Номер 742, страница 321 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 742, страница 321.

Условие.

742. Вычислить:

1) $ \cos\left(\arcsin\frac{3}{5}\right) $;

2) $ \sin\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right) $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\cos(\arcsin\frac{3}{5})$

Пусть $\alpha = \arcsin\frac{3}{5}$. По определению арксинуса, это означает, что $\sin(\alpha) = \frac{3}{5}$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Поскольку $\sin(\alpha) = \frac{3}{5}$ — положительное число, то угол $\alpha$ принадлежит первой четверти, то есть $\alpha \in [0, \frac{\pi}{2}]$. В этой четверти косинус является неотрицательным: $\cos(\alpha) \ge 0$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

Выразим из него $\cos(\alpha)$: $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$ $\cos^2(\alpha) = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25}$.

Так как $\cos(\alpha) \ge 0$, извлекаем арифметический квадратный корень: $\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Следовательно, искомое значение равно $\frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.

2) $\sin(\arccos(-\frac{5}{13}))$

Пусть $\beta = \arccos(-\frac{5}{13})$. По определению арккосинуса, это означает, что $\cos(\beta) = -\frac{5}{13}$ и угол $\beta$ находится в промежутке $[0, \pi]$.

Поскольку $\cos(\beta) = -\frac{5}{13}$ — отрицательное число, то угол $\beta$ принадлежит второй четверти, то есть $\beta \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$. В этой четверти синус является неотрицательным: $\sin(\beta) \ge 0$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1$.

Выразим из него $\sin(\beta)$: $\sin^2(\beta) = 1 - \cos^2(\beta)$ $\sin^2(\beta) = 1 - (-\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.

Так как $\sin(\beta) \ge 0$, извлекаем арифметический квадратный корень: $\sin(\beta) = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.

Следовательно, искомое значение равно $\frac{12}{13}$.

Ответ: $\frac{12}{13}$.