Номер 758, страница 323 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 758, страница 323.

Условие.

758. Доказать, что

$\log_c \frac{2a+3b}{5} = \frac{\log_c a + \log_c b}{2}$,

если $a > 0$, $b > 0$, $13ab = 4a^2 + 9b^2$, $c > 0$, $c \neq 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства данного тождества начнем с преобразования заданного условия $13ab = 4a^2 + 9b^2$.

Перепишем данное равенство. Заметим, что выражение $4a^2 + 9b^2$ является частью формулы для квадрата суммы $(2a+3b)$. Формула квадрата суммы имеет вид: $(2a+3b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot (3b) + (3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2$.

Чтобы получить полный квадрат в правой части, добавим к обеим частям исходного равенства $13ab = 4a^2 + 9b^2$ слагаемое $12ab$:

$13ab + 12ab = 4a^2 + 12ab + 9b^2$

$25ab = (2a+3b)^2$

Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, то и $2a+3b > 0$. Следовательно, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей равенства:

$\sqrt{25ab} = \sqrt{(2a+3b)^2}$

$5\sqrt{ab} = 2a+3b$

Теперь разделим обе части на 5, чтобы получить выражение, стоящее под знаком логарифма в левой части доказываемого тождества:

$\sqrt{ab} = \frac{2a+3b}{5}$

Прологарифмируем обе части полученного равенства по основанию $c$. Условия $a>0, b>0, c>0, c\neq1$ гарантируют, что все логарифмы определены и все преобразования корректны.

$\log_c\left(\frac{2a+3b}{5}\right) = \log_c(\sqrt{ab})$

Преобразуем правую часть равенства, используя свойства логарифмов. Сначала применим свойство логарифма степени $\log_x(y^z) = z \log_x y$, учитывая, что $\sqrt{ab} = (ab)^{1/2}$:

$\log_c(\sqrt{ab}) = \log_c((ab)^{1/2}) = \frac{1}{2}\log_c(ab)$

Далее применим свойство логарифма произведения $\log_x(yz) = \log_x y + \log_x z$:

$\frac{1}{2}\log_c(ab) = \frac{1}{2}(\log_c a + \log_c b) = \frac{\log_c a + \log_c b}{2}$

Таким образом, мы показали, что $\log_c\frac{2a+3b}{5} = \frac{\log_c a + \log_c b}{2}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.