Номер 773, страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 773, страница 324.

Условие.

773. 1) $\frac{1 + \cos2\alpha}{2\cos\alpha}$

2) $\frac{\operatorname{tg}\alpha - \sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha + \sin\alpha}$

3) $\frac{\sin\alpha + \sin3\alpha + \sin5\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha + \cos5\alpha}$

4) $\frac{2\sin2\alpha + \sin4\alpha}{2\sin2\alpha - \sin4\alpha}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дано выражение: $ \frac{1 + \cos2\alpha}{2\cos\alpha} $

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 $.

Подставим эту формулу в числитель исходного выражения:

$ \frac{1 + (2\cos^2\alpha - 1)}{2\cos\alpha} = \frac{2\cos^2\alpha}{2\cos\alpha} $

Сократим дробь на $ 2\cos\alpha $ (при условии, что $ \cos\alpha \neq 0 $):

$ \frac{2\cos^2\alpha}{2\cos\alpha} = \cos\alpha $

Ответ: $ \cos\alpha $

2)

Дано выражение: $ \frac{\tg\alpha - \sin\alpha}{\tg\alpha + \sin\alpha} $

Заменим $ \tg\alpha $ на $ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $:

$ \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \sin\alpha}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \sin\alpha} $

Вынесем $ \sin\alpha $ за скобки в числителе и знаменателе (при условии, что $ \sin\alpha \neq 0 $):

$ \frac{\sin\alpha(\frac{1}{\cos\alpha} - 1)}{\sin\alpha(\frac{1}{\cos\alpha} + 1)} = \frac{\frac{1}{\cos\alpha} - 1}{\frac{1}{\cos\alpha} + 1} $

Приведем дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю $ \cos\alpha $:

$ \frac{\frac{1 - \cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{1 + \cos\alpha}{\cos\alpha}} $

Сократим на $ \cos\alpha $ (при условии, что $ \cos\alpha \neq 0 $):

$ \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha} $

Воспользуемся формулами половинного угла: $ 1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2} $ и $ 1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} $.

$ \frac{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \tg^2\frac{\alpha}{2} $

Ответ: $ \tg^2\frac{\alpha}{2} $

3)

Дано выражение: $ \frac{\sin\alpha + \sin3\alpha + \sin5\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha + \cos5\alpha} $

Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе:

$ \frac{(\sin5\alpha + \sin\alpha) + \sin3\alpha}{(\cos5\alpha + \cos\alpha) + \cos3\alpha} $

Применим формулы суммы синусов и суммы косинусов:
$ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $
$ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $

Для числителя: $ \sin5\alpha + \sin\alpha = 2\sin\frac{5\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} = 2\sin3\alpha\cos2\alpha $.
Для знаменателя: $ \cos5\alpha + \cos\alpha = 2\cos\frac{5\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} = 2\cos3\alpha\cos2\alpha $.

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{2\sin3\alpha\cos2\alpha + \sin3\alpha}{2\cos3\alpha\cos2\alpha + \cos3\alpha} $

Вынесем общие множители $ \sin3\alpha $ в числителе и $ \cos3\alpha $ в знаменателе:

$ \frac{\sin3\alpha(2\cos2\alpha + 1)}{\cos3\alpha(2\cos2\alpha + 1)} $

Сократим дробь на $ (2\cos2\alpha + 1) $ (при условии, что $ 2\cos2\alpha + 1 \neq 0 $):

$ \frac{\sin3\alpha}{\cos3\alpha} = \tg3\alpha $

Ответ: $ \tg3\alpha $

4)

Дано выражение: $ \frac{2\sin2\alpha + \sin4\alpha}{2\sin2\alpha - \sin4\alpha} $

Воспользуемся формулой синуса двойного угла для $ \sin4\alpha $: $ \sin4\alpha = 2\sin2\alpha\cos2\alpha $.

Подставим в исходное выражение:

$ \frac{2\sin2\alpha + 2\sin2\alpha\cos2\alpha}{2\sin2\alpha - 2\sin2\alpha\cos2\alpha} $

Вынесем общий множитель $ 2\sin2\alpha $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ \sin2\alpha \neq 0 $):

$ \frac{2\sin2\alpha(1 + \cos2\alpha)}{2\sin2\alpha(1 - \cos2\alpha)} = \frac{1 + \cos2\alpha}{1 - \cos2\alpha} $

Применим формулы косинуса двойного угла в виде: $ 1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha $ и $ 1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha $.

$ \frac{2\cos^2\alpha}{2\sin^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \ctg^2\alpha $

Ответ: $ \ctg^2\alpha $