Номер 758, страница 323 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 758, страница 323.
№758 (с. 323)
Условие. №758 (с. 323)
скриншот условия

758. Доказать, что
$\log_c \frac{2a+3b}{5} = \frac{\log_c a + \log_c b}{2}$,
если $a > 0$, $b > 0$, $13ab = 4a^2 + 9b^2$, $c > 0$, $c \neq 1$.
Решение 1. №758 (с. 323)

Решение 2. №758 (с. 323)

Решение 3. №758 (с. 323)
Для доказательства данного тождества начнем с преобразования заданного условия $13ab = 4a^2 + 9b^2$.
Перепишем данное равенство. Заметим, что выражение $4a^2 + 9b^2$ является частью формулы для квадрата суммы $(2a+3b)$. Формула квадрата суммы имеет вид: $(2a+3b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot (3b) + (3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2$.
Чтобы получить полный квадрат в правой части, добавим к обеим частям исходного равенства $13ab = 4a^2 + 9b^2$ слагаемое $12ab$:
$13ab + 12ab = 4a^2 + 12ab + 9b^2$
$25ab = (2a+3b)^2$
Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, то и $2a+3b > 0$. Следовательно, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей равенства:
$\sqrt{25ab} = \sqrt{(2a+3b)^2}$
$5\sqrt{ab} = 2a+3b$
Теперь разделим обе части на 5, чтобы получить выражение, стоящее под знаком логарифма в левой части доказываемого тождества:
$\sqrt{ab} = \frac{2a+3b}{5}$
Прологарифмируем обе части полученного равенства по основанию $c$. Условия $a>0, b>0, c>0, c\neq1$ гарантируют, что все логарифмы определены и все преобразования корректны.
$\log_c\left(\frac{2a+3b}{5}\right) = \log_c(\sqrt{ab})$
Преобразуем правую часть равенства, используя свойства логарифмов. Сначала применим свойство логарифма степени $\log_x(y^z) = z \log_x y$, учитывая, что $\sqrt{ab} = (ab)^{1/2}$:
$\log_c(\sqrt{ab}) = \log_c((ab)^{1/2}) = \frac{1}{2}\log_c(ab)$
Далее применим свойство логарифма произведения $\log_x(yz) = \log_x y + \log_x z$:
$\frac{1}{2}\log_c(ab) = \frac{1}{2}(\log_c a + \log_c b) = \frac{\log_c a + \log_c b}{2}$
Таким образом, мы показали, что $\log_c\frac{2a+3b}{5} = \frac{\log_c a + \log_c b}{2}$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 758 расположенного на странице 323 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №758 (с. 323), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.