Номер 770, страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 770, страница 324.
№770 (с. 324)
Условие. №770 (с. 324)
скриншот условия

Упростить выражение (770–774).
770. 1) $\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} - \text{tg} \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)$;
2) $\text{tg}^2 \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha}$.
Решение 1. №770 (с. 324)


Решение 2. №770 (с. 324)

Решение 3. №770 (с. 324)
1) Рассмотрим выражение $\frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha - \sin\alpha} - \tg\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)$.
Сначала упростим первую дробь. Для этого разделим числитель и знаменатель на $\cos\alpha$, при условии, что $\cos\alpha \neq 0$:
$\frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha - \sin\alpha} = \frac{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{1 + \tg\alpha}{1 - \tg\alpha}$.
Теперь преобразуем второй член выражения, используя формулу тангенса суммы $\tg(x+y) = \frac{\tg x + \tg y}{1 - \tg x \tg y}$:
$\tg\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\tg\frac{\pi}{4} + \tg\alpha}{1 - \tg\frac{\pi}{4}\tg\alpha}$.
Поскольку $\tg\frac{\pi}{4} = 1$, получаем:
$\tg\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{1 + \tg\alpha}{1 - \tg\alpha}$.
Теперь подставим полученные результаты обратно в исходное выражение. Мы видим, что вычитаются два одинаковых выражения:
$\frac{1 + \tg\alpha}{1 - \tg\alpha} - \frac{1 + \tg\alpha}{1 - \tg\alpha} = 0$.
Ответ: $0$
2) Рассмотрим выражение $\tg^2\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha}$.
Упростим каждый член выражения, приведя их к функциям от угла $2\alpha$.
Первый член: используем формулу приведения $\tg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \ctg\alpha$. Затем выразим $\ctg^2\alpha$ через $\cos(2\alpha)$, используя формулы половинного угла:
$\tg^2\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \ctg^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\frac{1+\cos 2\alpha}{2}}{\frac{1-\cos 2\alpha}{2}} = \frac{1+\cos 2\alpha}{1-\cos 2\alpha}$.
Второй член уже содержит $\sin 2\alpha$. Таким образом, исходное выражение принимает вид:
$\frac{1+\cos 2\alpha}{1-\cos 2\alpha} - \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(1-\cos 2\alpha)(1 + \sin 2\alpha)$:
$\frac{(1+\cos 2\alpha)(1 + \sin 2\alpha) - (1-\cos 2\alpha)(1 - \sin 2\alpha)}{(1-\cos 2\alpha)(1 + \sin 2\alpha)}$.
Раскроем скобки в числителе:
$(1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \cos 2\alpha) - (1 - \sin 2\alpha - \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \cos 2\alpha)$
$= 1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \cos 2\alpha - 1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha - \sin 2\alpha \cos 2\alpha$
$= 2\sin 2\alpha + 2\cos 2\alpha = 2(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha)$.
Подставим упрощенный числитель обратно в дробь.
Ответ: $\frac{2(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha)}{(1-\cos 2\alpha)(1 + \sin 2\alpha)}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 770 расположенного на странице 324 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №770 (с. 324), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.