Страница 325 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упростить выражение (776–781).

$\frac{5\cos x - 3\sin x}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin(-x)} - \frac{\sin 2x - 8\sin^2 x}{\cos 2x}$.

Упростим данное выражение по частям.

Сначала преобразуем знаменатель первой дроби, используя формулы приведения и свойство нечетности функции синус: $ \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x $ и $ \sin(-x) = -\sin x $.

Таким образом, знаменатель первой дроби принимает вид: $ \sin(\frac{\pi}{2} - x) + \sin(-x) = \cos x - \sin x $.

Теперь исходное выражение можно записать как:

$$ \frac{5\cos x - 3\sin x}{\cos x - \sin x} - \frac{\sin 2x - 8\sin^2 x}{\cos 2x} $$

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби можно представить с помощью формулы косинуса двойного угла: $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) $.

Видно, что общий знаменатель — это $ \cos 2x $. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на множитель $ (\cos x + \sin x) $:

$$ \frac{(5\cos x - 3\sin x)(\cos x + \sin x)}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)} = \frac{5\cos^2 x + 5\cos x \sin x - 3\sin x \cos x - 3\sin^2 x}{\cos 2x} = \frac{5\cos^2 x + 2\sin x \cos x - 3\sin^2 x}{\cos 2x} $$

Теперь выполним вычитание дробей:

$$ \frac{5\cos^2 x + 2\sin x \cos x - 3\sin^2 x}{\cos 2x} - \frac{\sin 2x - 8\sin^2 x}{\cos 2x} = \frac{5\cos^2 x + 2\sin x \cos x - 3\sin^2 x - (\sin 2x - 8\sin^2 x)}{\cos 2x} $$

Упростим числитель полученной дроби. Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:

$ 5\cos^2 x + 2\sin x \cos x - 3\sin^2 x - (2\sin x \cos x - 8\sin^2 x) = 5\cos^2 x + 2\sin x \cos x - 3\sin^2 x - 2\sin x \cos x + 8\sin^2 x $.

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ (5\cos^2 x) + (2\sin x \cos x - 2\sin x \cos x) + (-3\sin^2 x + 8\sin^2 x) = 5\cos^2 x + 0 + 5\sin^2 x = 5\cos^2 x + 5\sin^2 x $.

Вынесем общий множитель 5 за скобки и применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $:

$ 5(\cos^2 x + \sin^2 x) = 5 \cdot 1 = 5 $.

В результате все выражение сводится к:

$$ \frac{5}{\cos 2x} $$

Ответ: $ \frac{5}{\cos 2x} $.

777. $\sin(x - 2\pi)\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) + \tg(\pi - x)\tg\left(\frac{3\pi}{2} + x\right).$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения и основными тригонометрическими тождествами. Исходное выражение: $sin(x - 2\pi)cos(\frac{3\pi}{2} - x) + tg(\pi - x)tg(\frac{3\pi}{2} + x)$.

Преобразуем каждый тригонометрический член выражения по отдельности:

1. $sin(x - 2\pi)$. Функция синус является периодической с периодом $2\pi$, поэтому $sin(x - 2\pi) = sin(x)$.

2. $cos(\frac{3\pi}{2} - x)$. По формуле приведения, для угла $(\frac{3\pi}{2} - x)$, который находится в третьей координатной четверти, значение косинуса отрицательно. Так как в аргументе присутствует $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию, то есть косинус на синус. Следовательно, $cos(\frac{3\pi}{2} - x) = -sin(x)$.

3. $tg(\pi - x)$. По формуле приведения, для угла $(\pi - x)$, который находится во второй координатной четверти, значение тангенса отрицательно. Так как в аргументе присутствует $\pi$, название функции не меняется. Следовательно, $tg(\pi - x) = -tg(x)$.

4. $tg(\frac{3\pi}{2} + x)$. По формуле приведения, для угла $(\frac{3\pi}{2} + x)$, который находится в четвертой координатной четверти, значение тангенса отрицательно. Так как в аргументе присутствует $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию, то есть тангенс на котангенс. Следовательно, $tg(\frac{3\pi}{2} + x) = -ctg(x)$.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$sin(x) \cdot (-sin(x)) + (-tg(x)) \cdot (-ctg(x))$

Выполним умножение в каждом слагаемом:

$-sin^2(x) + tg(x) \cdot ctg(x)$

Используем тождество $tg(x) \cdot ctg(x) = 1$. Выражение принимает вид:

$-sin^2(x) + 1$

Применим основное тригонометрическое тождество $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$, из которого следует, что $cos^2(x) = 1 - sin^2(x)$.

Таким образом, выражение $1 - sin^2(x)$ равно $cos^2(x)$.

