Номер 748, страница 322 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 748, страница 322.
№748 (с. 322)
Условие. №748 (с. 322)
скриншот условия

748. 1) $ \frac{1}{4+4\sqrt{a}} - \frac{1}{2-2a} + \frac{1}{4-4\sqrt{a}} $
2) $ \frac{a\sqrt{2} + a - \sqrt{2} - 1}{a\sqrt{2} - 2 - \sqrt{2} + 2a} $
Решение 1. №748 (с. 322)


Решение 2. №748 (с. 322)

Решение 3. №748 (с. 322)
1) Упростим выражение $ \frac{1}{4+4\sqrt{a}} - \frac{1}{2-2a} + \frac{1}{4-4\sqrt{a}} $.
Сначала сгруппируем первое и третье слагаемые, так как их знаменатели содержат сопряженные выражения:
$ \left( \frac{1}{4+4\sqrt{a}} + \frac{1}{4-4\sqrt{a}} \right) - \frac{1}{2-2a} $
В знаменателях первой и третьей дробей вынесем общий множитель 4 за скобки. В знаменателе второй дроби вынесем 2 за скобки.
$ \left( \frac{1}{4(1+\sqrt{a})} + \frac{1}{4(1-\sqrt{a})} \right) - \frac{1}{2(1-a)} $
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Общий знаменатель для них будет $4(1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a})$. Используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, получаем:
$ 4(1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a}) = 4(1^2 - (\sqrt{a})^2) = 4(1-a) $
Выполним сложение дробей в скобках:
$ \frac{1 \cdot (1-\sqrt{a}) + 1 \cdot (1+\sqrt{a})}{4(1-a)} - \frac{1}{2(1-a)} = \frac{1-\sqrt{a}+1+\sqrt{a}}{4(1-a)} - \frac{1}{2(1-a)} $
Упростим числитель первой дроби:
$ \frac{2}{4(1-a)} - \frac{1}{2(1-a)} $
Сократим первую дробь на 2:
$ \frac{1}{2(1-a)} - \frac{1}{2(1-a)} = 0 $
Данное равенство верно при всех допустимых значениях $a$, для которых знаменатели не обращаются в нуль, т.е. при $a \ge 0$ и $a \neq 1$.
Ответ: $0$
2) Упростим выражение $ \frac{a\sqrt{2} + a - \sqrt{2} - 1}{a\sqrt{2} - 2 - \sqrt{2} + 2a} $.
Для упрощения дроби разложим на множители ее числитель и знаменатель методом группировки.
Разложим на множители числитель $a\sqrt{2} + a - \sqrt{2} - 1$:
$ (a\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (a - 1) = \sqrt{2}(a - 1) + 1(a - 1) = (a - 1)(\sqrt{2} + 1) $
Разложим на множители знаменатель $a\sqrt{2} - 2 - \sqrt{2} + 2a$. Сначала сгруппируем слагаемые:
$ (a\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (2a - 2) = \sqrt{2}(a - 1) + 2(a - 1) = (a - 1)(\sqrt{2} + 2) $
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$ \frac{(a - 1)(\sqrt{2} + 1)}{(a - 1)(\sqrt{2} + 2)} $
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неравенства знаменателя нулю: $(a - 1)(\sqrt{2} + 2) \neq 0$. Так как $\sqrt{2}+2 \neq 0$, то $a-1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$. При этом условии мы можем сократить дробь на общий множитель $(a-1)$:
$ \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 2} $
Для дальнейшего упрощения вынесем $\sqrt{2}$ в знаменателе за скобки:
$ \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})} $
Сократим дробь на $(\sqrt{2} + 1)$:
$ \frac{1}{\sqrt{2}} $
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$ \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 748 расположенного на странице 322 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №748 (с. 322), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.