Номер 787, страница 325 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 787, страница 325.

Условие.

787. 1) $1 - \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{\cos2\alpha}{\cos^2\alpha}$;

2) $1 - \operatorname{ctg}^2\alpha = -\frac{\cos2\alpha}{\sin^2\alpha}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для доказательства тождества $1 - \text{tg}^2\alpha = \frac{\cos2\alpha}{\cos^2\alpha}$ преобразуем его левую часть.

Заменим тангенс отношением синуса к косинусу, используя основное тригонометрическое определение $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:

$1 - \text{tg}^2\alpha = 1 - \left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2 = 1 - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$

Приведем выражение к общему знаменателю $\cos^2\alpha$:

$1 - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$

Вспомним формулу косинуса двойного угла: $\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. Подставим это выражение в числитель нашей дроби:

$\frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos2\alpha}{\cos^2\alpha}$

В результате преобразования левая часть тождества стала равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $1 - \text{ctg}^2\alpha = -\frac{\cos2\alpha}{\sin^2\alpha}$ преобразуем его левую часть.

Заменим котангенс отношением косинуса к синусу, используя основное тригонометрическое определение $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$:

$1 - \text{ctg}^2\alpha = 1 - \left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^2 = 1 - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$

Приведем выражение к общему знаменателю $\sin^2\alpha$:

$1 - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$

Вынесем знак минус в числителе за скобки, чтобы получить известную формулу:

$\frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{-(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha}$

Выражение в скобках — это формула косинуса двойного угла: $\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. Сделаем замену:

$\frac{-(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha} = -\frac{\cos2\alpha}{\sin^2\alpha}$

В результате преобразования левая часть тождества стала равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.