Ответ: $cos^2(x)$

778. 1) $\cos^2(\alpha + 2\beta) + \sin^2(\alpha - 2\beta) - 1;$

2) $\sin^2(\alpha + 2\beta) + \sin^2(\alpha - 2\beta) - 1.$

1) Упростим выражение $ \cos^2(\alpha + 2\beta) + \sin^2(\alpha - 2\beta) - 1 $.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $, из которого следует, что $ \sin^2(x) - 1 = -\cos^2(x) $. Применим это к части нашего выражения:

$ \sin^2(\alpha - 2\beta) - 1 = -\cos^2(\alpha - 2\beta) $

Подставим это обратно в исходное выражение:

$ \cos^2(\alpha + 2\beta) - \cos^2(\alpha - 2\beta) $

Теперь применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $:

$ (\cos(\alpha + 2\beta) - \cos(\alpha - 2\beta))(\cos(\alpha + 2\beta) + \cos(\alpha - 2\beta)) $

Далее используем формулы преобразования суммы и разности косинусов в произведение:

$ \cos(x) - \cos(y) = -2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right) $

$ \cos(x) + \cos(y) = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $

В нашем случае $ x = \alpha + 2\beta $ и $ y = \alpha - 2\beta $. Найдем полусумму и полуразность:

$ \frac{x+y}{2} = \frac{(\alpha + 2\beta) + (\alpha - 2\beta)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $

$ \frac{x-y}{2} = \frac{(\alpha + 2\beta) - (\alpha - 2\beta)}{2} = \frac{4\beta}{2} = 2\beta $

Подставляем эти значения в формулы преобразования:

$ \cos(\alpha + 2\beta) - \cos(\alpha - 2\beta) = -2\sin(\alpha)\sin(2\beta) $

$ \cos(\alpha + 2\beta) + \cos(\alpha - 2\beta) = 2\cos(\alpha)\cos(2\beta) $

Перемножим полученные выражения:

$ (-2\sin(\alpha)\sin(2\beta)) \cdot (2\cos(\alpha)\cos(2\beta)) = -4\sin(\alpha)\cos(\alpha)\sin(2\beta)\cos(2\beta) $

Сгруппируем множители и применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $:

$ -(2\sin(\alpha)\cos(\alpha)) \cdot (2\sin(2\beta)\cos(2\beta)) = -\sin(2\alpha) \cdot \sin(2 \cdot 2\beta) = -\sin(2\alpha)\sin(4\beta) $

Ответ: $ -\sin(2\alpha)\sin(4\beta) $

2) Упростим выражение $ \sin^2(\alpha + 2\beta) + \sin^2(\alpha - 2\beta) - 1 $.

Используем формулу понижения степени для синуса: $ \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} $. Применим ее к обоим членам с синусом в квадрате:

$ \sin^2(\alpha + 2\beta) = \frac{1 - \cos(2(\alpha + 2\beta))}{2} = \frac{1 - \cos(2\alpha + 4\beta)}{2} $

$ \sin^2(\alpha - 2\beta) = \frac{1 - \cos(2(\alpha - 2\beta))}{2} = \frac{1 - \cos(2\alpha - 4\beta)}{2} $

Подставим эти выражения в исходное:

$ \frac{1 - \cos(2\alpha + 4\beta)}{2} + \frac{1 - \cos(2\alpha - 4\beta)}{2} - 1 $

Приведем к общему знаменателю и упростим:

$ \frac{1 - \cos(2\alpha + 4\beta) + 1 - \cos(2\alpha - 4\beta) - 2}{2} $

$ \frac{-\cos(2\alpha + 4\beta) - \cos(2\alpha - 4\beta)}{2} = -\frac{1}{2}(\cos(2\alpha + 4\beta) + \cos(2\alpha - 4\beta)) $

Теперь воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов в произведение:

$ \cos(x) + \cos(y) = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $

В нашем случае $ x = 2\alpha + 4\beta $ и $ y = 2\alpha - 4\beta $. Найдем полусумму и полуразность:

$ \frac{x+y}{2} = \frac{(2\alpha + 4\beta) + (2\alpha - 4\beta)}{2} = \frac{4\alpha}{2} = 2\alpha $

$ \frac{x-y}{2} = \frac{(2\alpha + 4\beta) - (2\alpha - 4\beta)}{2} = \frac{8\beta}{2} = 4\beta $

Подставим результат в наше выражение:

$ -\frac{1}{2}(2\cos(2\alpha)\cos(4\beta)) = -\cos(2\alpha)\cos(4\beta) $

Ответ: $ -\cos(2\alpha)\cos(4\beta) $

779. 1) $\frac{\cos 4\alpha - \cos 2\alpha}{\sin 3\alpha \sin \alpha}$;

2) $\frac{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha}{\cos \alpha + 2\cos^2 \alpha - 1}$.

1)

Чтобы упростить выражение $\frac{\cos(4\alpha) - \cos(2\alpha)}{\sin(3\alpha)\sin(\alpha)}$, воспользуемся тригонометрическими формулами.

В числителе применим формулу разности косинусов: $\cos(x) - \cos(y) = -2\sin(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2})$.

Подставляем $x = 4\alpha$ и $y = 2\alpha$:

$\cos(4\alpha) - \cos(2\alpha) = -2\sin(\frac{4\alpha+2\alpha}{2})\sin(\frac{4\alpha-2\alpha}{2}) = -2\sin(\frac{6\alpha}{2})\sin(\frac{2\alpha}{2}) = -2\sin(3\alpha)\sin(\alpha)$.

