Номер 770, страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 770, страница 324.

Условие.

Упростить выражение (770–774).

770. 1) $\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} - \text{tg} \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)$;

2) $\text{tg}^2 \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Рассмотрим выражение $\frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha - \sin\alpha} - \tg\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)$.

Сначала упростим первую дробь. Для этого разделим числитель и знаменатель на $\cos\alpha$, при условии, что $\cos\alpha \neq 0$:

$\frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha - \sin\alpha} = \frac{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{1 + \tg\alpha}{1 - \tg\alpha}$.

Теперь преобразуем второй член выражения, используя формулу тангенса суммы $\tg(x+y) = \frac{\tg x + \tg y}{1 - \tg x \tg y}$:

$\tg\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\tg\frac{\pi}{4} + \tg\alpha}{1 - \tg\frac{\pi}{4}\tg\alpha}$.

Поскольку $\tg\frac{\pi}{4} = 1$, получаем:

$\tg\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{1 + \tg\alpha}{1 - \tg\alpha}$.

Теперь подставим полученные результаты обратно в исходное выражение. Мы видим, что вычитаются два одинаковых выражения:

$\frac{1 + \tg\alpha}{1 - \tg\alpha} - \frac{1 + \tg\alpha}{1 - \tg\alpha} = 0$.

Ответ: $0$

2) Рассмотрим выражение $\tg^2\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha}$.

Упростим каждый член выражения, приведя их к функциям от угла $2\alpha$.

Первый член: используем формулу приведения $\tg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \ctg\alpha$. Затем выразим $\ctg^2\alpha$ через $\cos(2\alpha)$, используя формулы половинного угла:

$\tg^2\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \ctg^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\frac{1+\cos 2\alpha}{2}}{\frac{1-\cos 2\alpha}{2}} = \frac{1+\cos 2\alpha}{1-\cos 2\alpha}$.

Второй член уже содержит $\sin 2\alpha$. Таким образом, исходное выражение принимает вид:

$\frac{1+\cos 2\alpha}{1-\cos 2\alpha} - \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(1-\cos 2\alpha)(1 + \sin 2\alpha)$:

$\frac{(1+\cos 2\alpha)(1 + \sin 2\alpha) - (1-\cos 2\alpha)(1 - \sin 2\alpha)}{(1-\cos 2\alpha)(1 + \sin 2\alpha)}$.

Раскроем скобки в числителе:

$(1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \cos 2\alpha) - (1 - \sin 2\alpha - \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \cos 2\alpha)$

$= 1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \cos 2\alpha - 1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha - \sin 2\alpha \cos 2\alpha$

$= 2\sin 2\alpha + 2\cos 2\alpha = 2(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha)$.

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь.

Ответ: $\frac{2(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha)}{(1-\cos 2\alpha)(1 + \sin 2\alpha)}$