Номер 747, страница 322 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 747, страница 322.
№747 (с. 322)
Условие. №747 (с. 322)
скриншот условия

747. 1) $\frac{a}{a^2 - 1} + \frac{a^2 + a - 1}{a^3 - a^2 + a - 1} + \frac{a^2 - a - 1}{a^3 + a^2 + a + 1} - \frac{2a^3}{a^4 - 1};$
2) $\frac{1}{a^2 + 5a + 6} + \frac{2a}{a^2 + 4a + 3} + \frac{1}{(a+1)^2 + a + 1} - \frac{2}{a+3}.$
Решение 1. №747 (с. 322)


Решение 2. №747 (с. 322)


Решение 3. №747 (с. 322)
1) Упростим выражение $\frac{a}{a^2-1} + \frac{a^2+a-1}{a^3-a^2+a-1} + \frac{a^2-a-1}{a^3+a^2+a+1} - \frac{2a^3}{a^4-1}$.
Для начала разложим на множители знаменатели каждой дроби:
- $a^2-1 = (a-1)(a+1)$
- $a^3-a^2+a-1 = a^2(a-1)+(a-1) = (a-1)(a^2+1)$
- $a^3+a^2+a+1 = a^2(a+1)+(a+1) = (a+1)(a^2+1)$
- $a^4-1 = (a^2-1)(a^2+1) = (a-1)(a+1)(a^2+1)$
Перепишем исходное выражение с разложенными знаменателями:
$\frac{a}{(a-1)(a+1)} + \frac{a^2+a-1}{(a-1)(a^2+1)} + \frac{a^2-a-1}{(a+1)(a^2+1)} - \frac{2a^3}{(a-1)(a+1)(a^2+1)}$
Сгруппируем второе и третье слагаемые и приведем их к общему знаменателю $(a-1)(a+1)(a^2+1)$:
$\frac{a^2+a-1}{(a-1)(a^2+1)} + \frac{a^2-a-1}{(a+1)(a^2+1)} = \frac{(a^2+a-1)(a+1) + (a^2-a-1)(a-1)}{(a-1)(a+1)(a^2+1)}$
Раскроем скобки в числителе:
$(a^3+a^2+a^2+a-a-1) + (a^3-a^2-a^2+a-a+1) = (a^3+2a^2-1) + (a^3-2a^2+1) = 2a^3$
Таким образом, сумма второго и третьего слагаемых равна:
$\frac{2a^3}{(a-1)(a+1)(a^2+1)} = \frac{2a^3}{a^4-1}$
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$\frac{a}{a^2-1} + \frac{2a^3}{a^4-1} - \frac{2a^3}{a^4-1}$
Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются:
$\frac{a}{a^2-1} + 0 = \frac{a}{a^2-1}$
Ответ: $\frac{a}{a^2-1}$
2) Упростим выражение $\frac{1}{a^2+5a+6} + \frac{2a}{a^2+4a+3} + \frac{1}{(a+1)^2+a+1} - \frac{2}{a+3}$.
Разложим на множители знаменатели:
- $a^2+5a+6 = (a+2)(a+3)$ (корни квадратного трехчлена -2 и -3)
- $a^2+4a+3 = (a+1)(a+3)$ (корни квадратного трехчлена -1 и -3)
- $(a+1)^2+a+1 = a^2+2a+1+a+1 = a^2+3a+2 = (a+1)(a+2)$
- $a+3$ - уже является простым множителем.
Выражение принимает вид:
$\frac{1}{(a+2)(a+3)} + \frac{2a}{(a+1)(a+3)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} - \frac{2}{a+3}$
Сгруппируем слагаемые. Объединим первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым.
Сумма первой пары:
$\frac{1}{(a+2)(a+3)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} = \frac{a+1+a+3}{(a+1)(a+2)(a+3)} = \frac{2a+4}{(a+1)(a+2)(a+3)} = \frac{2(a+2)}{(a+1)(a+2)(a+3)} = \frac{2}{(a+1)(a+3)}$
Сумма второй пары:
$\frac{2a}{(a+1)(a+3)} - \frac{2}{a+3} = \frac{2a-2(a+1)}{(a+1)(a+3)} = \frac{2a-2a-2}{(a+1)(a+3)} = \frac{-2}{(a+1)(a+3)}$
Теперь сложим полученные результаты:
$\frac{2}{(a+1)(a+3)} + \frac{-2}{(a+1)(a+3)} = \frac{2-2}{(a+1)(a+3)} = \frac{0}{(a+1)(a+3)} = 0$
Ответ: $0$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 747 расположенного на странице 322 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №747 (с. 322), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.