Теперь подставим полученное выражение для числителя обратно в исходную дробь:

$\frac{-2\sin(3\alpha)\sin(\alpha)}{\sin(3\alpha)\sin(\alpha)}$

При условии, что $\sin(3\alpha) \neq 0$ и $\sin(\alpha) \neq 0$, мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе.

$\frac{-2\cancel{\sin(3\alpha)}\cancel{\sin(\alpha)}}{\cancel{\sin(3\alpha)}\cancel{\sin(\alpha)}} = -2$

Ответ: -2

2)

Упростим выражение $\frac{1 + \cos(\alpha) + \cos(2\alpha) + \cos(3\alpha)}{\cos(\alpha) + 2\cos^2(\alpha) - 1}$.

Преобразуем отдельно числитель и знаменатель.

Числитель: $1 + \cos(\alpha) + \cos(2\alpha) + \cos(3\alpha)$.
Сгруппируем слагаемые: $(1 + \cos(2\alpha)) + (\cos(\alpha) + \cos(3\alpha))$.
Используем формулу косинуса двойного угла $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha)$.
Используем формулу суммы косинусов $\cos(x) + \cos(y) = 2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})$:
$\cos(3\alpha) + \cos(\alpha) = 2\cos(\frac{3\alpha+\alpha}{2})\cos(\frac{3\alpha-\alpha}{2}) = 2\cos(2\alpha)\cos(\alpha)$.
Таким образом, числитель равен: $2\cos^2(\alpha) + 2\cos(2\alpha)\cos(\alpha)$.
Вынесем общий множитель $2\cos(\alpha)$ за скобки: $2\cos(\alpha)(\cos(\alpha) + \cos(2\alpha))$.

Знаменатель: $\cos(\alpha) + 2\cos^2(\alpha) - 1$.
Используем формулу косинуса двойного угла $2\cos^2(\alpha) - 1 = \cos(2\alpha)$.
Таким образом, знаменатель равен: $\cos(\alpha) + \cos(2\alpha)$.

Теперь подставим преобразованные части обратно в дробь:

$\frac{2\cos(\alpha)(\cos(\alpha) + \cos(2\alpha))}{\cos(\alpha) + \cos(2\alpha)}$

При условии, что $\cos(\alpha) + \cos(2\alpha) \neq 0$, сокращаем дробь на этот множитель:

$\frac{2\cos(\alpha)\cancel{(\cos(\alpha) + \cos(2\alpha))}}{\cancel{\cos(\alpha) + \cos(2\alpha)}} = 2\cos(\alpha)$

Ответ: $2\cos(\alpha)$

780. 1) $\frac{4\sin^2 \alpha - \sin^2 2\alpha}{4 - 4\sin^2 \alpha - \sin^2 2\alpha}$;

2) $\frac{\operatorname{tg}^2 2\alpha \operatorname{tg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{tg}^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 2\alpha}$.

1) Упростим выражение $\frac{4\sin^2\alpha - \sin^2 2\alpha}{4 - 4\sin^2\alpha - \sin^2 2\alpha}$.
Для упрощения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Возведя в квадрат, получим $\sin^2 2\alpha = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.
Преобразуем числитель дроби:
$4\sin^2\alpha - \sin^2 2\alpha = 4\sin^2\alpha - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 4\sin^2\alpha(1 - \cos^2\alpha)$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.
Тогда числитель равен: $4\sin^2\alpha \cdot \sin^2\alpha = 4\sin^4\alpha$.
Теперь преобразуем знаменатель дроби:
$4 - 4\sin^2\alpha - \sin^2 2\alpha = 4(1 - \sin^2\alpha) - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.
Используя тождество $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$, получаем:
$4\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 4\cos^2\alpha(1 - \sin^2\alpha) = 4\cos^2\alpha \cdot \cos^2\alpha = 4\cos^4\alpha$.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$\frac{4\sin^4\alpha}{4\cos^4\alpha} = \frac{\sin^4\alpha}{\cos^4\alpha} = \left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^4 = \tg^4\alpha$.
Ответ: $\tg^4\alpha$.

