Номер 774, страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 774, страница 324.

Условие.

774. 1) $\frac{\sin 2\alpha + \cos 2\alpha + 2\sin^2 \alpha}{\sin(-\alpha) - \sin(2,5\pi + \alpha)}$

2) $\frac{\cos 2\alpha - \sin 2\alpha - 2\cos^2 \alpha}{\cos(-\alpha) - \cos(2,5\pi + \alpha)}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Рассмотрим выражение $ \frac{\sin2\alpha + \cos2\alpha + 2\sin^2\alpha}{\sin(-\alpha) - \sin(2.5\pi + \alpha)} $.

Сначала упростим числитель: $ \sin2\alpha + \cos2\alpha + 2\sin^2\alpha $.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha $.
Подставим это в выражение для числителя:
$ \sin2\alpha + (1 - 2\sin^2\alpha) + 2\sin^2\alpha = \sin2\alpha + 1 $.
Теперь преобразуем $ \sin2\alpha + 1 $, используя формулу синуса двойного угла $ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $ и основное тригонометрическое тождество $ 1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha $:
$ \sin2\alpha + 1 = 2\sin\alpha\cos\alpha + \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 $.

Теперь упростим знаменатель: $ \sin(-\alpha) - \sin(2.5\pi + \alpha) $.
Поскольку синус — нечетная функция, $ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $.
Для второго слагаемого применим формулу приведения. Представим $ 2.5\pi $ как $ 2\pi + \frac{\pi}{2} $.
$ \sin(2.5\pi + \alpha) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha $.
Тогда знаменатель равен: $ -\sin\alpha - \cos\alpha = -(\sin\alpha + \cos\alpha) $.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$ \frac{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2}{-(\sin\alpha + \cos\alpha)} = -(\sin\alpha + \cos\alpha) $.

Ответ: $ -(\sin\alpha + \cos\alpha) $

2) Рассмотрим выражение $ \frac{\cos2\alpha - \sin2\alpha - 2\cos^2\alpha}{\cos(-\alpha) - \cos(2.5\pi + \alpha)} $.

Сначала упростим числитель: $ \cos2\alpha - \sin2\alpha - 2\cos^2\alpha $.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 $.
Подставим это в выражение для числителя:
$ (2\cos^2\alpha - 1) - \sin2\alpha - 2\cos^2\alpha = -1 - \sin2\alpha = -(\sin2\alpha + 1) $.
Как и в предыдущем задании, преобразуем это выражение:
$ -(\sin2\alpha + 1) = -(2\sin\alpha\cos\alpha + \sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = -(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 $.

Теперь упростим знаменатель: $ \cos(-\alpha) - \cos(2.5\pi + \alpha) $.
Поскольку косинус — четная функция, $ \cos(-\alpha) = \cos\alpha $.
Для второго слагаемого применим формулу приведения. Представим $ 2.5\pi $ как $ 2\pi + \frac{\pi}{2} $.
$ \cos(2.5\pi + \alpha) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha $.
Тогда знаменатель равен: $ \cos\alpha - (-\sin\alpha) = \cos\alpha + \sin\alpha $.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$ \frac{-(\sin\alpha + \cos\alpha)^2}{\sin\alpha + \cos\alpha} = -(\sin\alpha + \cos\alpha) $.

Ответ: $ -(\sin\alpha + \cos\alpha) $