Номер 747, страница 322 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 747, страница 322.

Условие.

747. 1) $\frac{a}{a^2 - 1} + \frac{a^2 + a - 1}{a^3 - a^2 + a - 1} + \frac{a^2 - a - 1}{a^3 + a^2 + a + 1} - \frac{2a^3}{a^4 - 1};$

2) $\frac{1}{a^2 + 5a + 6} + \frac{2a}{a^2 + 4a + 3} + \frac{1}{(a+1)^2 + a + 1} - \frac{2}{a+3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Упростим выражение $\frac{a}{a^2-1} + \frac{a^2+a-1}{a^3-a^2+a-1} + \frac{a^2-a-1}{a^3+a^2+a+1} - \frac{2a^3}{a^4-1}$.

Для начала разложим на множители знаменатели каждой дроби:

• $a^2-1 = (a-1)(a+1)$
• $a^3-a^2+a-1 = a^2(a-1)+(a-1) = (a-1)(a^2+1)$
• $a^3+a^2+a+1 = a^2(a+1)+(a+1) = (a+1)(a^2+1)$
• $a^4-1 = (a^2-1)(a^2+1) = (a-1)(a+1)(a^2+1)$

Перепишем исходное выражение с разложенными знаменателями:

$\frac{a}{(a-1)(a+1)} + \frac{a^2+a-1}{(a-1)(a^2+1)} + \frac{a^2-a-1}{(a+1)(a^2+1)} - \frac{2a^3}{(a-1)(a+1)(a^2+1)}$

Сгруппируем второе и третье слагаемые и приведем их к общему знаменателю $(a-1)(a+1)(a^2+1)$:

$\frac{a^2+a-1}{(a-1)(a^2+1)} + \frac{a^2-a-1}{(a+1)(a^2+1)} = \frac{(a^2+a-1)(a+1) + (a^2-a-1)(a-1)}{(a-1)(a+1)(a^2+1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(a^3+a^2+a^2+a-a-1) + (a^3-a^2-a^2+a-a+1) = (a^3+2a^2-1) + (a^3-2a^2+1) = 2a^3$

Таким образом, сумма второго и третьего слагаемых равна:

$\frac{2a^3}{(a-1)(a+1)(a^2+1)} = \frac{2a^3}{a^4-1}$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$\frac{a}{a^2-1} + \frac{2a^3}{a^4-1} - \frac{2a^3}{a^4-1}$

Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются:

$\frac{a}{a^2-1} + 0 = \frac{a}{a^2-1}$

Ответ: $\frac{a}{a^2-1}$

2) Упростим выражение $\frac{1}{a^2+5a+6} + \frac{2a}{a^2+4a+3} + \frac{1}{(a+1)^2+a+1} - \frac{2}{a+3}$.

Разложим на множители знаменатели:

• $a^2+5a+6 = (a+2)(a+3)$ (корни квадратного трехчлена -2 и -3)
• $a^2+4a+3 = (a+1)(a+3)$ (корни квадратного трехчлена -1 и -3)
• $(a+1)^2+a+1 = a^2+2a+1+a+1 = a^2+3a+2 = (a+1)(a+2)$
• $a+3$ - уже является простым множителем.

Выражение принимает вид:

$\frac{1}{(a+2)(a+3)} + \frac{2a}{(a+1)(a+3)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} - \frac{2}{a+3}$

Сгруппируем слагаемые. Объединим первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым.

Сумма первой пары:

$\frac{1}{(a+2)(a+3)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} = \frac{a+1+a+3}{(a+1)(a+2)(a+3)} = \frac{2a+4}{(a+1)(a+2)(a+3)} = \frac{2(a+2)}{(a+1)(a+2)(a+3)} = \frac{2}{(a+1)(a+3)}$

Сумма второй пары:

$\frac{2a}{(a+1)(a+3)} - \frac{2}{a+3} = \frac{2a-2(a+1)}{(a+1)(a+3)} = \frac{2a-2a-2}{(a+1)(a+3)} = \frac{-2}{(a+1)(a+3)}$

Теперь сложим полученные результаты:

$\frac{2}{(a+1)(a+3)} + \frac{-2}{(a+1)(a+3)} = \frac{2-2}{(a+1)(a+3)} = \frac{0}{(a+1)(a+3)} = 0$

Ответ: $0$