})^2 = a^2 - (a^2-x^2) = a^2-a^2+x^2=x^2$.
Числитель итоговой дроби будет равен $(a+\sqrt{a^2-x^2})^2 - (a-\sqrt{a^2-x^2})^2$. Это также разность квадратов вида $B^2 - C^2 = (B-C)(B+C)$, где $B = a+\sqrt{a^2-x^2}$ и $C = a-\sqrt{a^2-x^2}$.
Найдем $B-C$ и $B+C$:
$B-C = (a+\sqrt{a^2-x^2}) - (a-\sqrt{a^2-x^2}) = a+\sqrt{a^2-x^2} - a+\sqrt{a^2-x^2} = 2\sqrt{a^2-x^2}$
$B+C = (a+\sqrt{a^2-x^2}) + (a-\sqrt{a^2-x^2}) = 2a$
Следовательно, числитель равен произведению $(B-C)(B+C) = (2\sqrt{a^2-x^2})(2a) = 4a\sqrt{a^2-x^2}$.
Таким образом, исходное выражение упрощается до вида:
$\frac{4a\sqrt{a^2-x^2}}{x^2}$
Теперь подставим в него значения $a=3$ и $x=\sqrt{5}$:
$\frac{4 \cdot 3 \cdot \sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2}}{(\sqrt{5})^2} = \frac{12 \cdot \sqrt{9-5}}{5} = \frac{12 \cdot \sqrt{4}}{5} = \frac{12 \cdot 2}{5} = \frac{24}{5}$
Ответ: $\frac{24}{5}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 749 расположенного на странице 322 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №749 (с. 322), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.