Номер 771, страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 771, страница 324.

Условие.

771. 1) $\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)};$

2) $\frac{\sin\alpha + 2\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)}{3\cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) - \sqrt{3}\cos\alpha};$

3) $\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta};$

4) $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для упрощения выражения $ \frac{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)} $ воспользуемся формулами синуса и косинуса суммы:
$ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $
$ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $
А также значениями синуса и косинуса для угла $ \frac{\pi}{4} $: $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Раскроем выражения в числителе и знаменателе.
Числитель: $$ \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = (\sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha) - (\cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha) $$ $$ = (\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha) - (\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha) $$ $$ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\sin\alpha $$

Знаменатель: $$ \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = (\sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha) + (\cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha) $$ $$ = (\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha) + (\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha) $$ $$ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha = \sqrt{2}\cos\alpha $$

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь: $$ \frac{\sqrt{2}\sin\alpha}{\sqrt{2}\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha $$

Ответ: $ \text{tg}\alpha $

2)

Упростим выражение $ \frac{\sin\alpha + 2\sin(\frac{\pi}{3} - \alpha)}{3\cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha} $.
Для этого используем формулы синуса разности и косинуса разности:
$ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $
$ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $
А также значения тригонометрических функций для углов $ \frac{\pi}{3} $ и $ \frac{\pi}{6} $:
$ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $
$ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $, $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Преобразуем числитель: $$ \sin\alpha + 2\sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \sin\alpha + 2(\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \cos\frac{\pi}{3}\sin\alpha) $$ $$ = \sin\alpha + 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha) = \sin\alpha + \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha $$

Преобразуем знаменатель: $$ 3\cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha = 3(\cos\frac{\pi}{6}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{6}\sin\alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha $$ $$ = 3(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{3}{2}\sin\alpha - \sqrt{3}\cos\alpha $$ $$ = (\frac{3\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})\cos\alpha + \frac{3}{2}\sin\alpha = (\frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}}{2})\cos\alpha + \frac{3}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{3}{2}\sin\alpha $$

Подставим полученные выражения в дробь: $$ \frac{\sqrt{3}\cos\alpha}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{3}{2}\sin\alpha} = \frac{\sqrt{3}\cos\alpha}{\frac{1}{2}(\sqrt{3}\cos\alpha + 3\sin\alpha)} = \frac{2\sqrt{3}\cos\alpha}{\sqrt{3}\cos\alpha + 3\sin\alpha} $$ Вынесем $ \sqrt{3} $ в знаменателе за скобки: $$ \frac{2\sqrt{3}\cos\alpha}{\sqrt{3}(\cos\alpha + \sqrt{3}\sin\alpha)} = \frac{2\cos\alpha}{\cos\alpha + \sqrt{3}\sin\alpha} $$

Ответ: $ \frac{2\cos\alpha}{\cos\alpha + \sqrt{3}\sin\alpha} $

3)

Упростим выражение $ \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta} $.
Выразим котангенсы через тангенсы, используя формулы $ \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} $ и $ \text{ctg}\beta = \frac{1}{\text{tg}\beta} $.
Преобразуем знаменатель: $$ \text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta = \frac{1}{\text{tg}\alpha} + \frac{1}{\text{tg}\beta} = \frac{\text{tg}\beta + \text{tg}\alpha}{\text{tg}\alpha \text{tg}\beta} $$

Теперь подставим преобразованный знаменатель в исходную дробь: $$ \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha \text{tg}\beta}} $$ Предполагая, что $ \text{tg}\alpha + \text{tg}\beta \neq 0 $, мы можем сократить это выражение: $$ (\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta) \cdot \frac{\text{tg}\alpha \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta} = \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta $$

Ответ: $ \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta $

4)

Раскроем скобки в выражении $ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 $, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $

$ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha $
$ (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha $

Сложим эти два выражения: $$ (\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha) + (\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha) $$ $$ = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha $$ Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, получаем: $$ = 1 + 1 = 2 $$

Ответ: $ 2 $