Номер 756, страница 323 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 756, страница 323.

Условие.

756. $\left(\frac{3\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b^4}-9\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}-\frac{9}{\sqrt{b}}}\right)^{-2}-(b^2+18b+81)^{0,5}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данной задачи необходимо последовательно упростить выражение. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $b$.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

В выражении присутствуют квадратные корни и дроби, что накладывает следующие ограничения:

а) Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $b \ge 0$.

б) Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

$\sqrt[3]{b^4} - 9\sqrt[3]{b} \neq 0 \implies \sqrt[3]{b}(b-9) \neq 0 \implies b \neq 0$ и $b \neq 9$.

$\sqrt{b} - \frac{9}{\sqrt{b}} \neq 0 \implies \frac{b-9}{\sqrt{b}} \neq 0 \implies b \neq 9$ и $b > 0$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $b > 0$ и $b \neq 9$.

2. Упрощение выражения в скобках

Упростим каждое слагаемое в скобках по отдельности.

Первое слагаемое: $\frac{3\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b^4} - 9\sqrt[3]{b}}$. Вынесем общий множитель в знаменателе:

$\frac{3\sqrt[3]{b}}{b\sqrt[3]{b} - 9\sqrt[3]{b}} = \frac{3\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b}(b-9)} = \frac{3}{b-9}$.

Второе слагаемое: $\frac{1}{\sqrt{b} - \frac{9}{\sqrt{b}}}$. Преобразуем знаменатель, приведя к общему:

$\sqrt{b} - \frac{9}{\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{b})^2 - 9}{\sqrt{b}} = \frac{b-9}{\sqrt{b}}$.

Тогда второе слагаемое равно: $\frac{1}{\frac{b-9}{\sqrt{b}}} = \frac{\sqrt{b}}{b-9}$.

Теперь сложим полученные дроби:

$\frac{3}{b-9} + \frac{\sqrt{b}}{b-9} = \frac{3+\sqrt{b}}{b-9}$.

3. Возведение в степень и дальнейшее упрощение

Теперь необходимо возвести полученное выражение в степень -2:

$\left(\frac{3+\sqrt{b}}{b-9}\right)^{-2} = \left(\frac{b-9}{3+\sqrt{b}}\right)^{2}$.

Разложим числитель $b-9$ по формуле разности квадратов: $b-9 = (\sqrt{b})^2 - 3^2 = (\sqrt{b}-3)(\sqrt{b}+3)$.

$\left(\frac{(\sqrt{b}-3)(\sqrt{b}+3)}{3+\sqrt{b}}\right)^{2} = (\sqrt{b}-3)^2$.

Раскроем квадрат разности:

$(\sqrt{b}-3)^2 = (\sqrt{b})^2 - 2 \cdot \sqrt{b} \cdot 3 + 3^2 = b - 6\sqrt{b} + 9$.

4. Упрощение второго члена исходного выражения

Упростим $(b^2 + 18b + 81)^{0.5}$.

Выражение в скобках — это полный квадрат: $b^2 + 2 \cdot b \cdot 9 + 9^2 = (b+9)^2$.

Степень 0.5 эквивалентна квадратному корню:

$(b^2 + 18b + 81)^{0.5} = \sqrt{(b+9)^2} = |b+9|$.

Из ОДЗ мы знаем, что $b > 0$, следовательно, $b+9$ всегда будет положительным числом, поэтому $|b+9| = b+9$.

5. Финальное вычисление

Выполним вычитание, подставив упрощенные части в исходное выражение:

$(b - 6\sqrt{b} + 9) - (b+9) = b - 6\sqrt{b} + 9 - b - 9 = -6\sqrt{b}$.

Ответ: $-6\sqrt{b}$