Страница 321 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

736. Вычислить:

1) $i^5 + i^3 + i^7$

2) $i^4 + i^6 + i^8$

1) Для вычисления выражения $i^5 + i^3 + i^7$ воспользуемся свойствами степеней мнимой единицы $i$, где $i = \sqrt{-1}$. Значения степеней $i$ циклически повторяются с периодом 4:

$i^1 = i$

$i^2 = -1$

$i^3 = i^2 \cdot i = -i$

$i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$

Чтобы найти значение $i^n$ для любого целого $n$, можно использовать свойство $i^n = i^{4k+r} = (i^4)^k \cdot i^r = 1^k \cdot i^r = i^r$, где $r$ — это остаток от деления $n$ на 4.

Упростим каждое слагаемое в выражении:

Для $i^5$: остаток от деления 5 на 4 равен 1, следовательно, $i^5 = i^1 = i$.

Для $i^3$: остаток от деления 3 на 4 равен 3, следовательно, $i^3 = -i$.

Для $i^7$: остаток от деления 7 на 4 равен 3, следовательно, $i^7 = i^3 = -i$.

Теперь сложим полученные значения:

$i^5 + i^3 + i^7 = i + (-i) + (-i) = i - i - i = -i$.

Ответ: $-i$

2) Аналогично вычислим выражение $i^4 + i^6 + i^8$.

Упростим каждое слагаемое, используя те же свойства:

Для $i^4$: остаток от деления 4 на 4 равен 0, следовательно, $i^4 = i^0 = 1$.

Для $i^6$: остаток от деления 6 на 4 равен 2, следовательно, $i^6 = i^2 = -1$.

Для $i^8$: остаток от деления 8 на 4 равен 0, следовательно, $i^8 = i^0 = 1$.

Подставим упрощенные значения в выражение и вычислим сумму:

$i^4 + i^6 + i^8 = 1 + (-1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$.

Ответ: $1$

737. Найти значение выражения:

1) $\frac{A_{11}^3 - A_{10}^2}{A_9^1}$

2) $\frac{A_{12}^4 \cdot A_7^7}{A_{11}^9}$

3) $\frac{A_6^3}{P_4} + \frac{A_{11}^6}{11P_6}$

4) $\left(\frac{C_{11}^7 - C_5^2}{10}\right) \frac{P_6}{A_6^4}$

1) Для решения используем формулу числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Сначала вычислим значения для числителя и знаменателя:
$A_{11}^3 = \frac{11!}{(11-3)!} = \frac{11!}{8!} = 11 \cdot 10 \cdot 9 = 990$.
$A_{10}^2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \cdot 9 = 90$.
$A_9^1 = \frac{9!}{(9-1)!} = \frac{9!}{8!} = 9$.
Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:
$\frac{A_{11}^3 - A_{10}^2}{A_9^1} = \frac{990 - 90}{9} = \frac{900}{9} = 100$.
Ответ: 100

2) Используем формулу числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. Также учтем, что $A_n^n = n! = P_n$ и $0! = 1$.
Запишем выражение через факториалы:
$\frac{A_{12}^4 \cdot A_7^7}{A_{11}^9} = \frac{\frac{12!}{(12-4)!} \cdot \frac{7!}{(7-7)!}}{\frac{11!}{(11-9)!}} = \frac{\frac{12!}{8!} \cdot \frac{7!}{0!}}{\frac{11!}{2!}} = \frac{12! \cdot 7! \cdot 2!}{8! \cdot 11!}$.
Сократим факториалы:
$\frac{12! \cdot 7! \cdot 2!}{8! \cdot 11!} = \frac{(12 \cdot 11!) \cdot 7! \cdot 2!}{(8 \cdot 7!) \cdot 11!} = \frac{12 \cdot 2}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
Ответ: 3

3) Используем формулы для числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и числа перестановок $P_n = n!$.
Вычислим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое:
$\frac{A_6^3}{P_4} = \frac{\frac{6!}{(6-3)!}}{4!} = \frac{6!/3!}{4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{4!} = \frac{120}{24} = 5$.
Второе слагаемое:
$\frac{A_{11}^6}{11 P_6} = \frac{\frac{11!}{(11-6)!}}{11 \cdot 6!} = \frac{11!/5!}{11 \cdot 6!} = \frac{11!}{5! \cdot 11 \cdot 6!} = \frac{11 \cdot 10!}{11 \cdot 5! \cdot 6!} = \frac{10!}{5! \cdot 6!}$.
$\frac{10!}{5! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{ (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{120} = \frac{5040}{120} = 42$.
Теперь сложим результаты:
$5 + 42 = 47$.
Ответ: 47

