Номер 753, страница 323 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 753, страница 323.

Условие.

753. $\frac{a^{-1}b^{-2} - a^{-2}b^{-1}}{a^{\frac{5}{3}}b^{-2} - b^{\frac{5}{3}}a^{-2}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}$

Решение 2.

Решение 3.

Упростим данное выражение по шагам. Исходное выражение:

$$ \frac{a^{-1}b^{-2} - a^{-2}b^{-1}}{a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} - b^{-\frac{5}{3}}a^{-2}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} $$

Сначала преобразуем дробную часть выражения. Для этого в числителе и знаменателе вынесем за скобки общий множитель.

В числителе $a^{-1}b^{-2} - a^{-2}b^{-1}$ вынесем за скобки $a^{-2}b^{-2}$ (сомножитель с наименьшими степенями):

$$ a^{-1}b^{-2} - a^{-2}b^{-1} = a^{-2}b^{-2}(a^{-1-(-2)}b^{-2-(-2)} - a^{-2-(-2)}b^{-1-(-2)}) = a^{-2}b^{-2}(a^{1}b^{0} - a^{0}b^{1}) = a^{-2}b^{-2}(a - b) $$

В знаменателе $a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} - b^{-\frac{5}{3}}a^{-2}$ также вынесем за скобки $a^{-2}b^{-2}$:

$$ a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} - b^{-\frac{5}{3}}a^{-2} = a^{-2}b^{-2}(a^{-\frac{5}{3}-(-2)}b^{-2-(-2)} - b^{-\frac{5}{3}-(-2)}a^{-2-(-2)}) $$

Упростим показатель степени, который получился в скобках: $ -\frac{5}{3}-(-2) = -\frac{5}{3} + 2 = -\frac{5}{3} + \frac{6}{3} = \frac{1}{3} $. Тогда знаменатель примет вид:

$$ a^{-2}b^{-2}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) $$

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь и сократим общий множитель $a^{-2}b^{-2}$:

$$ \frac{a^{-2}b^{-2}(a - b)}{a^{-2}b^{-2}(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})} = \frac{a - b}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} $$

Далее, чтобы упростить полученную дробь, применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$. Для этого представим числитель $a - b$ как разность кубов выражений $a^{\frac{1}{3}}$ и $b^{\frac{1}{3}}$:

$$ a - b = (a^{\frac{1}{3}})^3 - (b^{\frac{1}{3}})^3 = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})((a^{\frac{1}{3}})^2 + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2) = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) $$

Подставим разложенный числитель в дробь и сократим:

$$ \frac{(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} = a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} $$

Теперь вернемся к исходному выражению, заменив дробь на полученный результат:

$$ (a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} $$

Выполним вычитание, приводя подобные слагаемые:

$$ a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} $$

Ответ: $a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$