Номер 781, страница 325 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 781, страница 325.

Условие.

781. 1) $\frac{\sqrt{2} - \cos x - \sin x}{\sin x - \cos x}$;

2) $\frac{1 + \cos x + \sin x + \operatorname{tg} x}{\sin x + \cos x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Упростим выражение $ \frac{\sqrt{2} - \cos x - \sin x}{\sin x - \cos x} $.

Сначала преобразуем числитель и знаменатель, используя метод введения вспомогательного угла. Для этого вынесем за скобки общий множитель $ \sqrt{2} $ в выражениях $ (\cos x + \sin x) $ и $ (\sin x - \cos x) $.

Преобразуем выражение $ \cos x + \sin x $:

$ \cos x + \sin x = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x\right) = \sqrt{2} \left(\cos\frac{\pi}{4}\cos x + \sin\frac{\pi}{4}\sin x\right) $.

Используя формулу косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $, получаем:

$ \sqrt{2} \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) $.

Тогда числитель дроби принимает вид:

$ \sqrt{2} - (\cos x + \sin x) = \sqrt{2} - \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left(1 - \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) $.

Теперь преобразуем знаменатель $ \sin x - \cos x $:

$ \sin x - \cos x = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \sqrt{2} \left(\sin x\cos\frac{\pi}{4} - \cos x\sin\frac{\pi}{4}\right) $.

Используя формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $, получаем:

$ \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) $.

Подставим преобразованные выражения обратно в исходную дробь:

$ \frac{\sqrt{2}\left(1 - \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)}{\sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)} = \frac{1 - \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)} $.

Воспользуемся формулами половинного угла. Пусть $ \alpha = x - \frac{\pi}{4} $. Применим формулы $ 1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2} $ и $ \sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $:

$ \frac{2\sin^2\left(\frac{x - \pi/4}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{x - \pi/4}{2}\right)\cos\left(\frac{x - \pi/4}{2}\right)} = \frac{2\sin^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right)}{2\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right)} $.

Сокращаем дробь на $ 2\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right) $ (при условии, что оно не равно нулю, что обеспечивается областью допустимых значений исходного выражения):

$ \frac{\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right)}{\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right)} = \tan\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right) $.

Ответ: $ \tan\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right) $

2) Упростим выражение $ \frac{1 + \cos x + \sin x + \tan x}{\sin x + \cos x} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется следующими условиями:

1. Знаменатель не должен быть равен нулю: $ \sin x + \cos x \neq 0 $, что эквивалентно $ \tan x \neq -1 $, то есть $ x \neq -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2. Тангенс должен быть определен: $ \cos x \neq 0 $, то есть $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Сгруппируем слагаемые в числителе и разделим дробь на две части:

$ \frac{(\sin x + \cos x) + (1 + \tan x)}{\sin x + \cos x} = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} + \frac{1 + \tan x}{\sin x + \cos x} = 1 + \frac{1 + \tan x}{\sin x + \cos x} $.

Теперь преобразуем второе слагаемое, заменив $ \tan x $ на $ \frac{\sin x}{\cos x} $:

$ 1 + \frac{1 + \frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x + \cos x} = 1 + \frac{\frac{\cos x + \sin x}{\cos x}}{\sin x + \cos x} $.

Упростим полученную "многоэтажную" дробь:

$ 1 + \frac{\cos x + \sin x}{\cos x (\sin x + \cos x)} $.

Сократим дробь на общий множитель $ (\sin x + \cos x) $, который не равен нулю согласно ОДЗ:

$ 1 + \frac{1}{\cos x} $.

Ответ: $ 1 + \frac{1}{\cos x} $