Номер 748, страница 322 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 748, страница 322.

Условие.

748. 1) $ \frac{1}{4+4\sqrt{a}} - \frac{1}{2-2a} + \frac{1}{4-4\sqrt{a}} $

2) $ \frac{a\sqrt{2} + a - \sqrt{2} - 1}{a\sqrt{2} - 2 - \sqrt{2} + 2a} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Упростим выражение $ \frac{1}{4+4\sqrt{a}} - \frac{1}{2-2a} + \frac{1}{4-4\sqrt{a}} $.

Сначала сгруппируем первое и третье слагаемые, так как их знаменатели содержат сопряженные выражения:

$ \left( \frac{1}{4+4\sqrt{a}} + \frac{1}{4-4\sqrt{a}} \right) - \frac{1}{2-2a} $

В знаменателях первой и третьей дробей вынесем общий множитель 4 за скобки. В знаменателе второй дроби вынесем 2 за скобки.

$ \left( \frac{1}{4(1+\sqrt{a})} + \frac{1}{4(1-\sqrt{a})} \right) - \frac{1}{2(1-a)} $

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Общий знаменатель для них будет $4(1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a})$. Используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, получаем:

$ 4(1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a}) = 4(1^2 - (\sqrt{a})^2) = 4(1-a) $

Выполним сложение дробей в скобках:

$ \frac{1 \cdot (1-\sqrt{a}) + 1 \cdot (1+\sqrt{a})}{4(1-a)} - \frac{1}{2(1-a)} = \frac{1-\sqrt{a}+1+\sqrt{a}}{4(1-a)} - \frac{1}{2(1-a)} $

Упростим числитель первой дроби:

$ \frac{2}{4(1-a)} - \frac{1}{2(1-a)} $

Сократим первую дробь на 2:

$ \frac{1}{2(1-a)} - \frac{1}{2(1-a)} = 0 $

Данное равенство верно при всех допустимых значениях $a$, для которых знаменатели не обращаются в нуль, т.е. при $a \ge 0$ и $a \neq 1$.

Ответ: $0$

2) Упростим выражение $ \frac{a\sqrt{2} + a - \sqrt{2} - 1}{a\sqrt{2} - 2 - \sqrt{2} + 2a} $.

Для упрощения дроби разложим на множители ее числитель и знаменатель методом группировки.

Разложим на множители числитель $a\sqrt{2} + a - \sqrt{2} - 1$:

$ (a\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (a - 1) = \sqrt{2}(a - 1) + 1(a - 1) = (a - 1)(\sqrt{2} + 1) $

Разложим на множители знаменатель $a\sqrt{2} - 2 - \sqrt{2} + 2a$. Сначала сгруппируем слагаемые:

$ (a\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (2a - 2) = \sqrt{2}(a - 1) + 2(a - 1) = (a - 1)(\sqrt{2} + 2) $

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$ \frac{(a - 1)(\sqrt{2} + 1)}{(a - 1)(\sqrt{2} + 2)} $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неравенства знаменателя нулю: $(a - 1)(\sqrt{2} + 2) \neq 0$. Так как $\sqrt{2}+2 \neq 0$, то $a-1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$. При этом условии мы можем сократить дробь на общий множитель $(a-1)$:

$ \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 2} $

Для дальнейшего упрощения вынесем $\sqrt{2}$ в знаменателе за скобки:

$ \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})} $

Сократим дробь на $(\sqrt{2} + 1)$:

$ \frac{1}{\sqrt{2}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$ \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $