Номер 749, страница 322 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 749, страница 322.

Условие.

749. Упростить выражение и найти его значение:

1) $(1 + \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}) \cdot (1 - \sqrt{\frac{a-x}{a+x}})$ при $a=5, x=4;$

2) $\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{a-\sqrt{a^2-x^2}} - \frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{a+\sqrt{a^2-x^2}}$ при $a=3, x=\sqrt{5}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Данное выражение представляет собой произведение разности и суммы двух чисел, что соответствует формуле разности квадратов $(b+c)(b-c) = b^2 - c^2$.

Воспользуемся этой формулой для упрощения:

$\left(1 + \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right) \cdot \left(1 - \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right) = 1^2 - \left(\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right)^2 = 1 - \frac{a-x}{a+x}$

Теперь приведем полученное выражение к общему знаменателю:

$1 - \frac{a-x}{a+x} = \frac{a+x}{a+x} - \frac{a-x}{a+x} = \frac{(a+x) - (a-x)}{a+x} = \frac{a+x-a+x}{a+x} = \frac{2x}{a+x}$

Подставим заданные значения $a=5$ и $x=4$ в упрощенное выражение:

$\frac{2x}{a+x} = \frac{2 \cdot 4}{5+4} = \frac{8}{9}$

Ответ: $\frac{8}{9}$.

2)

Для упрощения выражения приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей исходных дробей.

Знаменатель: $(a-\sqrt{a^2-x^2})(a+\sqrt{a^2-x^2})$. Применим формулу разности квадратов:

$(a-\sqrt{a^2-x^2})(a+\sqrt{a^2-x^2}) = a^2 - (\sqrt{a^2-x^2})^2 = a^2 - (a^2-x^2) = a^2-a^2+x^2=x^2$.

Числитель итоговой дроби будет равен $(a+\sqrt{a^2-x^2})^2 - (a-\sqrt{a^2-x^2})^2$. Это также разность квадратов вида $B^2 - C^2 = (B-C)(B+C)$, где $B = a+\sqrt{a^2-x^2}$ и $C = a-\sqrt{a^2-x^2}$.

Найдем $B-C$ и $B+C$:

$B-C = (a+\sqrt{a^2-x^2}) - (a-\sqrt{a^2-x^2}) = a+\sqrt{a^2-x^2} - a+\sqrt{a^2-x^2} = 2\sqrt{a^2-x^2}$

$B+C = (a+\sqrt{a^2-x^2}) + (a-\sqrt{a^2-x^2}) = 2a$

Следовательно, числитель равен произведению $(B-C)(B+C) = (2\sqrt{a^2-x^2})(2a) = 4a\sqrt{a^2-x^2}$.

Таким образом, исходное выражение упрощается до вида:

$\frac{4a\sqrt{a^2-x^2}}{x^2}$

Теперь подставим в него значения $a=3$ и $x=\sqrt{5}$:

$\frac{4 \cdot 3 \cdot \sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2}}{(\sqrt{5})^2} = \frac{12 \cdot \sqrt{9-5}}{5} = \frac{12 \cdot \sqrt{4}}{5} = \frac{12 \cdot 2}{5} = \frac{24}{5}$

Ответ: $\frac{24}{5}$.