Номер 745, страница 322 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 745, страница 322.

Условие.

745. Найти разложение бинома:

1) $(x-1)^5$;

2) $(a+3)^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для разложения бинома используется формула бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^n a^0 b^n$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — это биномиальные коэффициенты. Эти коэффициенты также можно найти, используя треугольник Паскаля.

1) $(x - 1)^5$

В данном случае $a = x$, $b = -1$ и $n = 5$.

Найдем биномиальные коэффициенты $C_5^k$ для $k$ от 0 до 5. Они соответствуют строке для $n=5$ в треугольнике Паскаля: 1, 5, 10, 10, 5, 1.

Применим формулу бинома Ньютона:

$(x - 1)^5 = (x + (-1))^5 = C_5^0 x^5 (-1)^0 + C_5^1 x^4 (-1)^1 + C_5^2 x^3 (-1)^2 + C_5^3 x^2 (-1)^3 + C_5^4 x^1 (-1)^4 + C_5^5 x^0 (-1)^5$

Подставим значения коэффициентов и выполним вычисления:

$= 1 \cdot x^5 \cdot 1 + 5 \cdot x^4 \cdot (-1) + 10 \cdot x^3 \cdot 1 + 10 \cdot x^2 \cdot (-1) + 5 \cdot x \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-1)$

Упростим выражение:

$= x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1$

Ответ: $x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1$

2) $(a + 3)^4$

В данном случае $a = a$, $b = 3$ и $n = 4$.

Найдем биномиальные коэффициенты $C_4^k$ для $k$ от 0 до 4. Они соответствуют строке для $n=4$ в треугольнике Паскаля: 1, 4, 6, 4, 1.

Применим формулу бинома Ньютона:

$(a + 3)^4 = C_4^0 a^4 3^0 + C_4^1 a^3 3^1 + C_4^2 a^2 3^2 + C_4^3 a^1 3^3 + C_4^4 a^0 3^4$

Подставим значения коэффициентов и выполним вычисления:

$= 1 \cdot a^4 \cdot 1 + 4 \cdot a^3 \cdot 3 + 6 \cdot a^2 \cdot 9 + 4 \cdot a \cdot 27 + 1 \cdot 1 \cdot 81$

Упростим выражение:

$= a^4 + 12a^3 + 54a^2 + 108a + 81$

Ответ: $a^4 + 12a^3 + 54a^2 + 108a + 81$