4) Используем формулы: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (число сочетаний), $P_n = n!$ (число перестановок), $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ (число размещений).
Сначала вычислим значение выражения в скобках: $\frac{C_{11}^7}{10} - \frac{C_5^2}{10}$.
Используем свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$:
$C_{11}^7 = C_{11}^{11-7} = C_{11}^4 = \frac{11!}{4!7!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 10 \cdot 3 = 330$.
$C_5^2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.
Значение в скобках: $\frac{330}{10} - \frac{10}{10} = 33 - 1 = 32$.
Теперь вычислим второй множитель: $\frac{P_6}{A_6^4}$.
$P_6 = 6! = 720$.
$A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$.
$\frac{P_6}{A_6^4} = \frac{720}{360} = 2$.
Можно решить и через факториалы: $\frac{P_6}{A_6^4} = \frac{6!}{\frac{6!}{2!}} = 6! \cdot \frac{2!}{6!} = 2! = 2$.
Наконец, перемножим полученные значения:
$32 \cdot 2 = 64$.
Ответ: 64

738. 1) Вычислить диаметр $x$ круга, вписанного в равносторонний треугольник (рис. 139), если $a = 6$ см.

2) Вычислить угол $\alpha$ заготовки, изображённой на рисунке 140, если $a = 4$ см.

Рис. 139

Рис. 140

1)

Для вычисления диаметра $x$ круга, вписанного в равносторонний треугольник, воспользуемся свойствами этого треугольника. Сторона треугольника по условию равна $a = 6$ см.

Радиус $r$ круга, вписанного в равносторонний треугольник со стороной $a$, связан с высотой треугольника $h$. Сначала найдем высоту $h$. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^{\circ}$. Высота вычисляется по формуле:

$h = a \cdot \sin(60^{\circ}) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$

Центр вписанной окружности в равностороннем треугольнике является точкой пересечения его медиан, биссектрис и высот. Эта точка делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус вписанной окружности равен одной трети высоты:

$r = \frac{1}{3} h = \frac{1}{3} \cdot \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Диаметр круга $x$ в два раза больше радиуса:

$x = 2r = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Подставим в формулу заданное значение стороны $a = 6$ см:

$x = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Для получения численного значения используем приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$x \approx 2 \cdot 1.732 = 3.464$ см.

Ответ: $x = 2\sqrt{3}$ см $\approx 3.464$ см.

2)

Для вычисления угла $\alpha$ заготовки рассмотрим ее осевое сечение, изображенное на рисунке 140. Заостренная часть в сечении представляет собой равнобедренный треугольник с углом при вершине $\alpha$.

Основание этого треугольника равно диаметру цилиндрической части заготовки, то есть $d = 4,5$ см.

Высота этого треугольника, проведенная к основанию, равна длине заостренной части $a = 4$ см. Эта высота делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Угол при вершине в нем равен $\frac{\alpha}{2}$. Катеты этого треугольника:

• Прилежащий к углу $\frac{\alpha}{2}$ катет — это высота $h = a = 4$ см.
• Противолежащий углу $\frac{\alpha}{2}$ катет — это половина основания, то есть $\frac{d}{2} = \frac{4,5}{2} = 2,25$ см.

Воспользуемся тригонометрической функцией тангенса, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{2,25}{4} = 0.5625$

Теперь найдем значение угла $\frac{\alpha}{2}$ с помощью функции арктангенса:

$\frac{\alpha}{2} = \arctan(0.5625) \approx 29.358^{\circ}$

Полный угол $\alpha$ равен удвоенному значению этого угла:

$\alpha = 2 \cdot \frac{\alpha}{2} \approx 2 \cdot 29.358^{\circ} \approx 58.716^{\circ}$

Округлим результат до двух знаков после запятой или выразим в градусах и минутах ($0.716^{\circ} \cdot 60' \approx 43'$):

$\alpha \approx 58.72^{\circ}$ или $\alpha \approx 58^{\circ}43'$.

Ответ: $\alpha \approx 58.72^{\circ}$ (или $58^{\circ}43'$).

739. Вычислить ширину $l$ ущелья по данным, указанным на рисунке 141.

Рис. 141

На рисунке изображен поперечный разрез ущелья. Ширина ущелья $l$, его глубина $120 \text{ м}$ и линия визирования от края до дна образуют прямоугольный треугольник.

В этом прямоугольном треугольнике нам известны следующие данные:
- Катет, противолежащий углу $54^\circ$, равен $120 \text{ м}$.
- Искомая ширина $l$ является катетом, прилежащим к углу $54^\circ$.

Для решения задачи воспользуемся определением тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Тангенс угла есть отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета:
$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$

Применим эту формулу к нашей задаче, где $\alpha = 54^\circ$, противолежащий катет равен $120 \text{ м}$, а прилежащий катет равен $l$:
$\tan(54^\circ) = \frac{120}{l}$

Чтобы найти $l$, выразим его из этого уравнения:
$l = \frac{120}{\tan(54^\circ)}$

Значение тангенса $54^\circ$ можно найти с помощью калькулятора: $\tan(54^\circ) \approx 1.37638$.
Подставим это значение в формулу для $l$:
$l \approx \frac{120}{1.37638} \approx 87.185 \text{ м}$

Округлив результат до десятых, получим, что ширина ущелья составляет примерно $87.2 \text{ м}$.

Ответ: $l \approx 87.2 \text{ м}$.

740. Вычислить длину моста по данным, указанным на рисунке 142.

$68^\circ$

$46^\circ$

$130 \text{ м}$

Рис. 142

Для вычисления длины моста воспользуемся тригонометрическими соотношениями. Обозначим концы моста как точки A и B, а точку на уровне воды, из которой проведены измерения, как C. Длина моста — это длина отрезка AB. Высота, опущенная из точки C на прямую AB, является высотой CD треугольника ABC. По условию задачи, длина этой высоты составляет $CD = 130$ м. Эта высота делит искомую длину моста AB на два отрезка: AD и DB. Таким образом, полная длина моста $AB = AD + DB$.

Высота CD делит исходный треугольник ABC на два прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle BDC$. Из рисунка нам известны углы при основании моста: $\angle CAD = 68^\circ$ и $\angle CBD = 46^\circ$.

Расчет длины отрезка AD

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$. В нем катет CD является противолежащим углу $\angle CAD$, а искомый катет AD — прилежащим. Связь между ними можно выразить через тангенс угла:

$\tan(\angle CAD) = \frac{CD}{AD}$

Отсюда выразим длину отрезка AD:

$AD = \frac{CD}{\tan(\angle CAD)} = \frac{130}{\tan(68^\circ)}$

Расчет длины отрезка DB

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BDC$. Аналогично первому случаю, выразим катет DB через тангенс угла $\angle CBD$:

$\tan(\angle CBD) = \frac{CD}{DB}$

Отсюда выразим длину отрезка DB:

$DB = \frac{CD}{\tan(\angle CBD)} = \frac{130}{\tan(46^\circ)}$

Вычисление общей длины моста

Полная длина моста AB равна сумме длин ее составных частей AD и DB:

$AB = AD + DB = \frac{130}{\tan(68^\circ)} + \frac{130}{\tan(46^\circ)}$

Вынесем общий множитель 130 за скобку для удобства вычислений:

$AB = 130 \left( \frac{1}{\tan(68^\circ)} + \frac{1}{\tan(46^\circ)} \right)$

Так как котангенс является величиной, обратной тангенсу ($\cot x = 1/\tan x$), выражение можно записать в виде:

$AB = 130 (\cot(68^\circ) + \cot(46^\circ))$

Теперь подставим числовые значения тригонометрических функций и выполним расчет:

$AB \approx 130 \cdot (0,404026 + 0,965688) = 130 \cdot 1,369714 \approx 178,06282$ м.

Округлим полученный результат до одного знака после запятой.

Ответ: Длина моста приблизительно равна 178,1 м.

741. Найти числовые значения всех остальных тригонометрических функций по данному значению одной из них, если

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

1) $\cos \alpha = 0,8;$

2) $\sin \alpha = \frac{5}{13};$

3) $\operatorname{tg} \alpha = 2,4;$

4) $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{7}{24}$.

Поскольку по условию угол $ \alpha $ находится в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), все тригонометрические функции этого угла ($\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\operatorname{tg} \alpha$, $\operatorname{ctg} \alpha$) имеют положительные значения.

1) $\cos \alpha = 0,8$

Для нахождения $\sin \alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Учитывая, что $\alpha$ находится в первой четверти, значение синуса будет положительным.
$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (0,8)^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6$.

