Номер 744, страница 322 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 744, страница 322.

Условие.

744. Сократить дробь:

1) $ \frac{x^3 + 2x^2 + 9}{x^3 - 2x^2 + 4x - 3} $

2) $ \frac{x^3 + 2x^2 + 2x + 1}{2x^3 + x^2 + 1} $

3) $ \frac{x^4 - 2x^3 + x - 2}{2x^4 - 3x^3 - x - 6} $

4) $ \frac{2x^4 - 3x^3 - 7x^2 - 5x - 3}{2x^3 - 5x^2 - 2x - 3} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{x^3 + 2x^2 + 9}{x^3 - 2x^2 + 4x - 3}$, нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Для этого найдем корни многочленов.
Рассмотрим числитель $P(x) = x^3 + 2x^2 + 9$. Согласно теореме о рациональных корнях, возможные целые корни являются делителями свободного члена 9: $\pm1, \pm3, \pm9$.
Проверим $x = -3$: $P(-3) = (-3)^3 + 2(-3)^2 + 9 = -27 + 2(9) + 9 = -27 + 18 + 9 = 0$.
Так как $x = -3$ является корнем, то многочлен $P(x)$ делится на $(x+3)$ без остатка. Выполним деление столбиком:
$(x^3 + 2x^2 + 9) \div (x+3) = x^2 - x + 3$.
Таким образом, числитель $x^3 + 2x^2 + 9 = (x+3)(x^2 - x + 3)$.
Рассмотрим знаменатель $Q(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 3$. Возможные целые корни являются делителями свободного члена -3: $\pm1, \pm3$.
Проверим $x = 1$: $Q(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 4(1) - 3 = 1 - 2 + 4 - 3 = 0$.
Так как $x = 1$ является корнем, то многочлен $Q(x)$ делится на $(x-1)$ без остатка. Выполним деление столбиком:
$(x^3 - 2x^2 + 4x - 3) \div (x-1) = x^2 - x + 3$.
Таким образом, знаменатель $x^3 - 2x^2 + 4x - 3 = (x-1)(x^2 - x + 3)$.
Теперь можем сократить дробь:
$\frac{x^3 + 2x^2 + 9}{x^3 - 2x^2 + 4x - 3} = \frac{(x+3)(x^2 - x + 3)}{(x-1)(x^2 - x + 3)} = \frac{x+3}{x-1}$.
(Множитель $x^2 - x + 3$ не раскладывается на линейные множители, так как его дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(3) = -11 < 0$).
Ответ: $\frac{x+3}{x-1}$

2) Сократим дробь $\frac{x^3 + 2x^2 + 2x + 1}{2x^3 + x^2 + 1}$. Найдем общий множитель числителя и знаменателя.
Рассмотрим числитель $P(x) = x^3 + 2x^2 + 2x + 1$. Возможные целые корни: $\pm1$.
Проверим $x = -1$: $P(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -1 + 2 - 2 + 1 = 0$.
Значит, $(x+1)$ — множитель числителя.
Рассмотрим знаменатель $Q(x) = 2x^3 + x^2 + 1$. Проверим, является ли $x = -1$ его корнем.
$Q(-1) = 2(-1)^3 + (-1)^2 + 1 = -2 + 1 + 1 = 0$.
Значит, $(x+1)$ — общий множитель. Разделим числитель и знаменатель на $(x+1)$.
Деление числителя: $(x^3 + 2x^2 + 2x + 1) \div (x+1) = x^2 + x + 1$.
Деление знаменателя: $(2x^3 + x^2 + 1) \div (x+1) = 2x^2 - x + 1$.
Получаем:
$\frac{x^3 + 2x^2 + 2x + 1}{2x^3 + x^2 + 1} = \frac{(x+1)(x^2 + x + 1)}{(x+1)(2x^2 - x + 1)} = \frac{x^2 + x + 1}{2x^2 - x + 1}$.
(Квадратные трехчлены $x^2+x+1$ и $2x^2-x+1$ не имеют действительных корней, так как их дискриминанты отрицательны).
Ответ: $\frac{x^2 + x + 1}{2x^2 - x + 1}$

3) Сократим дробь $\frac{x^4 - 2x^3 + x - 2}{2x^4 - 3x^3 - x - 6}$.
Разложим на множители числитель $P(x) = x^4 - 2x^3 + x - 2$, используя метод группировки:
$P(x) = (x^4 - 2x^3) + (x - 2) = x^3(x-2) + 1(x-2) = (x-2)(x^3+1)$.
Используя формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, получаем:
$P(x) = (x-2)(x+1)(x^2-x+1)$.
Корни числителя: $x=2$ и $x=-1$. Проверим, являются ли они корнями знаменателя $Q(x) = 2x^4 - 3x^3 - x - 6$.
Проверим $x=2$: $Q(2) = 2(2^4) - 3(2^3) - 2 - 6 = 2(16) - 3(8) - 8 = 32 - 24 - 8 = 0$.
Проверим $x=-1$: $Q(-1) = 2(-1)^4 - 3(-1)^3 - (-1) - 6 = 2(1) - 3(-1) + 1 - 6 = 2 + 3 + 1 - 6 = 0$.
Оба значения являются корнями, значит, знаменатель делится на $(x-2)(x+1) = x^2-x-2$.
Выполним деление столбиком:
$(2x^4 - 3x^3 - x - 6) \div (x^2-x-2) = 2x^2 - x + 3$.
Знаменатель равен $(x-2)(x+1)(2x^2-x+3)$.
Теперь сокращаем дробь:
$\frac{(x-2)(x+1)(x^2-x+1)}{(x-2)(x+1)(2x^2-x+3)} = \frac{x^2-x+1}{2x^2-x+3}$.
Ответ: $\frac{x^2 - x + 1}{2x^2 - x + 3}$

4) Сократим дробь $\frac{2x^4 - 3x^3 - 7x^2 - 5x - 3}{2x^3 - 5x^2 - 2x - 3}$.
Найдем корень знаменателя $Q(x) = 2x^3 - 5x^2 - 2x - 3$. Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm3, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{3}{2}$.
Проверим $x=3$: $Q(3) = 2(3^3) - 5(3^2) - 2(3) - 3 = 2(27) - 5(9) - 6 - 3 = 54 - 45 - 6 - 3 = 0$.
Значит, $(x-3)$ — множитель знаменателя. Проверим, является ли $x=3$ корнем числителя $P(x) = 2x^4 - 3x^3 - 7x^2 - 5x - 3$.
$P(3) = 2(3^4) - 3(3^3) - 7(3^2) - 5(3) - 3 = 2(81) - 3(27) - 7(9) - 15 - 3 = 162 - 81 - 63 - 15 - 3 = 0$.
Так как $x=3$ общий корень, разделим числитель и знаменатель на $(x-3)$.
Деление числителя: $(2x^4 - 3x^3 - 7x^2 - 5x - 3) \div (x-3) = 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1$.
Деление знаменателя: $(2x^3 - 5x^2 - 2x - 3) \div (x-3) = 2x^2 + x + 1$.
Дробь принимает вид: $\frac{2x^3 + 3x^2 + 2x + 1}{2x^2 + x + 1}$.
Попробуем разделить числитель на знаменатель. Это можно сделать группировкой или делением столбиком.
$2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = (2x^3 + x^2 + x) + (2x^2 + x + 1) = x(2x^2 + x + 1) + 1(2x^2 + x + 1) = (x+1)(2x^2 + x + 1)$.
Таким образом, дробь можно сократить дальше:
$\frac{(x+1)(2x^2 + x + 1)}{2x^2 + x + 1} = x+1$.
Ответ: $x+1$