Номер 789, страница 325 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 789, страница 325.

Условие.

789. 1) $\frac{1-2\sin^2\alpha}{1+\sin2\alpha} = \frac{1-\text{tg}\alpha}{1+\text{tg}\alpha},$

2) $\frac{1}{4\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = 1 + \frac{(1-\text{tg}^2\alpha)^2}{4\text{tg}^2\alpha};$

3) $\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) = \frac{1+\sin2\alpha}{\cos2\alpha},$

4) $\frac{1-\sin2\alpha}{1+\sin2\alpha} = \text{ctg}^2\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Применим формулу косинуса двойного угла $1 - 2\sin^2\alpha = \cos2\alpha$, основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ и формулу синуса двойного угла $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
$\frac{1-2\sin^2\alpha}{1+\sin2\alpha} = \frac{\cos2\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}$
В числителе используем формулу разности квадратов $\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = (\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)$, а знаменатель свернем по формуле квадрата суммы $(\cos\alpha + \sin\alpha)^2$.
$\frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)}{(\cos\alpha + \sin\alpha)^2} = \frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha}$
Разделим числитель и знаменатель на $\cos\alpha$ (при условии, что $\cos\alpha \neq 0$):
$\frac{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{1 - \text{tg}\alpha}{1 + \text{tg}\alpha}$
Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
Ответ:

2) Докажем тождество, преобразовав его правую часть. Выражение $\frac{(1-\text{tg}^2\alpha)^2}{4\text{tg}^2\alpha}$ можно переписать как $\left(\frac{1-\text{tg}^2\alpha}{2\text{tg}\alpha}\right)^2$.
Вспомним формулу тангенса двойного угла: $\text{tg}2\alpha = \frac{2\text{tg}\alpha}{1-\text{tg}^2\alpha}$. Тогда выражение в скобках является обратным к $\text{tg}2\alpha$, то есть это $\text{ctg}2\alpha$.
Таким образом, правая часть принимает вид:
$1 + \left(\frac{1-\text{tg}^2\alpha}{2\text{tg}\alpha}\right)^2 = 1 + (\text{ctg}2\alpha)^2 = 1 + \text{ctg}^22\alpha$
Используя основное тригонометрическое тождество $1 + \text{ctg}^2x = \frac{1}{\sin^2x}$, получаем:
$1 + \text{ctg}^22\alpha = \frac{1}{\sin^22\alpha}$
Теперь используем формулу синуса двойного угла $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$:
$\frac{1}{\sin^22\alpha} = \frac{1}{(2\sin\alpha\cos\alpha)^2} = \frac{1}{4\sin^2\alpha\cos^2\alpha}$
Правая часть тождества равна левой. Тождество доказано.
Ответ:

3) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Используем формулу тангенса суммы $\text{tg}(x+y) = \frac{\text{tg}x+\text{tg}y}{1-\text{tg}x\text{tg}y}$.
$\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4}+\text{tg}\alpha}{1-\text{tg}\frac{\pi}{4}\text{tg}\alpha}$
Так как $\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$, получаем:
$\frac{1+\text{tg}\alpha}{1-\text{tg}\alpha} = \frac{1+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}$
Умножим числитель и знаменатель на $(\cos\alpha+\sin\alpha)$:
$\frac{(\cos\alpha+\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha)}{(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha)} = \frac{(\cos\alpha+\sin\alpha)^2}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}$
Раскроем скобки в числителе и применим формулы двойного угла в знаменателе:
$\frac{\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha}{\cos2\alpha} = \frac{(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)+2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos2\alpha}$
Используя, что $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ и $2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha$, получаем:
$\frac{1+\sin2\alpha}{\cos2\alpha}$
Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
Ответ:

4) Докажем тождество, преобразуя обе его части.
Преобразуем левую часть. Используем $1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ и $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$:
$\frac{1-\sin2\alpha}{1+\sin2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{(\cos\alpha-\sin\alpha)^2}{(\cos\alpha+\sin\alpha)^2} = \left(\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha}\right)^2$
Теперь преобразуем правую часть. $\text{ctg}^2\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) = \left(\frac{1}{\text{tg}(\frac{\pi}{4}+\alpha)}\right)^2$.
Из предыдущего пункта (или по формуле тангенса суммы) мы знаем, что $\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) = \frac{1+\text{tg}\alpha}{1-\text{tg}\alpha}$.
$\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) = \frac{1-\text{tg}\alpha}{1+\text{tg}\alpha} = \frac{1-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha}$
Следовательно, правая часть равна:
$\text{ctg}^2\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) = \left(\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha}\right)^2$
Левая и правая части равны одному и тому же выражению, значит, тождество доказано.
Ответ: