Номер 740, страница 321 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 740, страница 321.

Условие.

740. Вычислить длину моста по данным, указанным на рисунке 142.

$68^\circ$

$46^\circ$

$130 \text{ м}$

Рис. 142

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для вычисления длины моста воспользуемся тригонометрическими соотношениями. Обозначим концы моста как точки A и B, а точку на уровне воды, из которой проведены измерения, как C. Длина моста — это длина отрезка AB. Высота, опущенная из точки C на прямую AB, является высотой CD треугольника ABC. По условию задачи, длина этой высоты составляет $CD = 130$ м. Эта высота делит искомую длину моста AB на два отрезка: AD и DB. Таким образом, полная длина моста $AB = AD + DB$.

Высота CD делит исходный треугольник ABC на два прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle BDC$. Из рисунка нам известны углы при основании моста: $\angle CAD = 68^\circ$ и $\angle CBD = 46^\circ$.

Расчет длины отрезка AD

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$. В нем катет CD является противолежащим углу $\angle CAD$, а искомый катет AD — прилежащим. Связь между ними можно выразить через тангенс угла:

$\tan(\angle CAD) = \frac{CD}{AD}$

Отсюда выразим длину отрезка AD:

$AD = \frac{CD}{\tan(\angle CAD)} = \frac{130}{\tan(68^\circ)}$

Расчет длины отрезка DB

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BDC$. Аналогично первому случаю, выразим катет DB через тангенс угла $\angle CBD$:

$\tan(\angle CBD) = \frac{CD}{DB}$

Отсюда выразим длину отрезка DB:

$DB = \frac{CD}{\tan(\angle CBD)} = \frac{130}{\tan(46^\circ)}$

Вычисление общей длины моста

Полная длина моста AB равна сумме длин ее составных частей AD и DB:

$AB = AD + DB = \frac{130}{\tan(68^\circ)} + \frac{130}{\tan(46^\circ)}$

Вынесем общий множитель 130 за скобку для удобства вычислений:

$AB = 130 \left( \frac{1}{\tan(68^\circ)} + \frac{1}{\tan(46^\circ)} \right)$

Так как котангенс является величиной, обратной тангенсу ($\cot x = 1/\tan x$), выражение можно записать в виде:

$AB = 130 (\cot(68^\circ) + \cot(46^\circ))$

Теперь подставим числовые значения тригонометрических функций и выполним расчет:

$AB \approx 130 \cdot (0,404026 + 0,965688) = 130 \cdot 1,369714 \approx 178,06282$ м.

Округлим полученный результат до одного знака после запятой.

Ответ: Длина моста приблизительно равна 178,1 м.