2) Упростим выражение $\frac{\tg^2 2\alpha \tg^2\alpha - 1}{\tg^2\alpha - \tg^2 2\alpha}$.
Вынесем знак минус из знаменателя и числителя, чтобы изменить их вид:
$\frac{\tg^2 2\alpha \tg^2\alpha - 1}{\tg^2\alpha - \tg^2 2\alpha} = \frac{-(1 - \tg^2 2\alpha \tg^2\alpha)}{-(\tg^2 2\alpha - \tg^2\alpha)} = \frac{1 - \tg^2 2\alpha \tg^2\alpha}{\tg^2 2\alpha - \tg^2\alpha}$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю и знаменателю.
Числитель: $1^2 - (\tg 2\alpha \tg\alpha)^2 = (1 - \tg 2\alpha \tg\alpha)(1 + \tg 2\alpha \tg\alpha)$.
Знаменатель: $\tg^2 2\alpha - \tg^2\alpha = (\tg 2\alpha - \tg\alpha)(\tg 2\alpha + \tg\alpha)$.
Дробь примет вид: $\frac{(1 - \tg 2\alpha \tg\alpha)(1 + \tg 2\alpha \tg\alpha)}{(\tg 2\alpha - \tg\alpha)(\tg 2\alpha + \tg\alpha)}$.
Перегруппируем множители в виде произведения двух дробей:
$\frac{1 - \tg 2\alpha \tg\alpha}{\tg 2\alpha + \tg\alpha} \cdot \frac{1 + \tg 2\alpha \tg\alpha}{\tg 2\alpha - \tg\alpha}$.
Вспомним формулы тангенса суммы и разности углов:
$\tg(A+B) = \frac{\tg A + \tg B}{1 - \tg A \tg B}$ и $\tg(A-B) = \frac{\tg A - \tg B}{1 + \tg A \tg B}$.
Первый множитель является обратным к $\tg(2\alpha + \alpha)$:
$\frac{1 - \tg 2\alpha \tg\alpha}{\tg 2\alpha + \tg\alpha} = \frac{1}{\frac{\tg 2\alpha + \tg\alpha}{1 - \tg 2\alpha \tg\alpha}} = \frac{1}{\tg(3\alpha)} = \ctg(3\alpha)$.
Второй множитель является обратным к $\tg(2\alpha - \alpha)$:
$\frac{1 + \tg 2\alpha \tg\alpha}{\tg 2\alpha - \tg\alpha} = \frac{1}{\frac{\tg 2\alpha - \tg\alpha}{1 + \tg 2\alpha \tg\alpha}} = \frac{1}{\tg(\alpha)} = \ctg\alpha$.
Итоговое выражение является произведением этих двух результатов: $\ctg(3\alpha) \cdot \ctg\alpha$.
Ответ: $\ctg\alpha\ctg(3\alpha)$.

781. 1) $\frac{\sqrt{2} - \cos x - \sin x}{\sin x - \cos x}$;

2) $\frac{1 + \cos x + \sin x + \operatorname{tg} x}{\sin x + \cos x}$.

1) Упростим выражение $ \frac{\sqrt{2} - \cos x - \sin x}{\sin x - \cos x} $.

Сначала преобразуем числитель и знаменатель, используя метод введения вспомогательного угла. Для этого вынесем за скобки общий множитель $ \sqrt{2} $ в выражениях $ (\cos x + \sin x) $ и $ (\sin x - \cos x) $.

Преобразуем выражение $ \cos x + \sin x $:

$ \cos x + \sin x = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x\right) = \sqrt{2} \left(\cos\frac{\pi}{4}\cos x + \sin\frac{\pi}{4}\sin x\right) $.

Используя формулу косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $, получаем:

$ \sqrt{2} \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) $.

Тогда числитель дроби принимает вид:

$ \sqrt{2} - (\cos x + \sin x) = \sqrt{2} - \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left(1 - \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) $.

Теперь преобразуем знаменатель $ \sin x - \cos x $:

$ \sin x - \cos x = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \sqrt{2} \left(\sin x\cos\frac{\pi}{4} - \cos x\sin\frac{\pi}{4}\right) $.

Используя формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $, получаем:

$ \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) $.

Подставим преобразованные выражения обратно в исходную дробь:

$ \frac{\sqrt{2}\left(1 - \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)}{\sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)} = \frac{1 - \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)} $.

Воспользуемся формулами половинного угла. Пусть $ \alpha = x - \frac{\pi}{4} $. Применим формулы $ 1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2} $ и $ \sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $:

$ \frac{2\sin^2\left(\frac{x - \pi/4}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{x - \pi/4}{2}\right)\cos\left(\frac{x - \pi/4}{2}\right)} = \frac{2\sin^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right)}{2\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right)} $.

Сокращаем дробь на $ 2\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right) $ (при условии, что оно не равно нулю, что обеспечивается областью допустимых значений исходного выражения):

$ \frac{\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right)}{\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right)} = \tan\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right) $.

Ответ: $ \tan\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}\right) $

2) Упростим выражение $ \frac{1 + \cos x + \sin x + \tan x}{\sin x + \cos x} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется следующими условиями:

1. Знаменатель не должен быть равен нулю: $ \sin x + \cos x \neq 0 $, что эквивалентно $ \tan x \neq -1 $, то есть $ x \neq -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2. Тангенс должен быть определен: $ \cos x \neq 0 $, то есть $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Сгруппируем слагаемые в числителе и разделим дробь на две части:

$ \frac{(\sin x + \cos x) + (1 + \tan x)}{\sin x + \cos x} = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} + \frac{1 + \tan x}{\sin x + \cos x} = 1 + \frac{1 + \tan x}{\sin x + \cos x} $.

Теперь преобразуем второе слагаемое, заменив $ \tan x $ на $ \frac{\sin x}{\cos x} $:

$ 1 + \frac{1 + \frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x + \cos x} = 1 + \frac{\frac{\cos x + \sin x}{\cos x}}{\sin x + \cos x} $.

