Номер 764, страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 764, страница 324.

Условие.

764. $\frac{\sin 2\alpha}{2(1 - 2\cos^2\alpha)} + \frac{\sin \alpha \cos(\pi - \alpha)}{1 - 2\sin^2\alpha}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

764.

Для упрощения данного выражения, выполним преобразования по шагам.

Исходное выражение:

$$ \frac{\sin(2\alpha)}{2(1 - 2\cos^2\alpha)} + \frac{\sin\alpha\cos(\pi - \alpha)}{1 - 2\sin^2\alpha} $$

1. Упростим знаменатели дробей, используя формулы косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$ и $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

Знаменатель первой дроби: $2(1 - 2\cos^2\alpha) = -2(2\cos^2\alpha - 1) = -2\cos(2\alpha)$.

Знаменатель второй дроби: $1 - 2\sin^2\alpha = \cos(2\alpha)$.

2. Упростим числитель второй дроби. Используем формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$.

Числитель второй дроби: $\sin\alpha\cos(\pi - \alpha) = \sin\alpha(-\cos\alpha) = -\sin\alpha\cos\alpha$.

Теперь применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $-\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

3. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$$ \frac{\sin(2\alpha)}{-2\cos(2\alpha)} + \frac{-\frac{1}{2}\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} $$

4. Упростим полученное выражение:

$$ -\frac{\sin(2\alpha)}{2\cos(2\alpha)} - \frac{\sin(2\alpha)}{2\cos(2\alpha)} = \frac{-\sin(2\alpha) - \sin(2\alpha)}{2\cos(2\alpha)} = \frac{-2\sin(2\alpha)}{2\cos(2\alpha)} $$

5. Сократим полученную дробь и воспользуемся определением тангенса $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$:

$$ -\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = -\tan(2\alpha) $$

Ответ: $-\tan(2\alpha)$.