Тангенс и котангенс находим по их определениям:
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0,6}{0,8} = \frac{3}{4} = 0,75$.
$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\sin \alpha = 0,6$; $\operatorname{tg} \alpha = 0,75$; $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{4}{3}$.

2) $\sin \alpha = \frac{5}{13}$

Найдем $\cos \alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Так как $\alpha$ в первой четверти, $\cos \alpha > 0$.
$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{169 - 25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.

Теперь найдем $\operatorname{tg} \alpha$ и $\operatorname{ctg} \alpha$:
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$.
$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{5/12} = \frac{12}{5}$.

Ответ: $\cos \alpha = \frac{12}{13}$; $\operatorname{tg} \alpha = \frac{5}{12}$; $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{12}{5}$.

3) $\operatorname{tg} \alpha = 2,4$

Представим $2,4$ в виде дроби: $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$.
Сразу находим $\operatorname{ctg} \alpha$:
$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{12/5} = \frac{5}{12}$.

Найдем $\cos \alpha$ из тождества $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$. Так как $\alpha$ в первой четверти, $\cos \alpha > 0$.
$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{1}{1 + (\frac{12}{5})^2} = \frac{1}{1 + \frac{144}{25}} = \frac{1}{\frac{25+144}{25}} = \frac{25}{169}$.
$\cos \alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$.

Найдем $\sin \alpha$ из соотношения $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:
$\sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13}$.

Ответ: $\sin \alpha = \frac{12}{13}$; $\cos \alpha = \frac{5}{13}$; $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{5}{12}$.

4) $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{7}{24}$

Найдем $\operatorname{tg} \alpha$ как обратную величину к $\operatorname{ctg} \alpha$:
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} = \frac{1}{7/24} = \frac{24}{7}$.

Найдем $\sin \alpha$ из тождества $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$. Так как $\alpha$ в первой четверти, $\sin \alpha > 0$.
$\sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha} = \frac{1}{1 + (\frac{7}{24})^2} = \frac{1}{1 + \frac{49}{576}} = \frac{1}{\frac{576+49}{576}} = \frac{576}{625}$.
$\sin \alpha = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$.

Найдем $\cos \alpha$ из соотношения $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$:
$\cos \alpha = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \sin \alpha = \frac{7}{24} \cdot \frac{24}{25} = \frac{7}{25}$.

Ответ: $\sin \alpha = \frac{24}{25}$; $\cos \alpha = \frac{7}{25}$; $\operatorname{tg} \alpha = \frac{24}{7}$.

742. Вычислить:

1) $ \cos\left(\arcsin\frac{3}{5}\right) $;

2) $ \sin\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right) $.

1) $\cos(\arcsin\frac{3}{5})$

Пусть $\alpha = \arcsin\frac{3}{5}$. По определению арксинуса, это означает, что $\sin(\alpha) = \frac{3}{5}$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Поскольку $\sin(\alpha) = \frac{3}{5}$ — положительное число, то угол $\alpha$ принадлежит первой четверти, то есть $\alpha \in [0, \frac{\pi}{2}]$. В этой четверти косинус является неотрицательным: $\cos(\alpha) \ge 0$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

Выразим из него $\cos(\alpha)$: $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$ $\cos^2(\alpha) = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25}$.

Так как $\cos(\alpha) \ge 0$, извлекаем арифметический квадратный корень: $\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Следовательно, искомое значение равно $\frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.

2) $\sin(\arccos(-\frac{5}{13}))$

Пусть $\beta = \arccos(-\frac{5}{13})$. По определению арккосинуса, это означает, что $\cos(\beta) = -\frac{5}{13}$ и угол $\beta$ находится в промежутке $[0, \pi]$.

Поскольку $\cos(\beta) = -\frac{5}{13}$ — отрицательное число, то угол $\beta$ принадлежит второй четверти, то есть $\beta \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$. В этой четверти синус является неотрицательным: $\sin(\beta) \ge 0$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1$.

Выразим из него $\sin(\beta)$: $\sin^2(\beta) = 1 - \cos^2(\beta)$ $\sin^2(\beta) = 1 - (-\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.

Так как $\sin(\beta) \ge 0$, извлекаем арифметический квадратный корень: $\sin(\beta) = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.

Следовательно, искомое значение равно $\frac{12}{13}$.

Ответ: $\frac{12}{13}$.