Упростим полученную "многоэтажную" дробь:

$ 1 + \frac{\cos x + \sin x}{\cos x (\sin x + \cos x)} $.

Сократим дробь на общий множитель $ (\sin x + \cos x) $, который не равен нулю согласно ОДЗ:

$ 1 + \frac{1}{\cos x} $.

Ответ: $ 1 + \frac{1}{\cos x} $

782. Вычислить $\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}$, если $ctg \alpha = \frac{3}{4}$.

Решение:

Для того чтобы вычислить значение выражения $\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}$, имея значение $\text{ctg}\alpha = \frac{3}{4}$, преобразуем данное выражение так, чтобы оно содержало только $\text{ctg}\alpha$.

Разделим числитель и знаменатель дроби на $\sin^2\alpha$. Это преобразование допустимо, поскольку если бы $\sin\alpha = 0$, то котангенс был бы не определен, что противоречит условию задачи.

$\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}} = \frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}$

Используя определение котангенса $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, получаем выражение:

$\frac{\text{ctg}\alpha}{1 - \text{ctg}^2\alpha}$

Теперь подставим в него заданное значение $\text{ctg}\alpha = \frac{3}{4}$ и выполним вычисления:

$\frac{\frac{3}{4}}{1 - (\frac{3}{4})^2} = \frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{16-9}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{7}{16}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{7} = \frac{3 \cdot 4}{7} = \frac{12}{7}$

Ответ: $\frac{12}{7}$

783. Упростить выражение $ \frac{2 - 3\sin^2 \alpha}{\cos2\alpha} - \frac{\sin\alpha + 2\cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} $ и найти его числовое значение при $ \alpha = -\frac{\pi}{8} $.

Упростить выражение

Данное выражение:

$$ \frac{2 - 3\sin^2\alpha}{\cos(2\alpha)} - \frac{\sin\alpha + 2\cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} $$

Упростим каждую дробь по отдельности. Для первой дроби преобразуем числитель, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$:

$2 - 3\sin^2\alpha = (1 - 2\sin^2\alpha) + (1 - \sin^2\alpha) = \cos(2\alpha) + \cos^2\alpha$

Тогда первая дробь примет вид:

$$ \frac{\cos(2\alpha) + \cos^2\alpha}{\cos(2\alpha)} = \frac{\cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} + \frac{\cos^2\alpha}{\cos(2\alpha)} = 1 + \frac{\cos^2\alpha}{\cos(2\alpha)} $$

Теперь преобразуем вторую дробь, выделив в числителе знаменатель:

$\sin\alpha + 2\cos\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha) + \cos\alpha$

Тогда вторая дробь примет вид:

$$ \frac{(\sin\alpha + \cos\alpha) + \cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} = \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} = 1 + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} $$

Подставим упрощенные дроби обратно в исходное выражение:

$$ \left(1 + \frac{\cos^2\alpha}{\cos(2\alpha)}\right) - \left(1 + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}\right) = 1 + \frac{\cos^2\alpha}{\cos(2\alpha)} - 1 - \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\cos(2\alpha)} - \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} $$

Приведем полученные дроби к общему знаменателю $\cos(2\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)$:

$$ \frac{\cos^2\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha) - \cos\alpha \cdot \cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)} $$

Вынесем в числителе общий множитель $\cos\alpha$ за скобки:

$$ \frac{\cos\alpha[\cos\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha) - \cos(2\alpha)]}{\cos(2\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)} $$

Упростим выражение в квадратных скобках, используя формулу $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$:

$\cos\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha) - (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = \sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha - \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = \sin\alpha\cos\alpha + \sin^2\alpha$

Вынесем $\sin\alpha$ за скобки: $\sin\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)$.

Подставим это обратно в числитель всей дроби:

$$ \frac{\cos\alpha \cdot \sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{\cos(2\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha)} $$

Сократим дробь на $(\sin\alpha + \cos\alpha)$ (это допустимо, так как в области определения исходного выражения $\sin\alpha + \cos\alpha \neq 0$):

$$ \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\cos(2\alpha)} $$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, откуда $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$:

$$ \frac{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{1}{2}\tan(2\alpha) $$

Ответ: $\frac{1}{2}\tan(2\alpha)$

найти его числовое значение при $\alpha = -\frac{\pi}{8}$

Подставим значение $\alpha = -\frac{\pi}{8}$ в упрощенное выражение $\frac{1}{2}\tan(2\alpha)$:

$$ \frac{1}{2}\tan\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{8}\right)\right) = \frac{1}{2}\tan\left(-\frac{2\pi}{8}\right) = \frac{1}{2}\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) $$

Так как тангенс является нечетной функцией, то есть $\tan(-x) = -\tan(x)$, имеем:

$$ \frac{1}{2}\left(-\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) $$

Мы знаем, что значение $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$. Подставим это значение:

$$ \frac{1}{2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2} $$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

Доказать тождество (784-790).

784. $\frac{\operatorname{tg}(\alpha-\beta)+\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha+\beta)-\operatorname{tg}\beta} = \frac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}$

784.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, используя определение тангенса и формулы сложения и вычитания углов для синуса.

Исходное тождество:

$$ \frac{\text{tg}(\alpha - \beta) + \text{tg}\beta}{\text{tg}(\alpha + \beta) - \text{tg}\beta} = \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} $$

Рассмотрим левую часть (ЛЧ) и выразим тангенсы через синусы и косинусы по формуле $ \text{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x} $:

ЛЧ = $ \frac{\frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta}} $

Приведем к общему знаменателю выражения в числителе и знаменателе дроби.

Преобразуем числитель:

$ \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin(\alpha - \beta)\cos\beta + \cos(\alpha - \beta)\sin\beta}{\cos(\alpha - \beta)\cos\beta} $

В числителе полученной дроби мы видим формулу синуса суммы углов $ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $. Применим ее, где $ A = \alpha - \beta $ и $ B = \beta $:

$ \sin((\alpha - \beta) + \beta) = \sin\alpha $

Таким образом, числитель исходной дроби равен:

$ \frac{\sin\alpha}{\cos(\alpha - \beta)\cos\beta} $

Теперь преобразуем знаменатель:

$ \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin(\alpha + \beta)\cos\beta - \cos(\alpha + \beta)\sin\beta}{\cos(\alpha + \beta)\cos\beta} $

В числителе этой дроби мы видим формулу синуса разности углов $ \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $. Применим ее, где $ A = \alpha + \beta $ и $ B = \beta $:

$ \sin((\alpha + \beta) - \beta) = \sin\alpha $

Таким образом, знаменатель исходной дроби равен:

$ \frac{\sin\alpha}{\cos(\alpha + \beta)\cos\beta} $

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в левую часть тождества:

ЛЧ = $ \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos(\alpha - \beta)\cos\beta}}{\frac{\sin\alpha}{\cos(\alpha + \beta)\cos\beta}} $

Для деления дробей, умножим верхнюю дробь на перевернутую нижнюю:

ЛЧ = $ \frac{\sin\alpha}{\cos(\alpha - \beta)\cos\beta} \cdot \frac{\cos(\alpha + \beta)\cos\beta}{\sin\alpha} $

Сокращаем общие множители $ \sin\alpha $ и $ \cos\beta $ (исходя из области допустимых значений исходного выражения):

ЛЧ = $ \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} $

В результате преобразований мы получили, что левая часть тождества равна его правой части (ПЧ).
ЛЧ = ПЧ

Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

785. 1) $1 + \sin \alpha = 2\cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right);$

2) $1 - \sin \alpha = 2\sin^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right).$

1) Докажем тождество $1 + \sin\alpha = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, $1 + \sin\alpha$.

Сначала используем формулу приведения, чтобы выразить синус через косинус: $\sin\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$.

Подставим это в наше выражение:

$1 + \sin\alpha = 1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$

Далее, применим формулу для косинуса двойного угла, которая имеет вид $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$. Эту формулу также называют формулой понижения степени.

В нашем случае, аргумент косинуса $2x = \frac{\pi}{2} - \alpha$. Отсюда находим $x$:

$x = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$

Подставляя это значение $x$ в формулу $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$, получаем:

$1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Преобразовав левую часть $1 + \sin\alpha$ с помощью формулы приведения и формулы косинуса двойного угла, мы получили правую часть $2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$, что доказывает верность тождества.

2) Докажем тождество $1 - \sin\alpha = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$.

Доказательство аналогично предыдущему. Преобразуем левую часть равенства, $1 - \sin\alpha$.

Используем ту же формулу приведения: $\sin\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$.

Подставим ее в выражение:

$1 - \sin\alpha = 1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$

Теперь применим другую вариацию формулы косинуса двойного угла (формулу понижения степени): $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.

Как и в предыдущем пункте, $2x = \frac{\pi}{2} - \alpha$, и, следовательно, $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$.

Подставляя $x$ в формулу $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$, получаем:

$1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$

Таким образом, левая часть тождества была преобразована в правую. Тождество доказано.

Ответ: Преобразовав левую часть $1 - \sin\alpha$ с помощью формулы приведения и формулы косинуса двойного угла, мы получили правую часть $2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$, что доказывает верность тождества.

786. 1) $\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \cos\alpha;$

2) $\cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \sqrt{3} \cos\alpha.$

1)

Для доказательства тождества $ \sin(\alpha + \frac{\pi}{3}) - \sin(\alpha - \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}\cos\alpha $ преобразуем его левую часть, применив формулу разности синусов: $ \sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2} $.

В данном случае $ x = \alpha + \frac{\pi}{3} $ и $ y = \alpha - \frac{\pi}{3} $.

Вычислим аргументы для синуса и косинуса в формуле:

$ \frac{x-y}{2} = \frac{(\alpha + \frac{\pi}{3}) - (\alpha - \frac{\pi}{3})}{2} = \frac{\alpha + \frac{\pi}{3} - \alpha + \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{2\pi/3}{2} = \frac{\pi}{3} $

$ \frac{x+y}{2} = \frac{(\alpha + \frac{\pi}{3}) + (\alpha - \frac{\pi}{3})}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $

Теперь подставим найденные значения обратно в формулу разности синусов:

$ \sin(\alpha + \frac{\pi}{3}) - \sin(\alpha - \frac{\pi}{3}) = 2\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha $

Поскольку значение $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, мы получаем:

$ 2\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha $

В результате преобразований мы показали, что левая часть тождества равна правой: $ \sqrt{3}\cos\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha $. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества $ \cos(\frac{\pi}{6} + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) = \sqrt{3}\cos\alpha $ преобразуем его левую часть, применив формулу суммы косинусов: $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.

В данном случае $ x = \frac{\pi}{6} + \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{6} - \alpha $.

Вычислим аргументы для косинусов в формуле:

$ \frac{x+y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{6} + \alpha) + (\frac{\pi}{6} - \alpha)}{2} = \frac{2\pi/6}{2} = \frac{\pi/3}{2} = \frac{\pi}{6} $

$ \frac{x-y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{6} + \alpha) - (\frac{\pi}{6} - \alpha)}{2} = \frac{\frac{\pi}{6} + \alpha - \frac{\pi}{6} + \alpha}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $

Теперь подставим найденные значения обратно в формулу суммы косинусов:

$ \cos(\frac{\pi}{6} + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) = 2\cos\frac{\pi}{6}\cos\alpha $

Поскольку значение $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, мы получаем:

$ 2\cos\frac{\pi}{6}\cos\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha $

В результате преобразований мы показали, что левая часть тождества равна правой: $ \sqrt{3}\cos\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha $. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

787. 1) $1 - \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{\cos2\alpha}{\cos^2\alpha}$;

2) $1 - \operatorname{ctg}^2\alpha = -\frac{\cos2\alpha}{\sin^2\alpha}$.

1) Для доказательства тождества $1 - \text{tg}^2\alpha = \frac{\cos2\alpha}{\cos^2\alpha}$ преобразуем его левую часть.

Заменим тангенс отношением синуса к косинусу, используя основное тригонометрическое определение $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:

$1 - \text{tg}^2\alpha = 1 - \left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2 = 1 - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$

Приведем выражение к общему знаменателю $\cos^2\alpha$:

$1 - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$

Вспомним формулу косинуса двойного угла: $\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. Подставим это выражение в числитель нашей дроби:

$\frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos2\alpha}{\cos^2\alpha}$

В результате преобразования левая часть тождества стала равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $1 - \text{ctg}^2\alpha = -\frac{\cos2\alpha}{\sin^2\alpha}$ преобразуем его левую часть.

Заменим котангенс отношением косинуса к синусу, используя основное тригонометрическое определение $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$:

$1 - \text{ctg}^2\alpha = 1 - \left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^2 = 1 - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$

Приведем выражение к общему знаменателю $\sin^2\alpha$:

$1 - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$

Вынесем знак минус в числителе за скобки, чтобы получить известную формулу:

$\frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{-(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha}$

Выражение в скобках — это формула косинуса двойного угла: $\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. Сделаем замену:

$\frac{-(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha} = -\frac{\cos2\alpha}{\sin^2\alpha}$

В результате преобразования левая часть тождества стала равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

788. $1 + \cos\alpha + \cos2\alpha = 4\cos\alpha\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right).$

Для доказательства данного тождества преобразуем отдельно его левую и правую части, чтобы показать, что они равны одному и тому же выражению.

Преобразование левой части (ЛЧ)

Начнем с выражения в левой части тождества:

ЛЧ = $1 + \cos\alpha + \cos2\alpha$

Применим формулу косинуса двойного угла: $\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$.

Подставим эту формулу в выражение для левой части:

ЛЧ = $1 + \cos\alpha + (2\cos^2\alpha - 1)$

Упростим, сократив единицы:

ЛЧ = $\cos\alpha + 2\cos^2\alpha$

Преобразование правой части (ПЧ)

Теперь рассмотрим выражение в правой части тождества:

ПЧ = $4\cos\alpha\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)$

Сгруппируем множители и применим формулу преобразования произведения косинусов в сумму $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$.

ПЧ = $2\cos\alpha \cdot \left[ 2\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right) \right]$

Преобразуем выражение в квадратных скобках:

$2\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right) = \cos\left(\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right) + \left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)\right) + \cos\left(\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)\right)$

Упростим аргументы косинусов:

$= \cos\left(\frac{2\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{2\alpha}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos\alpha$

Мы знаем значение $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$. Подставим его:

$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos\alpha = \frac{1}{2} + \cos\alpha$

Теперь подставим полученное выражение обратно в формулу для правой части:

ПЧ = $2\cos\alpha \left( \frac{1}{2} + \cos\alpha \right)$

Раскроем скобки:

ПЧ = $2\cos\alpha \cdot \frac{1}{2} + 2\cos\alpha \cdot \cos\alpha = \cos\alpha + 2\cos^2\alpha$

Заключение

Мы получили, что левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению:

ЛЧ = $\cos\alpha + 2\cos^2\alpha$

ПЧ = $\cos\alpha + 2\cos^2\alpha$

Поскольку ЛЧ = ПЧ, исходное тождество является верным.

Ответ: Тождество доказано.

789. 1) $\frac{1-2\sin^2\alpha}{1+\sin2\alpha} = \frac{1-\text{tg}\alpha}{1+\text{tg}\alpha},$

2) $\frac{1}{4\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = 1 + \frac{(1-\text{tg}^2\alpha)^2}{4\text{tg}^2\alpha};$

3) $\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) = \frac{1+\sin2\alpha}{\cos2\alpha},$

4) $\frac{1-\sin2\alpha}{1+\sin2\alpha} = \text{ctg}^2\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right).$

1) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Применим формулу косинуса двойного угла $1 - 2\sin^2\alpha = \cos2\alpha$, основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ и формулу синуса двойного угла $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
$\frac{1-2\sin^2\alpha}{1+\sin2\alpha} = \frac{\cos2\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}$
В числителе используем формулу разности квадратов $\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = (\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)$, а знаменатель свернем по формуле квадрата суммы $(\cos\alpha + \sin\alpha)^2$.
$\frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)}{(\cos\alpha + \sin\alpha)^2} = \frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha}$
Разделим числитель и знаменатель на $\cos\alpha$ (при условии, что $\cos\alpha \neq 0$):
$\frac{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{1 - \text{tg}\alpha}{1 + \text{tg}\alpha}$
Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
Ответ:

2) Докажем тождество, преобразовав его правую часть. Выражение $\frac{(1-\text{tg}^2\alpha)^2}{4\text{tg}^2\alpha}$ можно переписать как $\left(\frac{1-\text{tg}^2\alpha}{2\text{tg}\alpha}\right)^2$.
Вспомним формулу тангенса двойного угла: $\text{tg}2\alpha = \frac{2\text{tg}\alpha}{1-\text{tg}^2\alpha}$. Тогда выражение в скобках является обратным к $\text{tg}2\alpha$, то есть это $\text{ctg}2\alpha$.
Таким образом, правая часть принимает вид:
$1 + \left(\frac{1-\text{tg}^2\alpha}{2\text{tg}\alpha}\right)^2 = 1 + (\text{ctg}2\alpha)^2 = 1 + \text{ctg}^22\alpha$
Используя основное тригонометрическое тождество $1 + \text{ctg}^2x = \frac{1}{\sin^2x}$, получаем:
$1 + \text{ctg}^22\alpha = \frac{1}{\sin^22\alpha}$
Теперь используем формулу синуса двойного угла $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$:
$\frac{1}{\sin^22\alpha} = \frac{1}{(2\sin\alpha\cos\alpha)^2} = \frac{1}{4\sin^2\alpha\cos^2\alpha}$
Правая часть тождества равна левой. Тождество доказано.
Ответ:

3) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Используем формулу тангенса суммы $\text{tg}(x+y) = \frac{\text{tg}x+\text{tg}y}{1-\text{tg}x\text{tg}y}$.
$\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4}+\text{tg}\alpha}{1-\text{tg}\frac{\pi}{4}\text{tg}\alpha}$
Так как $\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$, получаем:
$\frac{1+\text{tg}\alpha}{1-\text{tg}\alpha} = \frac{1+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}$
Умножим числитель и знаменатель на $(\cos\alpha+\sin\alpha)$:
$\frac{(\cos\alpha+\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha)}{(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha)} = \frac{(\cos\alpha+\sin\alpha)^2}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}$
Раскроем скобки в числителе и применим формулы двойного угла в знаменателе:
$\frac{\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha}{\cos2\alpha} = \frac{(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)+2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos2\alpha}$
Используя, что $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ и $2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha$, получаем:
$\frac{1+\sin2\alpha}{\cos2\alpha}$
Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
Ответ:

4) Докажем тождество, преобразуя обе его части.
Преобразуем левую часть. Используем $1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ и $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$:
$\frac{1-\sin2\alpha}{1+\sin2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{(\cos\alpha-\sin\alpha)^2}{(\cos\alpha+\sin\alpha)^2} = \left(\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha}\right)^2$
Теперь преобразуем правую часть. $\text{ctg}^2\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) = \left(\frac{1}{\text{tg}(\frac{\pi}{4}+\alpha)}\right)^2$.
Из предыдущего пункта (или по формуле тангенса суммы) мы знаем, что $\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) = \frac{1+\text{tg}\alpha}{1-\text{tg}\alpha}$.
$\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) = \frac{1-\text{tg}\alpha}{1+\text{tg}\alpha} = \frac{1-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha}$
Следовательно, правая часть равна:
$\text{ctg}^2\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) = \left(\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha}\right)^2$
Левая и правая части равны одному и тому же выражению, значит, тождество доказано.
Ответ: